9. Флуктуации в электрических цепях 91

9. Флуктуации в электрических цепях

В этом разделе рассматривается применение изученного аппарата для анализа шумов в электрических цепях, как пассивных, так и активных.

1. Тепловой шум в линейных диссипативных системах

На зажимах любого линейного двухполюсника присутствует случайное напряжение, а по замкнутой цепи течет случайный ток, обусловленный броуновским движением электронов. Поэтому любой реальный двухполюсник может быть представлен в виде последовательного соединения идеального двухполюсника Zс источником шумовой ЭДСe_ш(t) или в виде параллельного соединения идеального двухполюсника с источником шумового токаi_ш(t), как это показано на рис. 9.1. Связь шумового тока с шумовой ЭДС определяется интегралом Дюамеля

,

(9.1)

где h_z(t) – импульсная характеристика двухполюсника.

В п. 5.1 было показано, что спектральные интенсивности процессов на входе и выходе линейной цепи связаны с помощью соотношения (5.3), которое при рассмотрении двухполюсника может быть записано в виде

,

(9.2)

где Z() – полное сопротивление двухполюсника

.

Найдем среднюю рассеиваемую двухполюсником мощность, используя выражения (4.4) и (9.1):

.

Выражая отсюда полное сопротивление двухполюсника, учитывая сопряженную симметрию Z() получим

Здесь также учтена вещественность и четность спектральной плотности интенсивности G_i(). Таким образом,

.

(9.3)

Рис. 9.1. Эквивалентные схемы реального двухполюсника

Рис. 9.2. Последовательное соединение двухполюсников

Рассмотрим два реальных двухполюсника Z₁иZ₂, последовательно соединенных с помощью третьего Z₃, имеющего чисто реактивный характер (рис. 9.3). Их полные сопротивления равны

.

Если рассматриваемая нами система находится в состоянии термодинамического равновесия, выполняется принцип детального равновесия, то есть мощность P₂₁, порождаемая источникомe₁в двухполюсникеZ₂, равна мощностиP₁₂, порождаемой источникомe₂в двухполюсникеZ₁. Запишем эти мощности, пользуясь выражениями (9.2) и (9.3):

Поскольку P₁₂=P₂₁при любомZ₃ =jX₃, можно записать

или

.

(9.4)

Из полученного соотношения между прочим следует, что при R_k() = 0 соответствующаяG_ek(j) = 0. Остается найти явный вид функцииu(,T).

Для решения этой задачи рассмотрим высокодобротный последовательный колебательный контур из элементов L,rиC, заряд на конденсаторе которого описывается дифференциальным уравнением второго порядка

.

Будем считать, что и выполняется принцип равнораспределения (кстати, с точки зрения статистической радиофизики, это соответствует эргодической гипотезе), то есть на каждую степень свободы контура приходится энергияkT/2, то есть

.

(9.5)

Найдем входящие в выражение (9.5) величины, учитывая высокую добротность контура, то есть :

,

Здесь Z() =r+jL–j/(C) – полное сопротивление контура. Подставляя полученные выражения в уравнение (9.5) и учитывая, что резонансная частота₀может быть произвольной, получим

или по-другому

.

(9.6)

Полученное выражение для спектральной плотности интенсивности источника шумовой ЭДС называется теоремой Найквиста. Выражение (9.6) позволяет записать вид функцииu(,T), входящей в формулу (9.4):

u(,T) = 2kT,

а также с учетом (9.2) записать выражение для спектральной плотности интенсивности шумового тока:

,

(9.7)

Рис. 9.3. Реальный резистор

где Y() = 1/Z() – полная комплексная проводимость двухполюсника.

Рассмотрим пример – реальное сопротивление, модель которого с учетом паразитных индуктивности и емкости показана на рис. 9.3. Полное сопротивление такого двухполюсника равно

.

В соответствии с теоремой Найквиста (9.6) спектральная плотность интенсивности шумовой ЭДС равна

и, как видно, не зависит от L.