Лекция 3
Степень ионизации термодинамически равновесной плазмы. Формула Саха
• ¨¡®«¥¥ ¥áâ¥á⢥--ë© á¯®á®¡ ᮧ¤ -¨ï ¯« §¬ë á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë - £à¥âì £ § ¤® ¢ë᮪®© ⥬¯¥à âãàë. •à¨ í⮬ ç áâ¨æë £ § , ®¡« ¤ ï ¢ë᮪®© ª¨-¥â¨ç¥áª®© í-¥à£¨¥©, ¯à¨ á⮫ª-®¢¥-¨ïå á -¥©âà «ì-묨 ⮬ ¬¨ áàë¢ îâ í«¥ªâà®-ë á ⮬-ëå ®à¡¨â, £ § ¨®-¨§ã¥âáï ¨ ¢®§- -¨ª ¥â ¯« §¬ . Ÿá-®, çâ® á⥯¥-ì ¨®-¨§ 樨 £ § § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥- à âãàë T , -® ª ª? “-¨¢¥àá «ì-ë© ®â¢¥â ¬®¦-® ¤ âì, ¥á«¨ ¯à¥¤¯®«®- ¦¨âì, çâ® - £à¥âë© ¨®-¨§®¢ --ë© £ § - 室¨âáï ¢ â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª¨ à ¢-®¢¥á-®¬ á®áâ®ï-¨¨. •à¨ í⮬ ¬®¦-® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥â®¤ ¬¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¨ à áᬮâà¥âì ¯à®æ¥áá ¨®-¨§ 樨 ª ª 娬¨ç¥- áªãî ॠªæ¨î, ¯®âॡ®¢ ¢ ¬¨-¨¬ã¬ â¥à¬®¤¨- ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥-æ¨ - « ¢ á®áâ®ï-¨¨ à ¢-®¢¥á¨ï. Œë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¡®«¥¥ - £«ï¤-ë¬, å®âï ¨ -¥ á⮫ì áâண¨¬ ¯®¤å®¤®¬. „«ï ®¯à¥¤¥«¥--®á⨠¡ã¤¥¬ à áᬠâà¨-
¢ |
âì ¨®-¨§ æ¨î ⮬ à-®£® ¢®¤®à®¤ (¯à¨ ¨-â¥à¥áãîé¨å - á ⥬¯¥- |
à |
âãà å ¬®«¥ªã«ë ¢®¤®à®¤ ¤¨áá®æ¨¨àãîâ). |
•ãáâì ¯¥à¢®- ç «ì-® ¢ ®¡ê¥¬¥ V ¨¬¥¥âáï Na0 ⮬®¢. ‚ १ã«ìâ ⥠¨®-¨§ 樨 ¢®§-¨ª-¥â Ni ¨®-®¢ ¨ á⮫쪮 ¦¥ í«¥ªâà®-®¢, Ne = Ni; ç¥à¥§ Na ®¡®§- 稬 ª®«¨ç¥á⢮ ®áâ ¢è¨åáï ⮬®¢, Na = Na0 − Ni.
• áᬮâਬ ®¤-® ⮬-®¥ ï¤à® (¯à®â®-). …᫨ ®ª®«® -¥£® - 室¨â- áï á¢ï§ --ë© í«¥ªâà®-, â® ¬ë ¨¬¥¥¬ ⮬, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ íâ® ¨®-. ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬¨ ¯à¨-樯 ¬¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¢¥à®ïâ- -®áâì wk ⮣®, çâ® í«¥ªâà®- - 室¨âáï ¢ á®áâ®ï-¨¨ á í-¥à£¨¥© εk , à ¢-
|
ε |
|
|
wk = A exp − |
k |
; |
(3.1) |
T |
|||
£¤¥ A | -¥ª®â®à ï -®à¬¨à®¢®ç- ï ª®-áâ -â . Žâà¨æ ⥫ì-ë¬ §- ç¥- |
|||
-¨ï¬ í-¥à£¨¨, εk < 0, ®â¢¥ç îâ á¢ï§ --ë¥ á®áâ®ï-¨ï, |
í-¥à£¨ï εk > 0 |
||
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᢮¡®¤-®¬ã ¤¢¨¦¥-¨î. Š ª ¨§¢¥áâ-®, í-¥à£¨ï á¢ï§ -- -ëå á®áâ®ï-¨© ¢ ⮬¥ ¢®¤®à®¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
εk = − |
me4 |
(3.2) |
2~2k2 ; |
20
£¤¥ k ¯à¨-¨¬ ¥â æ¥«ë¥ §- ç¥-¨ï, k = 1, 2, ... . „«ï ã¯à®é¥-¨ï ¢ëç¨-
á«¥-¨© ¬ë ¡ã¤¥¬ ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 á ¬ë© -¨¦-¨© ã஢¥-ì, k = 1. |
‚ |
||||
â |
4 2 |
|
− |
I, £¤¥ I = Ry |
|
|
ª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ í«¥ªâà®- «¨¡® ¨¬¥¥â í-¥à£¨î ε = |
|
|
||
me =2~ |
= 13;6 í‚, «¨¡® - 室¨âáï ¢ -¥¯à¥àë¢-®¬ ᯥªâॠá εk > 0. ‚¥- |
||||
«¨ç¨- |
I - §ë¢ ¥âáï ¯®â¥-æ¨ «®¬ ¨®-¨§ 樨 ⮬ ¢®¤®à®¤ . |
|
|||
|
• ©¤¥¬ ¢¥«¨ç¨-ã A , ¯®âॡ®¢ ¢, çâ®¡ë ¯®«- ï ¢¥à®ïâ-®áâì í«¥ª- |
||||
âà®-ã ¨¬¥âì ª ªãî--¨¡ã¤ì í-¥à£¨î à ¢-ï« áì ¥¤¨-¨æ¥, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
åwk = 1: |
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
•â® ¤ ¥â |
"åk |
exp − Tk |
# |
|
|
|||||
A = |
−1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
" |
|
T |
εk>0 |
− T |
|||||
= |
exp |
|
I |
+ |
|
å exp |
εk |
|||
|
|
|
|
|||||||
(3.3)
#−1
:(3.4)
‘®áâ®ï-¨ï á εk > 0 ®¡à §ãîâ -¥¯à¥àë¢-ë© á¯¥ªâà, ¯®í⮬ã á㬬㠯® ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬ §- ç¥-¨ï¬ í-¥à£¨¨ ¢ (3.4) - ¤® § ¬¥-¨âì - ¨-- â¥£à «. ‘®¢¥àè ï â ªãî § ¬¥-ã, ¬ë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ª¢ §¨ª« áá¨ç¥- ᪨¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥¬, ᮣ« á-® ª®â®à®¬ã ª ¦¤®¬ã í-¥à£¥â¨ç¥áª®¬ã á®-
áâ®ï-¨î í«¥ªâà®- ᮮ⢥âáâ¢ã¥â í«¥¬¥-â à- ï ï祩ª ä §®¢®£® ¯à®- áâà -á⢠1, ®¡ê¥¬ ª®â®à®© d3 pd3r à ¢¥- (2π~)3:
å ! Z |
d3 pd3r |
: |
(2π~)3 |
||
εk >0 |
|
|
Šà®¬¥ ⮣®, ¬ë ¯à¥-¥¡à¥¦¥¬ í-¥à£¨¥© ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᢮¡®¤-®£® í«¥ªâà®- á ï¤à®¬, ¯®áª®«ìªã ¢ ¡®«ì让 ç á⨠á®áâ®ï-¨© -¥¯à¥àë¢-®-
£® ᯥªâà íâ í-¥à£¨ï ®ª §ë¢ ¥âáï ®â-®á¨â¥«ì-® ¬ «®©. ’®£¤ í-¥à- £¨ï ε ᢮¡®¤-®£® í«¥ªâà®- à ¢- p2=2m, çâ® ¯®§¢®«ï¥â «¥£ª® ¢ëç¨-
1 Œë ãâ®ç-¨¬ íâ® ã⢥ত¥-¨¥ ¢ ª®-æ¥ «¥ªæ¨¨.
21
᫨âì ¢®§-¨ª î騩 ¨-â¥£à « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ε |
|
|
d3 pd3r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
εk>0 |
− T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(2π~) |
3 e−p =2mT |
|
|
|
|
||||||||
å exp |
k |
= Z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
|
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
Z0 |
4π p2 d p e−p |
=2mT |
|
|||||||
|
|
(2π~)3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
4πv |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
||
|
|
= |
(2mT )3=2 Z0 |
dxx2 e−x |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(2π~)3 |
|
|||||||||||
|
|
|
vm3=2T 3=2 |
|
| |
|
|
{z= |
} |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=pπ 4 |
|
||
|
|
= |
|
: |
|
|
|
|
|
(3.5) |
||||
|
|
23=2π3=2~3 |
|
|
|
|
|
|||||||
‚ १ã«ìâ ⥠¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¯® d3r ¢ ¢ëà ¦¥-¨¥ (3.5) ¢®è¥« ®¡ê¥¬ v, ¤®áâã¯-ë© ®¤-®¬ã ᢮¡®¤-®¬ã í«¥ªâà®-ã. ‚®®¡é¥ £®¢®àï, ª ¦¤ë© ᢮¡®¤-ë© í«¥ªâà®- ¬®¦¥â - 室¨âìáï ¢ «î¡®© â®çª¥ ®¡ê¥¬ V , § -ï-
⮣® ¯« §¬®©. Ž¤- ª® ¯à¨ ¯®¤áç¥â¥ ¢¥à®ïâ-®á⨠- ©â¨ í«¥ªâà®- à冷¬ á § ¤ --ë¬ ï¤à®¬ -¥ ¢ ¦-®, ª ª®© ¨¬¥--® ¨§ ¯®«-®£® - ¡®à Ne ᢮- ¡®¤-ëå í«¥ªâà®-®¢ ¥áâì â®â á ¬ë© í«¥ªâà®-. •®í⮬ã -¥âàã¤-® ¤®£ - ¤ âìáï, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ v -ã¦-® ¢§ïâì ®¡ê¥¬, à ¢-ë© ®â-®è¥-¨î ¯®«-®-
£® ®¡ê¥¬ ¯« §¬ë ª ª®«¨ç¥áâ¢ã ᢮¡®¤-ëå í«¥ªâà®-®¢, v = V =Ne = ne−1. |
||||||||||
|
λ |
|
p |
|
|
~ |
|
p |
|
|
‚¢¥¤¥¬ â ª¦¥ ®¡®§- ç¥-¨¥ |
• = |
|
π |
= |
mT ¤«ï ¤«¨-ë ¢®«-ë ¤¥ •à®©- |
|||||
|
2 |
|
|
|
||||||
«ï. ’®£¤ १ã«ìâ â ¢ëç¨á«¥-¨ï -®à¬¨à®¢®ç-®© ª®-áâ -âë § ¯¨áë¢ - ¥âáï ¢ ª®¬¯ ªâ-®¬ ¢¨¤¥
A = eI=T + 1=λ•3 ne : |
(3.6) |
‚¥à®ïâ-®áâì wa ⮣®, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© ¯à®â®- ï¥âáï ï¤à®¬
-¥©âà «ì-®£® |
⮬ (â.¥. ¢¡«¨§¨ -¥£® - 室¨âáï í«¥ªâà®- ¢ á¢ï§ --®¬ |
||
á®áâ®ï-¨¨), à |
¢- |
|
|
|
wa = |
eI=T |
|
|
|
; |
|
|
eI=T + 1=λ•3 ne |
||
¢¥à®ïâ-®áâì wi ⮣®, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 í«¥ªâà®- ã襫 ¢ -¥¯à¥- àë¢-ë© á¯¥ªâà ( , á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ⮬ ¨®-¨§®¢ -), à ¢-
1=λ3 ne
wi = 1 − wa = eI=T + 1•=λ3•ne :
22
ˆå ®â-®è¥-¨¥ ¤ ñâ ®â-®è¥-¨¥ ¯«®â-®á⥩ ¨®-®¢ ¨ í«¥ªâà®-®¢ ¢ ¯« §- ¬¥
ni |
= |
wi |
= |
e−I=T |
: |
(3.7) |
||
n |
a |
w |
λ3 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
•ne |
|
|
||
Žâáî¤ ¬ë - 室¨¬ ä®à¬ã«ã, ¢ëà ¦ îéãî ¯«®â-®á⨠¨®-®¢, í«¥ª- âà®-®¢ ¨ ⮬®¢ ç¥à¥§ ⥬¯¥à âãàã ¯« §¬ë | ä®à¬ã«ã ‘ å :
nine |
= |
e−I=T |
: |
(3.8) |
|
na |
λ3 |
||||
|
|
|
|||
|
|
• |
|
|
’¥¯¥àì - áâ «® ¢à¥¬ï ᤥ« âì ¢ ¦-®¥ ãâ®ç-¥-¨¥, ª®â®à®£® ¬ë - - ¬¥à¥--® ¨§¡¥£ «¨ à -¥¥, ç⮡ë -¥ ¯¥à¥ãá«®¦-ïâì à áç¥â.
“ ª ¦¤®£® í«¥ªâà®- , ¨®- ¨«¨ ⮬ ¥áâì ¥é¥ ¢-ãâà¥--¨¥ á⥯¥-¨ ᢮¡®¤ë. • ¯à¨¬¥à, í«¥ªâà®- ¨¬¥¥â ᯨ-, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì - - ¯à ¢«¥- «¨¡® ý¢¢¥àåþ, «¨¡® ý¢-¨§þ. “ç¥â ¢-ãâà¥--¨å á⥯¥-¥© ᢮- ¡®¤ë (â.¥. ᯨ- ) -¥ ¬¥-ï¥â í-¥à£¨î ã஢-¥© ᢮¡®¤-®£® í«¥ªâà®- , ¨ - ®¤-®¬ í-¥à£¥â¨ç¥áª®¬ ã஢-¥ ®¤-®¢à¥¬¥--® ¬®£ãâ - 室¨âìáï ¤¢ í«¥ªâà®- . ‚ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® ã஢-¨ ¢ë஦¤¥-ë. •â® ®¡- áâ®ï⥫ìá⢮ ãç¨âë¢ îâ, ¢¢®¤ï áâ ⢥á í«¥ªâà®- ge. Š ª ¬ë ¢¨¤¨¬, ge = 2. •®í⮬㠢 ä®à¬ã«¥ (3.8) -ã¦-® ¯®¤ ne ¢ ¤¥©á⢨⥫ì-®á⨠¯®- -¨¬ âì ¢¥«¨ç¨-ã ne=ge, â ª ª ª ¬ë § -¨§¨«¨ ¯«®â-®áâì í«¥ªâà®-®¢ ¢
¤¢ |
à § . ’®ç-® â ª ¦¥ áâ â¢¥á ¨¬¥îâ ¨®- ¨ |
⮬. ‚ ®ª®-ç ⥫ì-®¬ |
|||||||||||||||
¢¨¤¥ ä®à¬ã« ‘ å ¢ë£«ï¤¨â â ª: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nine |
|
gige e−I=T |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
K(T ) |
: |
(3.9) |
|
|
|
|
na |
ga |
λ•3 |
|
|
||||||||||
‚室ïé ï ¢ ¯à ¢ãî ç áâì äã-ªæ¨ï ⥬¯¥à âãàë K(T ) - §ë¢ ¥âáï ª®-- |
|||||||||||||||||
áâ |
-⮩ à ¢-®¢¥á¨ï. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ž¯à¥¤¥«¨¬ á⥯¥-ì ¨®-¨§ 樨 ¯« §¬ë α ª ª ®â-®è¥-¨¥ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α = |
Ni |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
||||
¨ ®¡®§- 稬 ç¥à¥§ na0 ¯«®â-®áâì 拉à, na0 = Na0=V . ’®£¤ |
|
||||||||||||||||
|
ne = ni = αna0; |
|
na = (1 − α)na0; |
|
|||||||||||||
¨ ¨§ ä®à¬ã«ë ‘ å - 室¨¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
α2 |
gige e−I=T |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
: |
|
(3.10) |
||||||
|
|
|
|
1 − α |
ga |
λ•3 na0 |
|
||||||||||
23
•¨á. 3.1. ‘⥯¥-ì ¨®-¨§ 樨 â¥à¬®- ¤¨- ¬¨ç¥áª¨ à ¢-®¢¥á-®© ¢®¤®à®¤- -®© ¯« §¬ë ¯à¨ à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨- ïå ¯«®â-®á⨠(㪠§ - - à¨á. ¢ ¥¤¨- -¨æ å á¬−3 ). ‘â ⢥á ⮬ ¢®¤®- த ga ¢ ®á-®¢-®¬ á®áâ®ï-¨¨ à ¢¥- ¯à®¨§¢¥¤¥-¨î áâ ⢥ᮢ í«¥ªâà®- ¨
¯à®â®- : ge ¨ gi
Š ç¥á⢥-- ï § ¢¨á¨¬®áâì α(T ) ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¨§®¡à ¦¥--ë© - à¨á. 3.1. |
|
•à¨ ¬ «ëå ⥬¯¥à âãà å α à ¢-® -ã«î, ¯à¨ ¡®«ìè¨å | ¥¤¨-¨æ¥, |
¯¥- |
à¥å®¤ ¯« ¢-® ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨ -¥ª®â®à®© ⥬¯¥à âãॠT . • |
¯¥à- |
¢ë© ¢§£«ï¤, ¬®£«® ¡ë ¯®ª § âìáï, çâ® T ¤®«¦-® ¯® ¯®ап¤ªг ¢¥«¨з¨- -л а ¢-пвмбп н-¥а£¨¨ ¨®-¨§ ж¨¨ I. •à¨ í⮬ á।-¥© ª¨-¥â¨ç¥áª®© í-¥à£¨¨ ç áâ¨æ ª ª à § å¢ â ¥â, çâ®¡ë ®áãé¥á⢨âì ¨®-¨§ æ¨î. • á ¬®¬ ¤¥«¥ ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® T I. •â® á¢ï§ -® á ⥬, çâ® ¯¥à¥¤ íªá- ¯®-¥-⮩ ¢ (3.10) á⮨⠮ç¥-ì ¡®«ì让 ¬-®¦¨â¥«ì, à ¢-ë© ¯® ¯®àï¤-
ªã ¢¥«¨ç¨-ë ªã¡ã ®â-®è¥-¨ï á।-¥£® à ááâ®ï-¨ï ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ n−1=3 ª ¤¥¡à®©«¥¢áª®© ¤«¨-¥ ¢®«-ë í«¥ªâà®-®¢ ~=(mT )1=2. „«ï ¯à¨¬¥- à ¯à¨¢¥¤¥¬ ç¨á«¥--ë¥ §- ç¥-¨ï ¤«ï ¯« §¬ë á ¯«®â-®áâìî na0 = 1015 á¬−3. •à¨ T = I = 13;6 í‚ ¬-®¦¨â¥«ì ¯¥à¥¤ íªá¯®-¥-⮩ ¢ (3.10) à ¢¥-
6 107, |
íâ® ®§- ç ¥â, çâ® ¯à¨ â ª®© ⥬¯¥à âãॠ¢¥«¨ç¨- α 㦥 ®ç¥-ì |
¡«¨§ª |
ª ¥¤¨-¨æ¥: |
|
1 − α = 2 10−8: |
‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® α = 0;5 ¯à¨ T = 0;065 I = 0;9 í‚.
Ž¡á㤨¬ ⥯¥àì, ª ªãî ®è¨¡ªã ¬ë ᤥ« «¨, ¯à¥-¥¡à¥£è¨ ã஢-ï- ¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¢®§¡ã¦¤¥--ë¬ á®áâ®ï-¨ï¬ ¢ ⮬¥ ¢®¤®à®¤ .
•®áª®«ìªã, |
ª ª ¬ë ãáâ -®¢¨«¨, ¨®-¨§ æ¨ï ¯à®¨á室¨â ¯à¨ T I |
3, |
à ááâ®ï-¨¥ ®â ®á-®¢-®£® ¤® ¯¥à¢®£® ¢®§¡ã¦¤¥--®£® ã஢-ï à ¢-® |
4 I, |
|
â® ¢¥à®ïâ-®áâì í«¥ªâà®-ã ¯¥à¥©â¨ ¤ ¦¥ ¢ ¯¥à¢®¥ ¢®§¡ã¦¤¥--®¥ á®áâ®- ï-¨¥, ¯à®¯®à樮- «ì- ï exp[− 34 I=T ], ®ç¥-ì ¬ « . „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, í«¥ªâà®- ý¯à¥¤¯®ç¨â ¥âþ ¯¥à¥©â¨ ¢ -¥¯à¥àë¢-ë© á¯¥ªâà, ¢¬¥áâ® â®- £® ç⮡ë ýá¥áâìþ - á«¥¤ãî騩 ã஢¥-ì. •à¨ç¨- â ª®£® ¯®¢¥¤¥-¨ï § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ª®«¨ç¥á⢮ ã஢-¥© ¢ -¥¯à¥àë¢-®¬ ᯥªâà¥
24
®ç¥-ì ¢¥«¨ª®, ¨ å®âï ¢¥à®ïâ-®áâì - 室¨âìáï - ª ¦¤®¬ ¨§ -¨å ®â-®- á¨â¥«ì-® ¬ « , á㬬 à- ï ¢¥à®ïâ-®áâì ¯®¯ áâì - ª ª®©-â® ã஢¥-ì -¥¯à¥àë¢-®£® ᯥªâà ®ª §ë¢ ¥âáï §- ç¨â¥«ì-®© 㦥 ¯à¨ T I.
I Задача 3.1
Оценить степень ионизации межзвездной плазмы (см. табл. 1.1), предположив, что она описывается формулой Саха.
I Задача 3.2
Водород плотностью 1017 á¬−3 нагрет до температуры 1н‚. Для того чтобы увеличить проводимость получившейся плазмы, в не¸ добавляют примесь калия. Какова должна быть доля примесных атомов, чтобы чи- сло свободных электронов увеличилось в 2 раза? Энергия ионизации калия равна 4;3 н‚, а его основное состояние двукратно вырождено.
I Задача 3.3
Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием, найти статвес атома водорода, находящегося на k-м энергетическом уровне.
I Задача 3.4
Статвес атома, находящегося на k-м энергетическом уровне, равен 2k2, поэтому сумма ряда å∞k=1 2k2 exp(−ek=T ), представляющая вероятность электрону находиться в связанном состоянии, формально расходится. Означает ли это, что пренебрежение вкладом уровней с k ! ¥ при выводе формулы Саха ошибочно?
25
Лекция 4
Кулоновские столкновения. Кулоновский логарифм
‚® ¬-®£¨е ¯а®ж¥бб е ¢ ¯« §¬¥ ®¯а¥¤¥«пойго а®«м ¨£а ов ªг«®-®¢- бª¨¥ бв®«ª-®¢¥-¨п ¬¥¦¤г § ап¦¥--л¬¨ з бв¨ж ¬¨. Œл - з-с¬ ¨§гз¥- -¨¥ ªг«®-®¢бª¨е бв®«ª-®¢¥-¨© б а бᬮва¥-¨п б«¥¤гой¥© § ¤ з¨: - ªг«®-®¢бª¨© ж¥-ва § ап¤ Z2e - «¥â ¥â ¯®â®ª j ç áâ¨æ á § à冷¬ Z1e (à¨á. 4.1). ‚лз¨б«¨¬ б¨«г, ¤¥©бв¢гойго - а бб¥¨¢ ой¨© ж¥-ва.
•ãáâì ρ ®¡®§- ç ¥â ¯à¨æ¥«ì-®¥ à ááâ®ï-¨¥ - «¥â î饩 ç áâ¨æë.
—¥à¥§ ª®«¥çª® ¯«®é ¤ìî 2πρ dρ ¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨ ¯à®«¥â ¥â 2πρ dρ j ç áâ¨æ. Š ¦¤ ï ç áâ¨æ ®âª«®-ï¥âáï - 㣮« θ, § ¢¨áï騩 ®â ¯à¨æ¥«ì- -®£® à ááâ®ï-¨ï ρ, ¨ ¯¥à¥¤ ñâ à áᥨ¢ î饬ã æ¥-âà㠯த®«ì-ë© ¨¬- ¯ã«ìá
pq = mv (1 − cosθ):
ˆáª®¬ ï ᨫ F ¡ã¤¥â - ¯à ¢«¥- ¢¤®«ì ᪮à®á⨠- «¥â î饣® ¯®â®- ª ç áâ¨æ ¨ à ¢- ¨¬¯ã«ìáã, ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬®¬ã à áᥨ¢ î饬ã æ¥-âàã ¢ ¥¤¨-¨æ㠢६¥-¨,
|
∞ |
|
F = Z0 |
j mv (1 − cosθ) 2πρ dρ = mv jσâà; |
(4.1) |
•¨á. 4.1. ’à ¥ªâ®à¨ï |
§ àï¤ |
Z1e, à áᥨ¢ î饣®áï - |
-¥¯®- |
¤¢¨¦-®¬ ªã«®-®¢áª®¬ æ¥-âà¥
Z2e
26
£¤¥ |
|
σâà = 2π Z0∞ (1 − cosθ) ρ dρ: |
(4.2) |
• à ¬¥âà σâà - §ë¢ ¥âáï âà -ᯮàâ-ë¬ á¥ç¥-¨¥¬ ¨ ¨¬¥¥â á¬ëá« ¯«®- é ¤¨ ¯®¯¥à¥ç-®£® á¥ç¥-¨ï, ª®â®à®¥ ¨¬¥« ¡ë à áᥨ¢ î騩 æ¥-âà, ¥á- «¨ ¡ë ®- ¯®«-®áâìî ¯®£«®é « ¨¬¯ã«ìá ¯ ¤ îé¨å - -¥£® ç áâ¨æ.
„«ï ⮣® çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « (4.2), -¥®¡å®¤¨¬® §- âì § ¢¨- ᨬ®áâì θ ®â ρ. •â § ¢¨á¨¬®áâì «¥£ª® - 室¨âáï ¢ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ ¤ - «¥ª¨å ¯à®«¥â®¢, â.¥. ª®£¤ ¯à¨æ¥«ì-®¥ à ááâ®ï-¨¥ - á⮫쪮 ¢¥«¨ª®, ç⮠㣮« θ ¬®¦-® áç¨â âì ¬ «ë¬, θ 1. ‚ â ª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ ¬®¦-® â ª¦¥ áç¨â âì, çâ® ç áâ¨æ ¤¢¨¦¥âáï ¯® ¯àאַ© á ¯®áâ®ï--®© ᪮à®- áâìî v, ¨ - ©в¨ ¨§¬¥-¥-¨¥ ¥¥ ¯®¯¥а¥з-®£® ¨¬¯г«мб , ¯а®¨-в¥£а¨а®¢ ¢ ¯¥а¯¥-¤¨ªг«па-го ª ва ¥ªв®а¨¨ б®бв ¢«пойго ªг«®-®¢бª®© б¨«л ¯® ¢а¥¬¥-¨:
|
|
∞ |
|
|
∞ |
Z1Z2e2ρ |
|
|||||||
p? = mvθ = Z |
∞ F?dt = Z |
|
|
|
|
dt |
||||||||
∞ |
|
(ρ2 + v2t2)3=2 |
||||||||||||
|
|
− |
∞ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
Z1Z2e2 |
dx |
|
|
|
= |
|
2Z1Z2e2 |
|
|||||
|
Z |
|
∞ |
|
|
|
|
: |
|
|||||
ρv |
− |
(1 + x2)3=2 |
ρv |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Žâáî¤ - 室¨¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ = |
2Z1Z2e2 |
|
|
|
(4.3) |
||||||
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
mρv2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Šáâ â¨, â®ç- ï ä®à¬ã« •¥§¥àä®à¤ , ¤ îé ï § ¢¨á¨¬®áâì θ ®â ρ ¯à¨ «î¡ëå ρ, -¥- ¬-®£® á«®¦-¥¥ (4.3):
tg |
θ |
= |
Z1Z2e2 |
(4.4) |
|
|
|
: |
|||
2 |
mρv2 |
||||
‚®§¢à é ïáì ª ¨-â¥£à «ã (4.2), § ¬¥â¨¬ (¨ íâ® ¡ã¤¥â ¯®¤â¢¥à¦¤¥-® à¥- §ã«ìâ ⮬), çâ® ®á-®¢-®© ¢ª« ¤ ¢ -¥£® ¡ã¤ãâ ¢-®á¨âì ¡®«ì訥 à ááâ®- ï-¨ï, £¤¥ ª ª à § ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¤ «¥ª¨å ¯à®«¥â®¢. •®«ì- §ãïáì à §«®¦¥-¨¥¬
1 − cosθ = 21 θ2
¨ ä®à¬ã«®© (4.3), ¨§ (4.2) - 室¨¬
|
4πZ2Z2e4 |
|
dρ |
|
||
σâà = |
1 |
2 |
|
|
: |
(4.5) |
m2v4 |
Z |
ρ |
||||
27
Š ª ¢¨¤-®, - ¯¨á --ë© ¨-â¥£à « «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨ à á室¨âáï - -¨¦- -¥¬ ¨ ¢¥àå-¥¬ ¯à¥¤¥« å. • á室¨¬®áâì ¯à¨ ¬ «ëå ρ á¢ï§ - á ⥬, çâ® §¤¥áì - àãè ¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ --®¥ - ¬¨ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¤ «ñª¨å ¯à®«ñ- ⮢. •â®© à á室¨¬®á⨠-¥ ¢®§-¨ª«®, ¥á«¨ ¡ë ¬ë ¯®«ì§®¢ «¨áì â®ç- -ë¬ ¢ëà ¦¥-¨¥¬ (4.4). ˆá¯à ¢¨âì ¯®«®¦¥-¨¥ ¬®¦-®, § ¬¥-¨¢ -¨¦-¨©
¯à¥¤¥« ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï ¢ (4.5) - ¬¨-¨¬ «ì-®¥ à ááâ®ï-¨¥ ρmin, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¥é¥ ¬®¦-® ¯®«ì§®¢ âìáï - 訬 ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥¬. •®áª®«ìªã
¨-â¥£à « (4.5) § ¢¨á¨â ®â -¨¦-¥£® ¯à¥¤¥« ⮫쪮 «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨, â®
â®ç-®¥ §- ç¥-¨¥ ρmin -¥ ®ç¥-ì áãé¥á⢥--®. ‚ ª ç¥á⢥ ρmin ¬®¦-® ¢ë¡à âì â® ¯à¨æ¥«ì-®¥ à ááâ®ï-¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¯à®¨á室¨â à áá¥ï-
-¨¥ - 㣮« ¯®à浪 π=2: |
|
|
|
ρmin |
Z1Z2e2 |
(4.6) |
|
|
: |
||
mv2 |
|||
• á室¨¬®áâì ¯à¨ ¡®«ìè¨å §- ç¥-¨ïå ρ -®á¨â ¡®«¥¥ £«ã¡®ªãî ¯à¨ç¨- -ã. Ž- á¢ï§ - á ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® ªã«®-®¢áª¨© ¯®â¥-æ¨ « ᫨誮¬ ¬¥¤«¥--® ã¡ë¢ ¥â á à ááâ®ï-¨¥¬. Ž¤- ª®, ª ª ¬ë 㦥 §- ¥¬, - á ¬®¬ ¤¥«¥ ¢ ¯« §¬¥ ¯®â¥-æ¨ « § àï¤ íªà -¨àã¥âáï, â ª çâ® - à á- áâ®ï-¨ïå, ¡®«ìè¨å 祬 ¤¥¡ ¥¢áª¨© à ¤¨ãá rD , ¯®«¥ ᯠ¤ ¥â íªá¯®-¥-- æ¨ «ì-®. “ç¥â í⮣® ®¡áâ®ï⥫ìá⢠¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¯à¨æ¥«ì-ë¥ à ááâ®ï-¨ï, ¡®«ì訥 rD , ä ªâ¨ç¥áª¨ -¥ ¢-®áïâ ¢ª« ¤ ¢ (4.5), ¨ ¯®íâ®- ¬ã ¢ ª ç¥á⢥ ¢¥àå-¥£® ¯à¥¤¥« ρmax ¢ ¨-â¥£à «¥ ¬®¦-® ¢§ïâì ¢¥«¨ç¨-ã rD :
ρmax |
T |
|
1=2 |
|
|
: |
(4.7) |
||||
4πne2 |
’®ç-®¥ §- ç¥-¨¥ ®â-®è¥-¨ï ρmax=ρmin -¥ ®ç¥-ì áãé¥á⢥--®, ¯®áª®«ì- ªã ®-® ¢å®¤¨â ¯®¤ §- ª®¬ «®£ à¨ä¬ (¯® í⮩ ¯à¨ç¨-¥ ¬ë -¥ ãç¨âë¢ -
«¨ â ª¦¥, çâ® - á ¬®¬ ¤¥«¥ ¯®«¥ § àï¤ ¢ ¯« §¬¥ ï¥âáï -¥ ªã«®-®¢-
᪨¬, ýíªà -¨à®¢ --ë¬ ªã«®-®¬þ; ãçñâ í⮣® ®¡áâ®ï⥫ìá⢠|
¤ « ¡ë |
||
¬-®¦¨â¥«ì ¯®à浪 ¥¤¨-¨æë ¯®¤ §- ª®¬ «®£ à¨ä¬ ). |
|
||
‚¥«¨ç¨-ã |
|
|
|
= ln |
ρmax |
(4.8) |
|
ρ |
min |
||
|
|
|
|
- §ë¢ î⠪㫮-®¢áª¨¬ «®£ à¨ä¬®¬. ‚ ¦-® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®¤ §- ª®¬
«®£ à¨ä¬ ¢ (4.8) á⮨⠡®«ì讥 ç¨á«®. „¥©á⢨⥫ì-®, ¯®«®¦¨¬ ¤«ï ®æ¥-ª¨ v2 = 3T =m, Z1 = Z2 = 1, ⮣¤
ρmax |
|
3T 3=2 |
|
ρmin |
= |
|
ND 1: |
2π1=2e3n1=2 |
|||
28
„«ï ¯« §¬ë á T = 100 í‚, n = 1014 á¬−3 - 室¨¬
|
ρmax |
= 1;5 106; |
= 14;3: |
|
||
|
ρmin |
|
||||
Ž¡ëç-® ¢ ª ç¥á⢥ ¡¥àãâ ç¨á«® 10{15. |
|
|
||||
ˆâ ª, ¤«ï ¢¥«¨ç¨-ë σâà ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥-¨¥ |
H 16.10.98 |
|||||
|
|
|
4π Z2Z2e4 |
|
|
|
|
|
σâà = |
1 |
2 |
: |
(4.9) |
|
|
m2v4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
•â® á¥ç¥-¨¥ ¯ ¤ ¥â ®¡à â-® ¯à®¯®à樮- «ì-® ª¢ ¤à âã í-¥à£¨¨ - - N «¥â îé¨å ç áâ¨æ E = mv2=2. •à¨-¨¬ ï Z1 = Z2 = 1 ¨ = 15, ¯®«ã稬 ¯à ªâ¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã
σâà ' |
10−12 |
2 |
|
|
|
|
ᬠ|
|
: |
(4.10) |
|
E2[í‚] |
|
||||
‹¨â¥à âãà : [10, x1, 2]; [1, x1.4]; [16, £«.2, x10.1].
I Задача 4.1
Электрон, имеющий на бесконечности скорость v, налетает на другой электрон, первоначально неподвижный. Какую энергию приобрет¸т второй электрон после столкновения? Прицельный параметр равен ρ. Найти среднюю энергию, переданную неподвижному электрону, если налетающий электрон с равной вероятностью может пролететь через любую точку в круге, соответствующем прицельным расстояниям 0 < ρ < R.
I Задача 4.2
Найти транспортное сечение рассеяния ультрарелятивистского электрона на неподвижном кулоновском центре.
I Задача 4.3
Оценить поправку к транспортному сечению, связанную с близкими столкновениями (ρ 6 ρmin).
I Задача 4.4
Полупространство x > 0 занято однородной плазмой, которая удерживается магнитным полем. В плазму по нормали к е¸ границе влетает нейтральный атом и сразу же ионизуется. Считая магнитное поле однородным, найти координату x иона после его полного торможения. Первоначальный ларморовский радиус иона ρ0. Угловым рассеянием пренебречь. Частота столкновений значительно меньше циклотронной частоты.
29