8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)

Пусть дуга – это график некоторой функцией f(x), заключенный между x = a, x = b. Пусть f(x) – определена на [a; b]. Разобьем [a; b] на n частей произвольным образом. Обозначим Δx_k = x_k – x_{k – 1}. Через точки x_i проведем вертикальные линии, параллельные Oy. Обозначим точки пересечения графика с этими линиями M₁, M₂, … , M_n-1 и соединим их. Длина ломанной , где.

По теореме Лагранжа:

Если дуга задана параметрически, то:

9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, известно S любого сечения плоскостью, перпендик. к OX –(поперечное)

1. Разбив отрезок [a,b] на n частей a=Xₒ<X₁<X₂...<X_n=b

Обозначим ΔX_k=X_k-X_k-1 , k=1,n

λ=max_[a,b]{ΔX_k}, через x_k проводим поперечное сечение

2. Выберем ξ_k[x_k-1, x_k] произвольно и найдем S(ξ_k); каждый слой тела Т представляет собой цилиндр с основанием S(ξ_k) и высотой ΔX_k

ΔV_k= S(ξ_k) ΔX_k

V=

V=

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью O_x и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x₀ = a < x₁< x₂<… < x_n = b

обозначим Δx_k = x_k-x_k-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [x_k-1- x_k] выберем произвольным образом ξ_k S(ξ_k)= πf²(ξ_k) (S=πR²)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξ_k). Тогда объем частичного цилиндра: ΔV_k = S(ξ_k)Δx_k = πf²(ξ_k)Δx_k

10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода

Несобственный интеграл первого или второго рода называется абсолютно сходящимся, если сходиться интеграл, составленный из модулей; несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходиться, но не абсолютно (-расходиться).

Теорема:

Если несобственный интеграл абсолютно сходиться, то он просто сходиться.

Доказательство:

Пусть - сходиться, рассмотрим 2 вспомогательные операции:

(*)

;

сх-ся сх-ся сх-сясх-ся

Из (*) следует, что сходиться.

11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.

1) Если у₁(х) – решение ОЛДУ у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0 (*) , то функция y=С у₁(х), где С=const, также является решением этого ОЛДУ.

Док-во:

Подставим в ДУ:

С у₁⁽ⁿ⁾ + P₁ С y₁^(n-1) +…+ P_n-1 С y₁’ + P_n С y₁ = 0

С(у₁ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁) = 0

у₁⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁ = 0

2) Если у₁(х) и у₂(х) – решение ОЛДУ (*), то функции у₁(х) + у₂(х) также являются решениями этого ДУ

Док-во:

(у₁+у₂)⁽ⁿ⁾ + P₁(у₁+у₂) ^(n-1) +…+ P_n-1 (у₁+у₂)’ + P_n (у₁+у₂) =

= [у₁ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₁ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₁’ + P_n у₁] + [у₂ ⁽ⁿ⁾ + P₁ у₂ ^(n-1) +…+ P_n-1 у₂’ + P_n у₂] = 0 + 0 = 0

3) Если y₁, y₂, …, y_k – решения ЛОДУ (*), то функция (C₁y₁ + C₂y₂ + … + C_ky_k) тоже является решением этого ДУ для любых постоянных C₁, C₂, …, C_k.

12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).

Определение:

C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + … + C_ny_n(x₀) = y₀

C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) + … + C_ny_n’(x₀) = y₀’

…………………………………………..

C₁y₁^(n-1)(x₀) + C₂y₂^(n-1)(x₀) + … + C_ny_n^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1)

(, где y_1, y_2, y_n - ФСР C₁ ,C₂ ,…,C_n- const)

Определителем этой системой является определитель Вронского

Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)

Если функции y_1, y_2, … ,y_n - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0.

Док-во:

Т.к. y_1, y_2, … ,y_n - линейно зависимы, то

α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0 на (a,b), при чём не все α = 0.

Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений

α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0

α₁y₁’ + α₂y₂’ + …+ α_ny_n’ = 0

α₁y₁’’ + α₂y₂’’ + …+ α_ny_n’’ = 0 =>

……………………………..

α₁y₁^(n-1) + α₂y₂^(n-1) + …+ α_ny_n^(n-1) = 0

• т.к. не все α_i = 0, то система имеет тривиальное решение, определитель этой системы – определитель Вронского.

W[y_1, y_2, … ,y_n ] = 0

13. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ

Опр: Система n линейно-независимого решения ЛОДУ n-го порядка называется ФСР

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ

Если функции y₁(х)_, y₂(х)_, … ,y_n(х) – образует ФСР ЛОДУ на интервале (a;b), то линейная комбинация этих решений y(х) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) , есть общее решение этого уровня. (4).

Док-во:

Из теоремы о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ:

Если n решений y_1, y_2, … ,y_n ЛОДУ (2) и они линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х‌| для любого Х из (а,b) .

• что (4) являются решением у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0

остается доказать, что можно подобрать const-ты то С₁, С₂, … С_n , таким образом что функция (4) удовлетворяет любой системе начальных условий [н.у.]

Задаем н.у. , при x₀ (а,b) y(х₀) = y₀, y’(х₀) = y₀’, y^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1) определяем C_1,C₂,…, C_n

C₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + … + C_ny_n(x₀) = y₀

C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) + … + C_ny_n’(x₀) = y₀’ , где y_1, y_2, y_{n -} ФСР C₁ ,C₂ ,C_n

………………………………………….. – const (5)

C₁y₁^(n-1)(x₀) + C₂y₂^(n-1)(x₀) + … + C_ny_n^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1)

Определителем этой системы является определитель Вронского

W[y_1, y_2, … ,y_n] 0, C_1,C₂,…, C_n - определяется един-м образом

Построим =C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) ,

согласно свойству (если y₁) α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0 причем хотя бы одно h_i 0.

- является решением ДУ(2) =y(x) , т.к. система (5) определена теми же н.у., что и y(x) ч.т.д.

Следствие:

1) максимальное число линейно-независимых решение ЛОДУ, коэффициенты непрерывны на (a,b) равно порядку этого уравнения.

2) независимо от н.у. все другие решения таких уравнений ЛОДУ является линейной комбинацией этих независимых решений (решений ФС)

3) Пространство решений ЛОДУ n-го порядка имеет базис из n-векторов, т.е. пространство n-мерное.

4) Для решения ЛОДУ n-го порядка необходимо найти ФСР. Общее решение получается как линейная комбинация решений ФС.