10. Случайные поля 101

10. Случайные поля

Случайным полемназывается случайная функция нескольких независимых переменных, в качестве которых чаще всего выступают координатыx,y,zи времяt.

1. Корреляционные и спектральные характеристики случайного поля

Введем векторное случайное поле E(r,t) и его функцию автокорреляции

.

Если поле стационарно, его функция автокорреляции зависит только от временного сдвига

,

а если однородно – только от вектора s=r₁–r₂:

.

Однородное поле называется изотропным, если

.

Если случайное поле и однородно и стационарно, его функция автокорреляции зависит только от сдвигов как по координате, так и по времени:

.

В этом случае функция автокорреляции представима в виде интеграла Фурье

,

где функция G(,k) – спектральная плотность интенсивности случайного поля, определяемая выражением

.

Если все реализации однородного стационарного поля E(r,t) финитны, для каждой из них можно построить спектр реализацииS(,k) – случайное поле, зависящее от частотыи волнового вектораk. Связь реализации случайного поля и ее спектра определяется выражением

.

Аналогично выводу выражения (4.7), используя тот факт, что поле E(r,t) однородно и стационарно, получим

.

Если случайное поле (однородное и стационарное) таково, что допускает разделение переменных, то есть E(r,t) =F(r)f(t), то

.

(10.1)

Такое поле называется спектрально чистым, а его спектральная плотность мощности представима в виде

.

Первый тройной интеграл в этом выражении может быть вычислен:

и, соответственно

.

2. Электромагнитная волна в статистически неоднородной среде

Запишем уравнение для плоской волны с линейной поляризацией в среде с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью , где– флуктуирующая часть:

.

(10.2)

Здесь E(r,t) – проекция вектора поля на плоскость поляризации,

–

(10.3)

поляризация среды с восприимчивостью . В случае слабого рассеяния в линейном приближении поле представимо в виде суммы падающей плоской волны и рассеянной:

,

причем поле рассеянной волны удовлетворяет уравнению

.

(10.4)

Здесь – фазовая скорость волны. В приближении слабого рассеяния мы не учитываем влияние флуктуирующей компоненты диэлектрической проницаемости на фазовую скорость.

Решение уравнения (10.4) в виде запаздывающего потенциала имеет вид

.

(10.5)

Здесь вектор rописывает точку наблюдения рассеянного поля, а векторr₁соответствует точке рассеяния. В дальней зоне можно взять. Кроме того, если рассеяние упругое, волновой вектор сохранит свое значение, то естьk₀=k_pиk_p=k₀r/r. С учетов всего этого получаем

.

В дальней фраунгоферовой зоне при r>>r₁,r>>k₀r₁²соотношение (10.4) можно переписать в виде

,

где k=k₀–k_p. Соответственно, для интенсивности рассеянной волныI₀справедливо

.

Здесь I₀– интенсивность падающей волны и(последнее соотношение справедливо для однородного поля). С учетом выражения для автокорреляционной функции диэлектрической проницаемости для интенсивности рассеянной волны получим

,

где V– объем рассеяния.

Обычно флуктуации диэлектрической проницаемости обусловлены флуктуациями плотности среды (газа), то есть

.

Тогда

,

(10.6)

где

.

(10.7)

На практике функция резко спадает на расстояниях порядка длины свободного пробега молекул газа, которая обычно существенно меньше длины волны излучения, поэтому выражение (10.7) можно переписать в более простом виде

,

где – сжимаемость газа. С учетом этого выражение (10.6) примет вид

.

Мы получили формулу рэлеевского рассеяния.