Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

1 / 171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

ОПЕРАТОРЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебно-методического пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2010

УДК 514.742.4(07) ББК 22.151.5я7 И73

Интегральные и дифференциальные операторы и обобщенные функции:

Учебно-методическое пособие / Н.В. Мирошин, А.С. Логинов, Ю.Н. Гордеев, В.М. Простокишин. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 168 с.

Дан материал по базовым разделам теории дифференциальных и интегральных операторов, теории интеграла Лебега, обобщенным функциям, фундаментальным решениям линейных дифференциальных и интегральных уравнений. Значительное место в пособии уделяется вопросам использования преобразования Фурье в решении различных задач математической физики. В качестве приложения изучаемого аппарата, в частности, рассматривается обобщенная задача Дирихле для уравнений эллиптического типа, а также задача Коши для уравнения теплопроводности.

Предназначено для студентов 4-6 семестров НИЯУ МИФИ факультетов «Т» и «Ф» и Высшего физического колледжа.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент проф. О.С. Сороковикова

ISBN 978-5-7262-1317-0	© Национальный исследовательский
	ядерный университет «МИФИ», 2010

I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Метод последовательных приближений

Вэтом параграфе докажем теорему существования и единст-

венности (ТСЕ) решения задачи Коши для системы

y′ = f (t, y) , y(t0 ) = y0 ,

(1.1)

y ={y1 (t),..., yn (t)}, f (t, y)={f1 (t, y),..., f n (t, y)}

методом последовательных приближений. Для системы (1.1) на

правую часть

f (t, y)

помимо непрерывности приходится налагать

дополнительные условия.

1/2

Положим:

y( x)

∑

(t)

, и обозначим

) – за-

k =1

мыкание шара U δ(N 0 ) =U δ(t0 , y0 ). .

Теорема 1.1 (ТСЕ). Пусть вектор-функция f (t, y)

определена в

области G E xn,+y1 , N 0 (t0 , y0 ) G (внутренняя точка). Пусть, кроме


того,	δ > 0 : в	U δ(t0 , y0 )	выполнены условия:
1)	f (t, y) непрерывна по (t, y) ;
2)	f (t, y) удовлетворяет в					по y условию Липшица:
				U δ(t0 , y0 )
	K > 0 : ((t, y1), (t, y2 )						)
					U δ (t0 , y0 )

f (x, y2 )− f (x, y1) ≤ K y2 − y1 .

Тогда h > 0, такое, что на отрезке [t0 − h, t0 + h] существует и

притом единственное решение задачи (1.1).

Доказательство. Докажем сначала существование решения задачи (1.1). Если такое решение существует на [x0 − h, x0 + h],

h > 0 , то, интегрируя (1.1), получим, что это решение удовлетворяет интегральному уравнению

t
y(t) = y0 + ∫ f (t, y (s))ds .	(1.2)
t0
Обратно, если y(t) – непрерывное на [t0 − h, t0 + h]	решение

интегрального уравнения (1.2), то (в силу теоремы о дифференцировании интеграла по верхнему пределу) оно удовлетворяет задаче (1.1). Таким образом, нахождение решения задачи (1.1) эквивалентно нахождению непрерывного решения уравнения (1.2).

Теперь рассмотрим уравнение (1.2). Пусть

M = sup(

f (t, y)

(t, y)

U δ (t0 , y0 )

Тогда {(t, y):

y − y0

≤ M

t −t0

}

– конус с вершиной в точке

N 0 (t0 , y0 ) . Обозначим абсциссы точек пересечения поверхности конуса с поверхностью шара U δ (N0 ): (t0 ± h), h > 0 . На отрезке [t0 − h, t0 + h] ищем решение уравнения (1.2) методом последова-

тельных приближений, полагая

y0 (t) = y0 ,

y1 (t)= y0 + ∫ f (s, y0 (s))ds,

yn (t)= y0 + ∫ f (s, yn−1 (s))ds,

Так как f (t, y) ≤ M в U δ (t0 , y0 ) , то

yn (t)− y0 (t) ≤ ∫ f (s, yn−1 (s))ds ≤ M t − t0 ,

все приближения определены и непрерывны на [t0 − h, t0 + h], а их

графики на [t0 − h, t0 + h] лежат внутри конуса y − y0 ≤ M t − t0 . Далее имеем следующие оценки:

y1 (t)− y0 (t) ≤ n M t −t0 ,

y2 (t)− y1 (t) ≤ ∫ f (s, y1 (s))− f (s, y0 (s))ds ≤

≤ n ∫ f (s, y1 (s))− f (s, y0 (s))ds ≤ (условие Липшица)

t −t0

≤ nK

∫

y1 (s)

− y0 (s)

≤ KM n

∫

s −t0

≤ KM n

;

y3 (t)− y2 (t)

≤

∫ f (s, y2 (s))− f (s, y1 (s)) ds

≤

f (s, y2 (s))− f (s, y1 (s))

≤ n

∫

≤ (условие Липшица)

s −t0

t −t0

≤ nK

∫

2 (s)− y1 (s)

≤ MK

∫

≤ MK

и т.д. По индукции получаем:

(nK)m

ym+1(t) − ym (t)

≤ Mn

t −t0

m+1

(1.3)

(m +1)!

Теперь рассмотрим на [t0 − h, t0 + h]

ряд

∞

y (t) = y0 (t)+ ∑(ym (t)− ym−1 (t)).

m=1

Все члены этого ряда – непрерывные на [t0 − h,

t0 + h]

функции, а в

силу оценок (1.3) сам ряд сходится на [t0 − h,

t0 + h]

равномерно.

Следовательно:

y (t) – непрерывная на

[t0 − h, t0 + h]

функция;

а) его сумма

y (t) = lim yn (t);

n→∞

б) в равенстве yn (t) = y0 (t)+ ∫ f (s, yn−1 (s))ds можно перейти к

пределу под знаком интеграла. Отсюда получаем, что y (t) – непре-

рывное решение уравнения (1.2), а, таким образом, и задачи (1.1). Установим единственность полученного решения. Для этого

вначале докажем одно утверждение, которое будет нам полезно и в дальнейшем.

Лемма 1.1 (Гронуолла–Беллмана). Пусть

A ≥ 0

– константа, а

функции Z (x) и

B(x)

– непрерывные,

неотрицательные на

[x0 − h, x0 + h], удовлетворяющие неравенству

Z (x)≤ A +

∫ B(t)Z (t)dt

Тогда x [x0 − h,

x0 + h]

∫

Z (x)≤ Aexp

B(t)dt

Доказательство. Пусть для определенности x ≥ x0 . Тогда

Z (x)≤ A + ∫ B(t)Z (t)dt .

При A = const > 0 получаем для x0 ≤ s ≤ x :

Z (s) B(s)

≤ B (s) ln A + ∫ B(t)Z (t)dt

≤ ∫ B(t)dt

A + ∫ B(t)Z (t)dt

∫ B(t)Z (t)dt + A ≤ ln A + ∫ B(t)dt

A + ∫ B(t)Z (t)dt ≤ Aexp ∫ B(t)dt .

x		x
Но тогда Z (x)≤ A + ∫	B(t)Z (t)dt ≤ Aexp	∫	B (t)dt .
x0	x0

Так как здесь A – любое положительное, то, переходя в последнем неравенстве к пределу при A → 0+, убеждаемся, что лемма остается справедливой, если постоянная A = 0. Наконец, если x < x0 ,

то Z (x) ≤ A + ∫ B (t)Z (t)dt , и повторяем те же выкладки.

Используя лемму Гронуолла−Беллмана, докажем единственность решения задачи (1.1). Действительно, если y1 (t) и y2 (t) –

два решения задачи (1.1), то их разность y (t) = y2 (t) − y1 (t) удов-

летворяет уравнению:

y (t) = y2 (t)− y1 (t) = ∫ f (s) y2 (s)− f (s, y1 (s)) ds .

Отсюда, используя условие Липшица, получаем:

y (t)

≤ n

∫

f (s, y2 (s))− f (s, y1 (s))

≤

≤ nK

∫

y2 (s)− y1 (s)

= nK

∫

y (s)

Теперь, применив лемму Гронуолла−Беллмана в случае A = 0 ,

B(t)= nK = const , Z (t) =

y (t)

получаем, что

y (t)

≡ 0 . Теорема

доказана.

§ 2. Непрерывная зависимость решений задач Коши для обыкновенных дифференциальных

уравнений и для системы обыкновенных дифференциальных уравнений от правой части, начальных данных и параметров

В этом параграфе ограничимся рассмотрением задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ):

y′ = f (t, y) ,	y (t0 ) = y0 .	(2.1)
Теорема 2.1. Пусть функция	f (t, y) определена и непрерывна в

области G Et2, y и удовлетворяет в G условию Липшица по y.

Пусть далее N 0 (t0 ром отрезке [t0 − h,

ε > 0 δ(ε) > 0 :

, y0 ) G и y = y (t) − определенное на некото- t0 + h] решение задачи (2.1). Следовательно,

N0 (t0 , y0 ): ρ(N 0 , N0 )< δ;
N0 (t0 , y0 ): ρ(N 0 , N0 )< δ;
f C (G), удовлетворяет в G условию
f C (G), удовлетворяет в G условию
Липшица и такая, что: sup	f (t, y)− f (t, y)	< δ
Липшица и такая, что: sup	f (t, y)− f (t, y)	< δ

t, y G

и, тогда:	[t0 −h / 2,	t0 + h / 2] существует и притом
1) на	[t0 −h / 2,	t0 + h / 2] существует и притом			единственное
решение задачи:			y′ = f (t, y), y (t0 ) = y0 ,
			y′ = f (t, y), y (t0 ) = y0 ,		(2.2)
обозначаемое далее y (t);
2)	sup		y (t)− y (t)	< ε.
2)	sup		y (t)− y (t)	< ε.
x [t0−h/2, t0 +h/2]
x [t0−h/2, t0 +h/2]

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что f и f ограничены в G (иначе рассматриваем G1 : G1 G) . Пусть:

M = sup

f (t, y)

, M =

sup

f (t, y)

;

(t, y) G

Π ={(t, y) G :

t −t0

≤ h,

y − y0

≤ Mh},

Π ={(t, y) G :

t − x0

≤ h,

y − y0

≤ Mh},

т.е.

h, h > 0, такие, что прямоугольники Π и Π целиком лежат в

Тогда на [t0 −h,

t0 + h] определено решение задачи (2.1),

а на

−h, t

+ h

– единственное решение

y (t) задачи (2.2). Очевид-

но,

что

> 0 : 0 < δ< δ

−h / 2,

+h / 2] t

−h,

+h ,

если только:

ρ(N0 , N0 )= ((t0 −t0 )2 +(y0 − y0 )2 )1/2 < δ;

sup

f (t, y)− f (t, y)

< δ,

( x, y) G

так как при этом расстояние между центрами прямоугольников Π и Π меньше δ, а также

M − M

sup

f (t, y)

− sup

f (t, y)

≤

sup

f (t, y)− f (t, y)

< δ.

(t, y) G

Но тогда на отрезке [t0 −h / 2,

t0 + h / 2]

определены и единственны

решение y (t) задачи (2.1) и решение

y (t) задачи (2.2). Оценим их

разность на этом отрезке. Имеем:

y(t) = y0 + ∫ f (s, y(s))ds ;

y(t) = y0 + ∫ f (s, y(s))ds ,

откуда:

y (t)− y (t)

≤

y0 − y0

∫ f (t, y(s))ds − ∫ f (s, y (s))ds

≤

≤ δ+

∫

f (s, y(s))ds +∫

(s, y (s))− f (s, y(s)) dsds

∫

(s, y (s))− f (s, y (s)) ds ≤ δ+δ M +δ

+ K

∫

y (s)− y (s)

где K – константа в неравенстве Липшица для функции f . Получили промежуточную оценку разности:

y (t)− y (t) ≤ δ 1+ 12 h + M + K ∫ y (s)− y (s)ds ,

Откуда по лемме Гронуолла−Беллмана получаем:

y (t)− y (t) ≤ δ 1+ 12 h + M e K t−t0 ≤ δ 1+ 12 h + M e 2Kh.

Из этой оценки, очевидно, следует второе утверждение теоремы. Пусть теперь правая часть уравнения зависит от параметра

μ = (μ1,...,μn ). Рассматриваем следующую задачу:

y′ = f (t, y; μ) y (t0 )= y0 .		(2.3)
	× M, где G Ety2	− некоторая огра-
Теорема 2.2. Пусть G = G

ниченная область, а M ={μ: ak ≤ μk ≤ bk , k =1,2,...,n}; G – замыкание G. Пусть далее f (t, y; μ) определена и непрерывна по сово-

купности переменных на G , а по y удовлетворяет условию Липшица:

L >0: ((t, y1,μ),(t, y2,μ) G) f (t, y2 ,μ)− f (t, y1,μ) ≤ L y2 − y1 .

Тогда:

1)(t0 , y0 ) G h > 0 : μ M на [t0 − h, t0 + h] существует и притом единственное решение y = y (t,μ) задачи (2.3);

2)это решение непрерывно зависит от μ ;

3)если, кроме того, f (t, y; μ) имеет в G непрерывные частные производные по переменным (y; μ) до порядка p ≥1, то и реше-

ние y (t;

) имеет на

(t0 − h,

t0 + h)×M непрерывные частные

производные до порядка p ≥1 по μ .

Доказательство. 1. Так как

M = sup

f (t, y,μ)

< +∞ , а кон-

(t, y,μ) G

станта Липшица L не зависит от μ , то, строя решение задачи (2.3)

методом последовательных

приближений,

получаем,

что

h > 0 : {(t, y):

t −t0

≤ h,

y − y0

≤ Mh} G

и решение y (t; μ)

зада-

чи (2.3) определено на этом отрезке [t0 − h,

t0 + h]

при любом μ .

1 / 171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.68 Mб223Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013841.72 Кб75Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб145Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб192Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf