4. Узкополосный гауссов процесс

Представим случайный процесс подобно тому, как это делают в радиотехнике для узкополосных сигналов – через огибающую и полную фазу:

.

(5.7)

Другие варианты представления – запись в виде квадратурных компонент

(5.8)

или через комплексные амплитуды

.

(5.9)

Связь введенных величин определяется следующими соотношениями:

(5.10)

Представлениями (5.7) – (5.9) удобно пользоваться при работе с узкополосными процессами, спектральная плотность интенсивности которых сосредоточена, в основном, вблизи частоты ₀, то естьG(|–₀| >) = 0,<<₀. В этом случае функции(t),(t),(t),(t) иA(t) изменяются медленно по сравнению с 1/₀.

Процедура выбора введенных нами медленных функций неоднозначна, поэтому для их точного определения необходимо ввести какие-либо дополнительные условия. Например, при условии существования производной исходного случайного процесса, можно положить

.

Отсюда

,

а сама производная случайного процесса может быть записана в виде

,

то есть в производной можно пренебречь производными медленных функций (t) и(t).

Далее будем считать исходный процесс (t) и все введенные вспомогательные функции(t),(t),(t),(t) иA(t) стационарными. Можно показать, что в этом случае функция плотности вероятности процесса(t) должна быть симметричной, то есть(x) =(–x). Пусть также <(t)> = 0, тогда в соответствии с определением (5.8)

(5.11)

и можно записать:

Поскольку B() не должна зависеть от времениt, получим

, ,

(5.12)

где – мощность процесса(t). Таким образом, введенная нами в (5.12) функцияp() в нуле должна давать единицуp(0) = 1, поскольку

.

(5.13)

С учетом введенных в (5.12) функций выражение для функции автокорреляции принимает вид

,

(5.14)

где

.

Вводя в выражении (4.4) новую переменную интегрирования =–₀, выразим функцию автокорреляции через одностороннюю спектральную плотность интенсивностиG⁺():

Сравнивая полученное выражение с формулой (5.14), получим

(5.15)

откуда следует, что q() = –q(–),q(0) = 0, то есть в соответствии с (5.12) в совпадающие моменты времени квадратурные компоненты(t) и(t) некоррелированы: <(t)(t)> = 0. Кроме того, если спектральная плотность интенсивностиG⁺() симметрична относительно частоты₀, то естьG⁺(₀ +) =G⁺(₀ –), тоq() = 0 и, в соответствии с (5.14), можно записать

.

(5.16)

При этом на основе (5.12) и (5.15) имеем

.

Сравнивая эти соотношения с выражением (4.3), получим

Используя формулы перехода (5.10) и выражения (5.12), легко получить выражение для функции автокорреляции комплексной амплитуды:

Если спектр G⁺() симметричен относительно частоты₀, то

.

Рассмотрим еще более частный случай – пусть (t) и(t) являются стационарными гауссовыми процессами; тогда и(t) – стационарный гауссов процесс. Из выражений (5.11) и (5.13) следует, что функции(t),(t) и(t) имеют одинаковые первые и вторые моменты. Это означает, что все они описываются одной и той же функцией плотности вероятности вида (1.12)

.

Поскольку в соответствии с (5.12) в совпадающие моменты времени квадратурные компоненты (t) и(t) некоррелированы, их совместное распределение должно иметь вид (1.21) приR= 0, то есть

.

(5.17)

Это означает, что величины (t) и(t) статистически независимы и, следовательно, огибающая(t) должна описываться распределением Рэлея (1.22):

,

(5.18)

На основе совместного распределения (5.17) и выражения (*) из п. 2.1 можно найти совместное распределение огибающей и фазы процесса:

.

Сравнивая с (5.18) видим, что фаза стационарного узкополосного гауссова процесса распределена равномерно ; кроме того, ясно, что огибающая и фаза такого процесса статистически независимы. (моменты добавить!)