’ ª ª ª ¤«ï ¬ «ëå 㣫®¢ dΩ ' |
θ |
d |
θ dϕ, ®âáî¤ |
- 室¨¬ |
w: |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
w(v; θ) = |
(Ze2)2 |
niv: |
|
(9.7) |
||||
E2 |
θ4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
’ ª ª ª w -¥ § ¢¨á¨â ®â §- ª θ, ¬®¦-® ã⢥ত âì, çâ® |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(v; v0) = w(v0; v): |
|
(9.8) |
||||||
‘®®â-®è¥-¨¥ (9.8) ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ®¡à ⨬®á⨠¤¢¨¦¥-¨ï ¢® ¢à¥- ¬¥-¨ ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï «î¡ëå ¢¨¤®¢ à áᥨ¢ îé¨å ¯®â¥-æ¨ «®¢.
•¥à¥å®¤ï ª ¢ë¢®¤ã ¨-â¥£à « á⮫ª-®¢¥-¨©, ãá«®¢¨¬áï ¤«ï ªà â- ª®á⨠-¥ 㪠§ë¢ âì -¥áãé¥á⢥--ë¥ ¤«ï ¤ «ì-¥©è¥£® à£ã¬¥-âë r ¨
t äã-ªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥-¨ï f . ’®£¤ |
ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ í«¥¬¥-⥠d3v ¯à®- |
||
áâà -á⢠|
᪮à®á⥩ (¢ à áçñ⥠- |
¥¤¨-¨æã ®¡êñ¬ ) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ |
|
f (v) d3v. ‡ |
¢à¥¬ï t ®-® ¨§¬¥-¨âáï - ¢¥«¨ç¨-ã |
|
|
|
[ f (v) d3v] = f (v) d3v: |
(9.9) |
|
ˆ§¬¥-¥-¨¥ à ¢-® à §-®á⨠¬¥¦¤ã ¯à¨å®¤®¬ ç áâ¨æ ¢ ®¡êñ¬ç¨ª d3v ¨§ ¤àã£¨å ®¡« á⥩ ¯à®áâà -á⢠᪮à®á⥩ ¨ ã室®¬ ¨§ -¥£®.
—¨á«® ã襤è¨å ç áâ¨æ - 室¨¬ ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ç¨á« ç áâ¨æ
f (v) d3v ¢ ®¡êñ¬ç¨ª¥ - ¯®«-ãî ¢¥à®ïâ-®áâì t R w(v; v0) d3v0 |
®¤-®© ç - |
бв¨ж¥ а бб¥пвмбп § ¢а¥¬п t: |
|
f (v) d3v t Z w(v; v0) d3v0: |
(9.10) |
—¨á«® ç áâ¨æ, ¯à¨è¥¤è¨å ¢ ®¡êñ¬ç¨ª d3v ¨§ ¤à㣮£® ®¡êñ¬ç¨ª d3v0, à ¢-® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î ç¨á« ç áâ¨æ f (v0) d3v0 ¢ ®¡êñ¬ç¨ª¥ d3v0 - ¢¥à®ïâ-®áâì t w(v0; v) d3v, á ª ª®© ®¤- ç áâ¨æ § ¢à¥¬ï t ¯®¯ ¤ñâ
¨§ d3v0 ¢ d3v. •®«-®¥ ç¨á«® ¯à¨è¥¤è¨å ç áâ¨æ - 室¨¬, ¨-⥣à¨àãï ¯® d3v0:
d3v t Z w(v0; v) f (v0) d3v0: |
(9.11) |
•à¨à ¢-¨¢ ï (9.9) ª à §-®á⨠(9.11) ¨ (9.10), ¯®á«¥ ¤¥«¥-¨ï - t d3v ¯®«ã稬
ddtf = Z w(v0; v) f (v0) d3v0 − Z w(v; v0) f (v) d3v0:
70
’¥¯¥àì ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ᨬ¬¥âਥ© w ®â-®á¨â¥«ì-® ᢮¨å à£ã¬¥-⮢ ¨ ¬ «®áâìî 㣫 à áá¥ï-¨ï, ¢á«¥¤á⢨¥ 祣® ¨§¬¥-¥-¨¥ ᪮à®á⨠ç - áâ¨æë u = v0 − v â ª¦¥ ¬ «®:
ddtf = Z w(v; v0)[ f (v0) − f (v)]d3v0
' |
; |
|
|
∂vα |
2 |
|
∂vαvβ |
: |
|
|
w(v θ) |
|
|
∂ f |
1 |
|
∂2 f |
|
|
Z |
|
uα |
|
+ |
uαuβ |
dΩ |
|
(9.12) |
’ ª ª ª äã-ªæ¨ï f ¢ í⮬ ãà ¢-¥-¨¨ -¥ § ¢¨á¨â ®â ¯¥à¥¬¥--ëå ¨-â¥- £à¨à®¢ -¨ï, ¥ñ ¬®¦-® ¢ë-¥á⨠§ §- ª ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï. ‚¢®¤ï ®¡®§- - ç¥-¨ï
|
|
Aα = Z wuα dΩ; |
|
(9.13) |
||||||
|
Aαβ |
= |
1 |
|
wuα uβ dΩ; |
|
(9.14) |
|||
2 Z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢-¥-¨¥ (9.12) ¢ ¢¨¤¥ |
|
|
|
|||||||
|
d f |
|
|
∂ f |
|
∂2 f |
|
|
||
|
|
= Aα |
|
+ Aαβ |
|
: |
(9.15) |
|||
|
dt |
∂vα |
∂vαvβ |
|||||||
‚¥ªâ®à Aα ¥áâì á।-¥¥ §- |
ç¥-¨¥ ¢¥ªâ®à uα , |
â¥-§®à Aαβ ¥áâì á।- |
||||||||
-¥¥ §- ç¥-¨¥ â¥-§®à uαuβ=2. •®áª®«ìªã ¨¬¥¥âáï ¥¤¨-á⢥--®¥ ¢ë¤¥- «¥--®¥ - ¯à ¢«¥-¨¥ | - ¯à ¢«¥-¨¥ ¢¥ªâ®à v, १ã«ìâ â ãá।-¥-¨ï ¬®¦-® ¢ëà §¨âì ⮫쪮 ç¥à¥§ ª®¬¯®-¥-âë ¢¥ªâ®à v ¨ ¨-¢ ਠ-â-ëå
â¥-§®à®¢ δαβ ¨ eαβγ; - ¯®¬-¨¬, зв® ¨-¢ а¨ -в-л¬ - §л¢ ¥вбп в¥-§®а, ª®¬¯®-¥-вл ª®в®а®£® -¥ ¨§¬¥-повбп ¯а¨ ¯®¢®а®в¥ б¨бв¥¬л ª®®а¤¨-
- â. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,
|
|
|
Aα = A |
vα |
; |
|
|
|
(9.16) |
|||||||
|
|
|
v |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aαβ = B δαβ |
+ C |
vαvβ |
|
+ D eαβγ |
vγ |
: |
(9.17) |
||||||||
|
|
v2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
||||
Žç¥¢¨¤-®, çâ® D = 0, â ª ª ª Aαβ -¥ ¨§¬¥-ï¥âáï ¯à¨ § ¬¥-¥ v - |
−v. |
|||||||||||||||
Š®íää¨æ¨¥-â A - ©¤ñ¬, ã¬-®¦¨¢ (9.13) - v=v: |
|
|||||||||||||||
|
A = Aαvα=v = |
1 |
|
|
wuv dΩ: |
|
||||||||||
|
v Z |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
u2=2, á«¥¤ãî饥 ¨§ § ª®- á®åà -¥-¨ï |
|||||||||||||
“ç¨âë¢ ï á®®â-®è¥-¨¥ uv = |
|
|||||||||||||||
í-¥à£¨¨ m1(v + u) =2 = m1v =2, ¯¥à¥¯¨è¥¬ A ¢ ¢¨¤¥ |
|
|||||||||||||||
|
A |
|
|
1 |
|
|
wu2 dΩ |
: |
|
|
(9.18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= − 2v Z |
|
|
|
|
|
|||||||||
71
Š®íää¨æ¨¥-âë B ¨ C «¥£ª® - ©â¨, á®áâ ¢¨¢ á¢ñà⪨ ãà ¢-¥-¨ï
(9.17) á dαβ ¨ vαvβ=v2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Aαβdαβ = 3B + C; |
|
|
|
(9.19) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Aαβ |
vαvβ |
= |
B + C: |
|
|
|
(9.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
||||||||||
‹¥¢ë¥ ç á⨠¯®«ãç¥--ëå ãà ¢-¥-¨© ¢ëç¨á«ï¥¬, ¨á¯®«ì§ãï (9.14): |
|||||||||||||||||||
|
Aαβ |
d |
αβ = Aαα = |
1 |
|
|
w |
2dΩ = |
− |
vA |
; |
(9.21) |
|||||||
2 Z |
|||||||||||||||||||
|
vαvβ |
|
|
1 |
|
|
u |
|
1 |
|
|
|
|||||||
Aαβ |
|
= |
w (uv)2 dΩ = |
|
|
wu4 dΩ: |
(9.22) |
||||||||||||
v2 |
2v2 |
8v2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
Z |
|
|
||||||||||
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ëç¨á«¥-¨¥ ª®íää¨æ¨¥-⮢ A, B ¨ C ᢮¤¨âáï ª ¢ëç¨- á«¥-¨î á।-¨å §- ç¥-¨© u2 ¨ u4. ‚â®à®¥ ¨§ -¨å §- ç¨â¥«ì-® ¬¥-ìè¥
â ª ª ª u |
µ q |
, |
|
|
|
q |
1. |
|
|
|
•®í⮬㠬®¦-® ¯à¥-¥¡à¥çì ç«¥-®¬ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¯¥à¢®£®, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Aαβvαvβ=v |
¢ (9.20). ’®£¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
vA(v): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = −C |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
‚ १ã«ìâ ⥠¨§ ãà ¢-¥-¨ï (9.15) ¯®«ãç ¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d f |
= A |
vα ¶ f |
|
|
1 |
|
|
vA dαβ − |
vαvβ |
|
|
¶2 f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
v |
¶vα |
2 |
|
|
v2 |
¶vαvβ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − 2 vA ¶vβ dαβ − v2 |
|
|
|
|
¶vα : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vαvβ |
|
|
|
|
¶ f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
„¥©á⢨⥫ì-®, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
¶ vαvβ |
= |
vβ ¶vα |
|
+ |
|
vα ¶vβ |
− |
2 |
vαvβ ¶v |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¶vβ |
v2 |
v2 |
¶vβ |
|
v2 |
¶vβ |
v3 |
¶vβ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
vβ |
dαβ |
|
+ |
3vα |
2 |
|
vαvβvβ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
v2 |
|
|
|
|
v4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2vα |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
‚¢®¤ï ¢¥ªâ®à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F = Ñv f − |
|
|
(vÑv f ) = Ñv? f ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¯®«ãç¥--®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¬®¦-® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d f |
= − |
1 |
vA divv F |
: |
|
|
|
(9.23) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
‚¥ªâ®à F ®â«¨ç ¥âáï ®â Ñ f ⥬, çâ® ¨§ ¯®á«¥¤-¥£® ¢ëçâ¥- ýà ¤¨-
«ì- ïþ ª®¬¯®-¥-â Ñ f . |
‚ áä¥à¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨- â ¢ ¯à®- |
|||||||||
áâà -á⢥ ᪮à®á⥩ fv; q; jg ®¯¥à |
â®à divv F ¢ëà |
¦ ¥âáï ç¥à¥§ 㣫®- |
||||||||
¢ãî ç áâì θ;ϕ f « ¯« ᨠ- : |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 ¶ |
¶ f |
1 |
|
¶2 f |
||||
divv F = |
|
|
|
|
|
sin q ¶q |
+ |
|
¶j2 |
|
v2 |
sin q |
¶q |
sin2 q |
|||||||
= |
1 |
θ ϕ f : |
|
|
|
|
(9.24) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
v2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—â®¡ë § ¢¥àè¨âì ¢ë¢®¤ ¨-â¥£à « á⮫ª-®¢¥-¨©, - ¬ ®áâ «®áì ¢ë- ç¨á«¨âì ª®íää¨æ¨¥-â A. „«ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ (9.6), (9.7) ¢ (9.18) ¨
ãçâñ¬, çâ® u ' vq: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ze2)2 |
|
|
|
|
|
||||
A |
|
1 |
|
dΩ wu2 |
|
1 |
|
|
2 |
pq |
d |
q |
n |
v |
v2 |
q |
2 |
|
|
||||||
= − 2v Z |
' − 2v Z |
E2q4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
p(Ze2)2niv2 |
|
θmax dq |
= − |
p(Ze2)2niv2 |
qmax |
|
|
||||||||||||||||
|
= − |
|
|
E2 |
Zθmin |
|
|
|
|
|
E2 |
|
ln qmin |
: |
(9.25) |
||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|||||||||||||||||||
‡¤¥áì ¢-®¢ì ¢®§-¨ª ªã«®-®¢áª¨© «®£ à¨ä¬ = ln ρρmax |
= ln θθmax . ‘®¡¨- |
||||||||||||||||||||||||
à ï ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥-âë, ®ª®-ç ⥫ì-® ¯®«ãç ¥¬ |
min |
|
|
min |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Stei = |
2pe4Z2ni |
θϕ f |
|
: |
|
|
|
|
(9.26) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
me2v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ˆ-â¥£à « á⮫ª-®¢¥-¨© ®¡« ¤ ¥â -¥ª®â®à묨 ®¡é¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨, ®ç¥¢¨¤-묨 ¨§ ¥£® 䨧¨ç¥áª®£® á¬ëá« ª ª ç¨á« ç áâ¨æ, ¯®ï¢«ïî- é¨åáï ¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨ ¢ ¥¤¨-¨æ¥ ®¡êñ¬ ¯à®áâà -á⢠᪮à®á⥩. •®áª®«ìªã ¯®«-®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¯à¨ à áá¥ï-¨¨ á®åà -ï¥âáï, â®
Z d3v Stab = 0: |
(9.27) |
‚á«¥¤á⢨¥ á®åà -¥-¨ï í-¥à£¨¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá áâ «ª¨¢ îé¨åáï ç áâ¨æ ¨¬¥¥¬
Z d3vmav Stab + Z d3vmbv Stba = 0; |
Z d3vmav Staa = 0; |
(9.28) |
||||||||||||
|
3 |
|
mav2 |
|
3 |
|
mbv2 |
|
3 |
|
mav2 |
|
||
Z d |
|
v |
|
Stab + Z d |
|
v |
|
Stba = 0; |
Z d |
|
v |
|
Staa = 0: |
(9.29) |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I Задача 9.3
Проверить выполнение этих условий для лоренцевской плазмы (импульс электронов не сохраняется).
73
ˆá室-ë¥ ¤¨- ¬¨ç¥áª¨¥ ãà ¢-¥-¨ï, ¨á¯®«ì§®¢ --ë¥ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ¨-â¥£à « á⮫ª-®¢¥-¨©, ®¡à â¨¬ë ¯® ¢à¥¬¥-¨, ®¤- ª® ª¨-¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢-¥-¨¥ á ¨-â¥£à «®¬ á⮫ª-®¢¥-¨© -¥ ¨-¢ ਠ-â-® ®â-®á¨â¥«ì-® ¨§¬¥-¥-¨ï - ¯à ¢«¥-¨ï t. •â® ã⢥ত¥-¨¥ ¨§¢¥áâ-® ª ª H-⥮६ ‹. •®«ìæ¬ - . Ž- ¤®ª § «, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äã-ªæ¨®- « S ®â äã-ªæ¨¨
à á¯à¥¤¥«¥-¨ï f , â ª®©, çâ® S > 0 ¤«ï «î¡®© äã-ªæ¨¨ f , 㤮¢«¥â¢®àï-
_
î饩 ª¨-¥â¨ç¥áª®¬ã ãà ¢-¥-¨ï. ”ã-ªæ¨®- « S - §ë¢ îâ í-âய¨¥©,
ᮢ६¥-- ï ä®à¬ã«¨à®¢ª H-⥮६ë á®á⮨⠢ ⮬, çâ® í-âய¨ï |
|
§ ¬ª-ã⮩ á¨á⥬ë -¥ ã¡ë¢ ¥â á® ¢à¥¬¥-¥¬. •à¨¬¥-¨â¥«ì-® ª à áᬠ- |
|
âਢ ¥¬®¬ã á«ãç î «®à¥-楢᪮© ¯« §¬ë § ¬ª-ã⮩ á¨á⥬®© ¬®¦-® |
|
áç¨â âì í«¥ªâà®--ë© £ |
§, ¯®áª®«ìªã äã-ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥-¨ï ý¡¥áª®- |
-¥ç-®þ â殮«ëå ¨®-®¢ |
¢®®¡é¥ -¨ª ª -¥ ¨§¬¥-ï¥âáï. •-âய¨ï ¨¤¥- |
«ì-®£® í«¥ªâà®--®£® £ § |
|
¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ |
|
|||||||
S = Z [1 − ln f ] f d3rd3v = Z |
f ln |
e |
d3rd3v: |
(9.30) |
||||||
|
||||||||||
f |
||||||||||
‚ëç¨á«¨¬ dS=dt. •®¤áâ ¢«ïï ¢ |
|
|
|
|
|
|||||
|
dS |
|
¶ f |
3rd3v |
|
|
||||
|
|
|
= −Z |
|
ln( f ) d |
|
|
|||
|
dt |
¶t |
|
|
||||||
¯à®¨§¢®¤-ãî ¶ f =¶t ¨§ ª¨-¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢-¥-¨ï, ¯®«ã稬 |
|
|||||||||
S_ = Z d3rd3v ln( f ) |
vÑ f + m E + c [v; B] ¶v − St |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
¶ f |
|
•¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ 䨣ãà-ëå ᪮¡ª å ¯à®¨-⥣à¨à㥬 á ¯®¬®éìî â¥- ®à¥¬ë ƒ ãáá , ãç¨âë¢ ï, çâ® f = 0 § ¯à¥¤¥« ¬¨ ®¡êñ¬ , § -ï⮣® ¯« §- ¬®©:
Z d3rd3v ln( f )vÑ f = Z d3rd3v ln( f ) div v f
= −Z d3rd3vv f Ñ ln( f ) = −Z d3rd3vvÑ f
= −Z d3rd3v div v f = 0:
’®ç-® â ª ï ¦¥ ¯à®æ¥¤ãà ¯® ®â-®è¥-¨î ª ¯¥à¥¬¥--®© v ¯®ª ¦¥â, çâ®
Z d3rd3v ln( f ) m E + |
c [v; B] |
¶v = 0: |
||
|
e |
1 |
|
¶ f |
‚ ¨â®£¥ ®áâ ñâáï ⮫쪮 ç«¥-, ᮤ¥à¦ 騩 ¨-â¥£à « á⮫ª-®¢¥-¨©:
S = −Z d3rd3v ln( f ) St :
_
74
„ «ì-¥©è¨¥ ¢ëç¨á«¥-¨ï ¯à®¢¥¤ñ¬ ¤«ï «®à¥-楢᪮£® ¨-â¥£à « á⮫ª-®¢¥-¨©
Stei = const divv |
F |
; |
F = Ñ |
f : |
|
v |
|||||
|
|
v? |
|
Ÿ¢-ë© ¢¨¤ const - ¬ -¥ ¯®- ¤®¡¨âáï, ¢ ¦-® ⮫쪮, çâ® const > 0. ˆá- ¯®«ì§ãï 㦥 ®âà ¡®â --ãî â¥å-®«®£¨î ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨-â¥£à «®¢, ¯®«ãç ¥¬
S = −const Z d3rd3v ln( f ) div F _ v v
=const Z d3rd3v F Ñv f v f
|
(Ñ |
f )2 |
|
= const Z d3rd3v |
v? |
> 0: |
(9.31) |
|
v f |
|
|
Œë ¤®ª § «¨, çâ® ¢ «®à¥-楢᪮© ¯« §¬¥ í-âய¨ï ¢®§à áâ ¥â. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ã⢥ত¥-¨¥ ® ¢®§à áâ -¨¨ í-âய¨¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï á⮫ª-®¢¥-¨© ¢-ãâਠ®¤-®£® á®àâ ç áâ¨æ (í«¥ªâà®-®¢ á í«¥ªâà®- ¬¨ ¨«¨ ¨®-®¢ á ¨®- ¬¨). —â® ª á ¥âáï ¯¥à¥ªàñáâ-ëå á⮫ª-®¢¥-¨©, â® ®-¨ ¬®£ã⠯ਢ®¤¨âì ª 㬥-ìè¥-¨î í-âய¨¨ ®¤-®© ¨§ ª®¬¯®-¥-â § áçñâ 㢥«¨ç¥-¨ï í-âய¨¨ ¤à㣮©. ‘㬬 à- ï í-âய¨ï ⥬ -¥ ¬¥-¥¥ ¡ã¤¥â ¢®§à áâ âì:
åS_a = −Z d3rd3v åln( fa) Stab > 0:
a |
ab |
‚ ¦-®áâì H-⥮६ë á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ®- 㪠§ë¢ ¥â - ¯à ¢«¥-¨¥ ५ ªá 樨. ’ ª ª ª í-âய¨ï ¬ ªá¨¬ «ì- ¢ â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª¨ à ¢- -®¢¥á-®¬ á®áâ®ï-¨¨, â® á⮫ª-®¢¥-¨ï ¬ ªá¢¥««¨§ãîâ äã-ªæ¨î à á- ¯à¥¤¥«¥-¨ï ¯« §¬ë. ’®â ä ªâ, çâ® à ¢-®¢¥á-®© äã-ªæ¨¥© à á¯à¥¤¥- «¥-¨ï ï¥âáï ¬ ªá¢¥««®¢áª ï, -¥¯®á।á⢥--® -¥ á«¥¤ã¥â ¨§ - è¨å ¢ëç¨á«¥-¨© ¤«ï á«ãç ï «®à¥-楢᪮© ¯« §¬ë, â ª ª ª ¬ë ¯à¥-¥¡à¥£ - «¨ ®¡¬¥-®¬ í-¥à£¨¥©. Ž¤- ª® ¨§ (9.31) ¢¨¤-®, çâ® à ¢-®¢¥á- ï äã-ª-
æ¨ï à á¯à¥¤¥«¥-¨ï ¤®«¦- ¡ëâì ¨§®âய- , â ª ª ª S = 0 ⮫쪮 ¯à¨
_
Ñv? f 0.
I Задача 9.4
Найти стационарное решение уравнения Власова в дрейфовом приближении.
75
I Задача 9.5
Показать, что плотность и давление плазмы на фиксированной силовой линии зависят только от величины магнитного поля B.
I Задача 9.6
Вычислить плотность и давление плазмы, в которой распределение ионов описывается функцией распределения f = Nδ(μ − ε=B?) δ(ε − ε0), ãäå N
— нормировочная константа, B? — магнитное поле в точке остановки частиц, а ε0 — энергия ионов. Для простоты принять, что ϕ = 0 (плазма с холодными электронами).
I Задача 9.7
Пучок ионов с энергией 100 ªí‚ тормозится в плазме с электронной температурой 100 í‚. Начальный угловой разброс ионов пучка пренебрежимо мал. Оценить угловую ширину пучка θ после того, как ионы потеряют половину начальной энергии.
‹¨â¥à âãà : [5, £«. 6, x1-4, 6, 7].
76
Лекция 10
Моменты кинетического уравнения. Уравнения двухжидкостной гидродинамики. Приближение одножидкостной магнитной гидродинамики
• ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥ªæ¨¨ ¬ë ¯®«ã稫¨ ª¨-¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¤«ï äã-ª- 樨 à á¯à¥¤¥«¥-¨ï f (r; v; t) á ¨-â¥£à «®¬ á⮫ª-®¢¥-¨©. Ž-® ¤ ñâ - ¨- ¡®«¥¥ áâண®¥ ¨ ã-¨¢¥àá «ì-®¥ ®¯¨á -¨¥ ¯à®æ¥áᮢ, ¯à®¨á室ïé¨å ¢ ¯« §¬¥. Ž¤- ª® - ©â¨ ¥£® à¥è¥-¨¥ 㤠¥âáï ¤ «¥ª® -¥ ¢á¥£¤ , , £« ¢- -®¥, ¢® ¬-®£¨å á«ãç ïå ¡ë¢ ¥â ¤®áâ â®ç-® ®£à -¨ç¨âìáï ¡®«¥¥ ¯à®- áâë¬ ®¯¨á -¨¥¬.
• бᬮва¨¬ в¨¯¨з-го б¨вг ж¨о, ª®£¤ ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª¨¥ ¯ а ¬¥- вал ¯« §¬л ¨§¬¥-повбп ¬¥¤«¥--® ¯® ба ¢-¥-¨о б® ¢а¥¬¥- ¬¨ н«¥ªва®-- н«¥ªва®--ле ¨ ¨®--¨®--ле бв®«ª-®¢¥-¨©, τ τee, τ τii. ’®£¤ «®- ª «ì-® ¢ ª ¦¤®¬ -¥¡®«ì讬 ®¡êñ¬ç¨ª¥ ¯« §¬ë ªã«®-®¢áª¨¥ á⮫ª- -®¢¥-¨ï ç áâ¨æ ¯à¨¢®¤ïâ ª ¬ ªá¢¥««¨§ 樨 äã-ªæ¨© à á¯à¥¤¥«¥-¨ï
¢ í«¥ªâà®--®¬ ¨ ¨®--®¬ £ § å: |
|
|
− |
|
|
|
|
||
¬ |
2πT |
|
2T |
2 |
|
||||
f = f |
n |
m |
|
3=2 |
exp |
m(v − u) |
: |
(10.1) |
|
|
|
|
|
|
|||||
‘ãé¥á⢥--®, ®¤- ª®, çâ® ¯ à ¬¥âàë n, T ¨ u, е а ªв¥а¨§гой¨¥ ¬ ªб- ¢¥««®¢бª®¥ а б¯а¥¤¥«¥-¨¥, ¬¥-повбп ¢ ¯а®бва -бв¢¥ ¨ ¢® ¢а¥¬¥-¨:
n |
= |
n(r; t); |
T |
= |
T (r; t); |
u |
= |
u(r; t): |
• á¯à¥¤¥«¥-¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ å®âï ¡ë ®¤¨- ¨§ ¯ à ¬¥â஢ n, T ¨«¨ u
-¥ ¥áâì ª®-áâ -â , - §ë¢ îâ «®ª «ì-ë¬ â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª¨¬ à ¢-®¢¥- ᨥ¬. Ž-® ãáâ - ¢«¨¢ ¥âáï § ¢à¥¬ï á⮫ª-®¢¥-¨© ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ ®¤-®£® á®àâ .
‘®áâ®ï-¨¥ ¯« §¬ë ¢ «®ª «ì-®¬ â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª®¬ à ¢-®¢¥á¨¨ -¥ ï¥âáï ¯®«-®áâìî à ¢-®¢¥á-ë¬. •¥« ªá æ¨ï ª ¯®«-®¬ã â¥à¬®¤¨- - ¬¨ç¥áª®¬ã à ¢-®¢¥á¨î, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¯«®â-®áâì n, ⥬¯¥à âãà T ¨
77
᪮à®áâì u ¯« §¬ë -¥ § ¢¨áïâ -¨ ®â ª®®à¤¨- â, -¨ ®â ¢à¥¬¥-¨, ¯à®¨á- 室¨â § ¢à¥¬ï, §- ç¨â¥«ì-® ¡®«ì襥 ¢à¥¬¥-¨ í«¥ªâà®--í«¥ªâà®--ëå ¨«¨ ¨®--¨®--ëå á⮫ª-®¢¥-¨©. Ž¤-® ¨§ áãé¥á⢥--ëå ®â«¨ç¨© ¬¥- ¦¤ã ¯®«-ë¬ ¨ «®ª «ì-ë¬ â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª¨¬¨ à ¢-®¢¥á¨ï¬¨ á®áâ®- ¨â ¢ ⮬, çâ® ¯à¨ ¯®«-®¬ à ¢-®¢¥á¨¨ ⥬¯¥à âãà ¢á¥å á®à⮢ ç áâ¨æ ®¤¨- ª®¢ , â.¥. Te = Ti, â ª ¦¥ ª ª ®¤¨- ª®¢ ¨ ¨å ᪮à®áâì, ue = ui, ¯à¨ «®ª «ì-®¬ à ¢-®¢¥á¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¨ ᪮à®á⨠ª®¬¯®-¥-â ¯« §- ¬ë, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, à §«¨ç-ë. Ÿá-® ¯®í⮬ã, çâ® ¤«ï ãáâ -®¢«¥-¨ï ¯®«-®£® â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª®£® à ¢-®¢¥á¨ï âॡã¥âáï ¯® ªà ©-¥© ¬¥à¥ ¢à¥¬ï ¯®à浪 ¢à¥¬¥-¨ ¨®--í«¥ªâà®--ëå á⮫ª-®¢¥-¨© τie τii τee. —â® ª á ¥âáï ¯«®â-®áâ¨, â® ®- ¤®«¦- 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î ª¢ §¨- -¥©âà «ì-®á⨠¤ ¦¥ ¯à¨ «®ª «ì-®¬ à ¢-®¢¥á¨¨. ‘®®â¢¥âá⢥--®, ¤«ï ¯« §¬ë á ¬-®£®§ àï¤-묨 ¨®- ¬¨ ¨¬¥¥¬ ne = Zni.
Žвбгвбв¢¨¥ ¯®«-®£® в¥а¬®¤¨- ¬¨з¥бª®£® а ¢-®¢¥б¨п ®¡лз-® б¢п- § -® б в¥¬, зв® - ¯« §¬г ¤¥©бв¢гов ¢-¥и-¨¥ б¨«л, ¢л¢®¤пй¨¥ ¥с ¨§ а ¢-®¢¥б¨п. •а¨ - «¨з¨¨ в ª¨е б¨« ¯®«-®¥ в¥а¬®¤¨- ¬¨з¥бª®¥ а ¢- -®¢¥б¨¥ ¬®¦¥в ¡лвм ¢®®¡й¥ -¥ ¤®бв¨¦¨¬®.
…б«¨ ¯« §¬ - 室¨вбп ¢ б®бв®п-¨¨ «®ª «м-®£® в¥а¬®¤¨- ¬¨з¥бª®- £® а ¢-®¢¥б¨п, ¨б¯®«м§®¢ -¨¥ ª¨-¥в¨з¥бª®£® га ¢-¥-¨п ¤«п ¥с ®¯¨б - -¨п п¢«п¥вбп ¨§¡лв®з-л¬. ‚ н⮬ б«гз ¥ ¤®бв в®з-® гбв -®¢¨вм, ª ª ¡г¤гв ¬¥-пвмбп ¢® ¢а¥¬¥-¨ ¨ ¯а®бва -бв¢¥ n, T ¨ u. ‘®®â¢¥âáâ¢ãîé ï á¨á⥬ ãà ¢-¥-¨© ¤ ¥â £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª®¥ ®¯¨á -¨¥ ¤¢¨¦¥-¨ï ¯« §- ¬ë. •¥à¥©¤ñ¬ ª ¢ë¢®¤ã £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨©, ¯à¨çñ¬ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì ¢- ç «¥, çâ® áâண® f = f¬. •®á«¥¤-¥¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨¥ ¢ ¤¥©á⢨⥫ì-®á⨠®§- ç ¥â, çâ® ¬ë ¯à¥-¥¡à¥£ ¥¬ ¯à®æ¥áá ¬¨ ¯¥à¥-®- á ¯«®â-®áâ¨, ⥬¯¥à âãàë ¨ ᪮à®áâ¨, â.¥. ᮮ⢥âá⢥--® ¯à®æ¥áá - ¬¨ ¤¨ää㧨¨, ⥯«®¯à®¢®¤-®á⨠¨ ¢ï§ª®áâ¨. ‘âண® £®¢®àï, ¯à®æ¥á-
бл ¯¥а¥-®б ®вбгвбв¢гов «¨им ¢ ®¤-®а®¤-®© ¯« §¬¥, ª®£¤ |
¯«®â-®áâì |
n, ⥬¯¥à âãà T ¨ ᪮à®áâì u -¥ § ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨- â, |
¥¤¨-á⢥-- |
-л¬ ¯а¨§- ª®¬ ®вбгвбв¢¨п ¯®«-®£® в¥а¬®¤¨- ¬¨з¥бª®£® а ¢-®¢¥б¨п п¢«п¥вбп -¥а ¢¥-бв¢® в¥¬¯¥а вга н«¥ªва®-®¢ ¨ ¨®-®¢ (Te 6= Ti), â ª- ¦¥ ¨å ᪮à®á⥩ (ue 6= ui). •à¨ - «¨ç¨¨ -¥®¤-®à®¤-®á⨠¯à®æ¥ááë ¯¥- à¥-®á ®¡ëç-® ¨¤ãâ ¤®¢®«ì-® ¬¥¤«¥--®, ¨ ¯®í⮬ã - ¤®áâ â®ç-® ª®- à®âª®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¢à¥¬¥-¨ ¨¬¨ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ ¬®¦-® ¯à¥-¥- ¡à¥çì. ’ ª ¬ë ¨ ¯®áâ㯨¬ ᥩç á, ®â«®¦¨¢ ¨å à áᬮâà¥-¨¥ ¤® á«¥¤ã- î饩 «¥ªæ¨¨.
‚¢¥¤ñ¬ ®¡®§- ç¥-¨¥
h: : : i 1n Z f¬ d3v(: : : )
78
¨ § ¬¥â¨¬, çâ®
1 |
|
f¬ d3v = 1; |
|
h1i = |
|
Z |
|
n |
|||
1 |
|
v f¬ d3v = u: |
|
hvi = |
|
Z |
|
n |
|||
‚¥«¨ç¨-ë h: : : i - §ë¢ îâ ¬®¬¥-â ¬¨ äã-ªæ¨¨ à á¯à¥¤¥«¥-¨ï. „«ï
¤ «м-¥©и¥£® 㤮¡-® ¢л¤¥«¨вм е ®в¨з¥бªго б®бв ¢«пойго бª®а®бв¨ v0 = v − u. Žç¥¢¨¤-®, çâ®
hv0i = 0; |
m v20 |
|
= |
2 T: |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
•ã¤¥¬ ¨á室¨âì ¨§ ª¨-¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢-¥-¨ï, § ¯¨á --®£® ¢ ¤¨¢¥à- £¥-â-®© ä®à¬¥:
∂ta |
+ div v fa + ma ∂v |
E + c [v; B] fa = Stab + Staa: |
(10.2) |
||
∂ f |
|
ea ∂ |
1 |
|
|
Š ª ¬ë ãá«®¢¨«¨áì - ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥ªæ¨¨, ¨-¤¥ªáë `a' ¨ `b' ¬®£ãâ ¯à¨-¨¬ âì §- ç¥-¨ï `e' «¨¡® `i', ¯à¨çñ¬, ¥á«¨ a = i, â® b = e ¨ - ®¡®à®â.
• ©¤ñ¬ ¯¥à¢ë© ¬®¬¥-â ª¨-¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢-¥-¨ï, â.¥. ã¬-®¦¨¬ ãà ¢-¥-¨¥ (10.2) - d3v ¨ ¢ëç¨á«¨¬ âàñ嬥à-ë© ¨-â¥£à «. ˆ-â¥£à «ë
á⮫ª-®¢¥-¨© Staa ¨ Stab ¢ë¯ ¤ãâ, â ª ª ª ç¨á«® ç áâ¨æ ¯à¨ ªã«®-®¢- ᪨å á⮫ª-®¢¥-¨ïå á®åà -ï¥âáï, ¨ ¬ë ¯®«ã稬 ãà ¢-¥-¨¥ -¥¯à¥àë¢-
-®áâ¨
∂n |
+ div nu = 0 |
; |
(10.3) |
∂t |
â ª ª ª ¨-â¥£à « ®â âà¥â쥣® á« £ ¥¬®£® ¢ (10.2) â ª¦¥ à ¢¥- -ã«î (- ¤® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© Žáâà®£à ¤áª®£®-ƒ ãáá ¨ ¯à¥®¡à §®- ¢ âì íâ®â ¨-â¥£à « ª ¨-â¥£à «ã ¯® ¡¥áª®-¥ç-® 㤠«ñ--®© ¯®¢¥àå-®á⨠¢ ¯à®áâà -á⢥ ᪮à®á⥩). „«ï ªà ⪮á⨠¬ë ®¯ã᪠¥¬ ¨-¤¥ªá `a' ã ¢¥«¨ç¨- n ¨ u ¢ ãà ¢-¥-¨ïå, ª®â®àë¥ ¢ à ¢-®© á⥯¥-¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¤«ï ¢á¥å á®à⮢ ç áâ¨æ.
’¥¯¥àì ¢ëç¨á«¨¬ ¢â®à®© ¬®¬¥-â ª¨-¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢-¥-¨ï: ã¬-®- ¦¨¬ ¥£® - mav ¨ ¯à®¨-⥣à¨à㥬 ¯® d3v; ¯à¨ í⮬ Staa ¢ë¯ ¤¥â ¢ ᨫã
á®åà -¥-¨ï ¨¬¯ã«ìá |
¢ á⮫ª-®¢¥-¨ïå ç áâ¨æ ®¤-®£® á®àâ . •®«ã稬 |
||||||
m ∂t nuα + ∂xβ |
αβ − e |
E + c [u; B] α n = Rα; |
(10.4) |
||||
|
∂ |
|
∂ |
|
1 |
|
|
79