Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

2. Так как

f (t, y; μ)

равномерно непрерывна на G , то

)

(

)

δ >

0 γ(δ)

> 0 : (t, y,μ), t, y,μ

G :

μ −μ

< γ

sup

f (t, y,μ)− f (t, y,μ)

< δ .

(t, y) G

Тогда второе утверждение этой теоремы следует из теоремы 2.1,

(

)

если f (t, y) = f t, y;μ

3. Пусть выполнено дополнительное условие. Фиксируем

μ и

M. Обозначим решение задачи (2.3) при фиксированном

μ + Δμ

y (t,μ), а решение задачи: y′ = f (t, y;

), y (t0 )= y0

через

μ + Δμ

(t,

). Сначала рассмотрим

={Δμ1, 0,...,0}, обозначив

μ + Δμ

Δμ

μ ={μ1,μ′} . Тогда:

				μ1 y (t,μ)= y (t,μ1 + Δμ1,μ′)− y (t,μ);
( μ	y (t,μ)) ′= f			(t, y (t;μ1 + Δμ1,μ′); μ1 + Δμ1,μ′)− f (t, y(t,μ),μ)=
1			t
			1
		= ∫ fξ′

				t, y (t,μ)+ ξΔμ1 y (t,μ); μ + ξΔμ dξ =
			0
	1	(t; y (t;μ)(t,μ)+ ξΔμ1 y (t,μ);				)dξ μ1 y (t,μ)+
= ∫ f y′
= ∫ f y′					μ + ξΔμ
	0
				F
	+∫1		fμ′1 (t; y (t;μ)+ ξΔμ1 y (t,μ);				)dξ Δμ1 =
	+∫1		fμ′1 (t; y (t;μ)+ ξΔμ1 y (t,μ);		μ + ξΔμ		)dξ Δμ1 =
		0
				Φ

= F (t,μ;Δμ1) μ1 y (t,μ)+ Φ(t,μ, Δμ1) Δμ1 ,

где Φ и F – непрерывные по (t, Δμ1) функции (μ фиксировано). Получаем задачу:

y (t,μ)

′

y (t,μ)

= F (t,μ, Δμ1)

+ Φ

(t,μ, Δμ1);

Δμ1

(2.4)

y (t,μ)

= 0.

Δμ1

t=t

Параметр Δμ1

меняется в окрестности точки Δμ1 = 0 . По дока-

занному в п. 2 решение задачи (2.4) непрерывно зависит от Δμ1 .

Переходя тогда в (2.4) к пределу при

Δμ1 → 0 , получаем сле-

дующую задачу (уравнение в вариациях)

∂y

′

∂f

(t, y,μ)

∂y

∂f

(t, y,μ);

∂y

∂μ1 t

∂μ1

(2.5)

∂y

= 0.

∂μ1

t=t

Аналогично

устанавливаем

существование

производных

y′μ

(t,μ), k = 2,..., n . Если p > 1,

то далее применяем доказанное

утверждение к задаче (2.5).

Следствия. 1. Уравнения (2.5) получаются из (2.3) формальным

дифференцированием по μ1 . Аналогично в более общем случае:

∂y

′

∂y

y′

= f (t, y,μ)

= f y′ (t, y,μ)

+ fμ′

(t, y,μ);

∂μ

k t

∂y

y (t0 )= y0 (μ)

∂y

(t0 )

(μ).

∂μk

y (t0 )= y0 .

2. Рассмотрим задачу (2.1): y′ = f (t, y),

Положим:

x = t − t0 , Z (x) = y (t0 + x)− y0 .

Тогда Z (x) решение

задачи: Z′(x) = f (x + t0 ,

Z + y0 ), Z (0) = 0.

Следовательно:

∂Z

′

∂Z

= f y′

(x + t0 ; Z + y0 ) 1

(0) = 0.

∂y0 t

∂y0

Возвращаясь к старым переменным, получаем формулы диффе-

ренцирования решения по начальным данным:

∂y	′	f y′ (t, y)	∂y		∂y	(t0 )=1,	(2.6)
	=			;

∂y0 t			∂y0		∂y0

которые также получаются из (2.1) формальным дифференцированием по y0 .

Пример 2.1. Дана задача Коши y′ = y +μ(x + y 2 ), y (0) =1. Тре-

буется найти (∂y / ∂μ) μ=0 . Решение. Уравнение в вариациях:

∂y ′		= (1	+ 2μy)	∂y	+ x + y 2 ;	∂y	(0) = 0.
		= (1	+ 2μy)	∂μ	+ x + y 2 ;		(0) = 0.
∂μ	x			∂μ		∂μ

При	μ = 0 y′ = y ,			y (0)=1 y (x,0)= e x .	Теперь полагаем
∂y (x,μ)	μ=0	= ϕ(x). Тогда ϕ(x) удовлетворяет задаче:
∂y (x,μ)		= ϕ(x). Тогда ϕ(x) удовлетворяет задаче:
∂μ
∂μ
	∂ϕ = ϕ+ x + y 2			(x,0) = ϕ(x)+ x + e 2 x ; ϕ	(0) = 0.
	∂x
Отсюда	ϕ(x)=e2x −1−1.
Ответ:		∂y	= e2 x − x −1 .
Ответ:		∂y	= e2 x − x −1 .
		∂μ	μ=0
		∂μ	μ=0

§3. Элементы теории устойчивости решений ОДУ

исистемы ОДУ

3.1. Основные определения
Рассмотрим систему ОДУ

y ' = f (t, y);					(3.1)
		)= y		,	(3.1)
y(t	0	)= y	0	,
	0		0

где y ={y1 (t),..., yn (t)}, f (t, y) ={f1 (t, y),..., f n (t, y)}.

Определение 3.1. Пусть f (t, y) и (t0 , y0*) таковы, что на [t0 , +∞)

определено и единственно решение y * (t) задачи

y ' = f (t, y),	y (t0 ) = y0*.
Это решение y * (t) называется	устойчивым по Ляпунову при

t → +∞ , если:

1) δ0 > 0 : ((t0 , y0 ): y0 − y0* < δ0 ) на [t0 , +∞) существует и притом единственное решение задачи (3.1);

2) ε > 0 ( δ(ε) : 0 < δ(ε) ≤ δ0 ): (y (t) – решение задачи (3.1)

с y0: y0 − y0* < δ) sup y (t)− y* (t) < ε .

t≥t0

Определение 3.2. Это решение y * (t) называется асимптотиче-

ски устойчивым при t → +∞ , если:

1)оно устойчиво по Ляпунову;

2)любое решение y (t), удовлетворяющее условиям п. 2 опре-

деления 3.1, удовлетворяет также условию lim y (t)− y* (t) = 0 .

t→+∞

Замечание 3.1. Задача Коши для ОДУ

	(n)	= f (t, y, y′,..., y		(n−1)	);
y		= f (t, y, y′,..., y			);
					(3.1′)
y	(t0 )= y00 ,		y′(t0 )= y10 ,..., y(n−1) (t0 ) = y0n−1

может быть сведена к системе ОДУ вида (3.1), однако удобнее дать непосредственно определение устойчивости решения для (3.1′).

Определение 3.1′. Пусть f (t; z1,..., zn ) и {y00, y01 ,..., y0n−1}							тако-
вы, что на [t0 , +∞)			существует и притом единственное решение
y(t) задачи			(t, y, y′,..., y			);
	(n)	= f		(n−1)
y		= f
	(t0 )= y00 , y′(t0 ) = y10 ,					..., y(n−1) (t0 )= y0n−1 .
y	(t0 )= y00 , y′(t0 ) = y10 ,					..., y(n−1) (t0 )= y0n−1 .
Это решение y(t)			называется		устойчивым по Ляпунову		при
t → +∞ , если:
				14

		0						(		0			0					0		)	{					0 )			(	0
		0						(		0			0					0		)	( 0					0 )	2		(	0
	1)	δ	>		0 :				y	0	, y		1	,	...,		y	n−1			:	y	0	− y		0	2	+ ...	+ y	n−1	−
	1)	δ	>		0 :				y		, y			,	...,		y				:	y		− y				+ ...	+ y		−
			1
−y0n−1 )2}2 < δ0 на [t0 , +∞)																	определено и притом единственное

решение задачи (3.1′);
	2) ε > 0 δ(ε): (0 < δ(ε)≤ δ0 ) : y (t)																							– решение (3.1′) с y0 :
{			)			(										)	}		1
{	0	0							0					0			}
(	0	0		2	+... +				0	−1				0			2 2 < δ ) sup								y (t)− y(t)				< ε.
	y 0	− y 0		2	+... +		y n			−1		− y n−1					2 2 < δ ) sup								y (t)− y(t)				< ε.
	Определение 3.2′. Это решение																				y* (t)		t≥t0
	Определение 3.2′. Это решение																				y* (t)	называется асимптоти-

чески устойчивым при t → +∞ , если:

1)оно устойчиво по Ляпунову;

2)любое решение y (t) удовлетворяет условиям п. 2 определе-

ния 3.1′ и также условию lim y (t)− y (t) = 0 .

t→+∞

Далее для определенности будем формулировать и доказывать теоремы для системы ОДУ.

Замечание 3.2. Заменой функции x (t) = y (t)− y * (t) сводим исследование устойчивости решения y * (t) системы (3.1) к исследованию устойчивости нулевого решения системы:

x '(t)= f (t, x + y*)− f (t, y*)= ϕ(t, x);

x (t )= 0.

Далее считаем, что такая замена сделана и исследуем на устойчивость нулевое решение (≡ точку покоя) полученной системы.

Упражнение. Записать отрицание определения устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.

3.2. Устойчивость решений линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами

Теорема 3.1. Рассмотрим систему ОДУ с постоянными коэффициентами:

		i
		X (t)= AX (t),				(3.2)
A = a	n	– постоянная матрица; X (t) ={x	1	(t), ..., x	n	(t)} − век-
{	ij}i, j=1		1		n

тор-столбец неизвестных функций. Пусть λ1,..., λn – корни характеристического уравнения det (A − λE) = 0 .

Вэтом случае:

1)нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда выполняются:

а) m =1, 2, ..., n Re λm ≤ 0 ;

б) λm : Re λm = 0 число линейно независимых собственных векторов, отвечающих λm , равно кратности λm ;

2) нулевое решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда m =1, 2, ..., n Re λm < 0 .

Доказательство. 1. Пусть {ϕ	k	(t)}n	– фундаментальная систе-
	k	k =1

ма решений (ФСР) системы (3.2), построенная по собственным значениям матрицы A. Тогда очевидно, что при выполнении условий п. 1 получаем


	sup		ϕk (t)	≤ M < +∞ .
M > 0 : max	sup		ϕk (t)	≤ M < +∞ .
1≤k≤n t [t		;+∞)
	0

Далее рассмотрим ФСР {ψk (t)}nk =1 , такую, что Ψk (t) удовлетворяют условиям Коши: Ψk (t) = {0, ..., 0, 1, 0, ..., 0}. Получаем:

i =1, 2, ..., n ψi (t) = ∑cik ϕk (t)

ψi (t)

≤

∑

cik

ϕk (t)

k=1

ψi (t)

≤ ∑

cik

ϕk (t)

ψk (t)

≤ N .

N > 0 : max sup

k=1

1≤k≤n t≥t

полнено, то в ФСР {ϕk (t)}n=

k 1

Пусть теперь x (t) –

решение системы (3.2),

такое, что x (t0 ) =

={x10 , ..., xn0} = x0 . Тогда

x (t) = ∑x k 0 ψk (t) .

Если теперь

k=1

< δ, то

x (t)− 0

≤ ∑

xk 0

Ψk

(t)

≤ N ∑

xk 0

n = N n δ.

≤ N ∑

k =1

k=1

Очевидно, что для системы X (t) = AX (t)

решение определено на

всей оси при любых начальных данных в любой точке t0 . Из полученной оценки следует, что нулевое решение устойчиво по Ляпунову (δ(ε) = εN −1n−1/2 ). Действительно, если условие п.1 не вы-

хотя бы одна из величин ϕk (t) не ограничена при t → +∞ . Пусть это, например, ϕ1 (t) . ТогдаC > 0 C ϕ1 (t) также не ограничен при t → +∞ . С другой стороны, при t = t0 величину c ϕ1 (t0 ) можно сделать сколь угодно

малой. Таким образом, нулевое решение не устойчиво при t → +∞ . 2. В случае выполнения условий п.2 справедливы все выкладки

п.1, т.е.

решение x (t) ≡ 0

устойчиво по Ляпунову. Кроме того,

(k =1,

2, ..., n)

ϕk (t)

→ 0 при

t → +∞

ψi (t)

∑cikϕk (t)

→ 0 при t → +∞

k=1

x (t )

∑x0kψk (t )

→ 0 при t → +∞ ,

k=1

т.е. нулевое решение устойчиво асимптотически.

Замечание 3.3. Для системы с постоянными коэффициентами (3.2) из устойчивости нулевого решения следует устойчивость любого решения в том же смысле, а из неустойчивости – неустойчивость. Поэтому всякую такую линейную систему называют либо

устойчивой, либо неустойчивой.

Упражнение. Для системы: x = a11x + a12 y;	провести полное
y = a21x + a22 y

исследование устойчивости нулевого решения.

Замечание 3.4. Имеются критерии неположительности действительных частей характеристических уравнений (критерий РаусаГурвица, критерий Михайлова и т.п.).

3.3. Устойчивость решений линейных систем ОДУ

Теперь рассмотрим систему

i	(t) = A(t) X (t)+ F (t) ,
X	(t) = A(t) X (t)+ F (t) ,										(3.3)
где функциональная матрица A(t ) =						{	a	ij	(t ) n	и правая часть век-
тора-столбца F (t ) ={ f						{		ij	}i, j=1		, +∞). То-
тора-столбца F (t ) ={ f	1	(t),...,	f	n	(t)}			непрерывны на t			, +∞). То-
	1			n						0
гда при любом X 0 ={x10,..., xn0}				задача Коши:

X (t )= A(t ) X (t )+ F (t );

X (t0 )= X 0

имеет определенное на t0, +∞) единственное решение.

Лемма 3.1. Любое решение системы (3.3) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) в том и только том случае, если устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) нулевое решение однородной системы:

i
X (t) = A(t) X (t) .	(3.4)

Доказательство. Доказательство очевидно следует из линейности системы, так как если Y (t) и Y * (t) – два решения (3.3), то

X (t) =Y (t)−Y *(t) – решение системы (3.4). Следовательно, Y * (t)

устойчиво (или неустойчиво) в том же смысле, что нулевое решение системы (3.4).

Упражнение. Доказать, что система (3.4) устойчива по Ляпунову (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда каждое

ее решение ограничено на полуоси t			0	, +∞) (соответственно,
	y (t)		0
		→ 0 при t → +∞ ).
		→ 0 при t → +∞ ).

Для линейных систем имеется много теорем, позволяющих исследовать устойчивость. Приведем одну из них.

Теорема 3.2. Пусть матрицу A(t ) в (3.4) можно представить в виде: A(t ) = A + B (t ), где:

а) A – постоянная матрица, причем система X (t) = AX (t) устойчива при t → +∞ ;

б) B (t ) – непрерывная на t0, +∞) матрица, удовлетворяющая

+∞

условию: ∫ B (t) dt < +∞ .

Тогда система (3.4) устойчива по Ляпунову при t → +∞ . Доказательство. Пусть X (t) – фундаментальная матрица сис-

темы	i		удовлетворяющая условию
темы	X (t) = A X (t),		удовлетворяющая условию
	↓	↓		X (t ) = X (t ) X (t0 ).
общее решение этой системы				X (t ) = X (t ) X (t0 ).
				↓	↓
Будем		искать	общее	решение	системы
y (t)	= X (t)u (t). Тогда:
↓		↓

X (t0 )= E . Тогда

(3.4) в виде

i		i				i	(A + B (t))X (t)u (t) ;
y (t) = X (t)u (t)+ X (t)u (t) =							(A + B (t))X (t)u (t) ;
↓		↓				↓	↓
		0
	i					i		(t);
X (t)− AX (t) u (t)+ X (t)u (t) = B (t)X (t)u								(t);
					↓	↓	↓
	i	(t) = X (t )			B (t)X (t)u (t),
	u	(t) = X (t )			B (t)X (t)u (t),
	↓					↓
откуда:					+ t
	u	(t) = u (t	0	)	+ t	X−1 (s)B	(s)X (s)u (s)ds ,
	↓	↓	0		∫		↓
					t0

и, используя y (t) = X (t)u (t),			y (t0 )= u (t0 ), получаем
↓		↓	↓	↓
		t
y (t) = X (t) y (t0 )+ ∫			X (t)X−1 (s)B (s) y (s)ds .
↓	↓	t0		↓
		t0

Учитывая X (t ) = e AtE , имеем: X (t)X−1 (t1 ) = e A(t−s)E = X (t − s) . X (t ) − фундаментальная матрица устойчивой линейной системы,

поэтому K > 0 :

X (t)

≤ K

при всех t [t0, +∞). Но тогда:

y (t0 )

y (t )

≤ K

+ Kn∫

B (s)

y (s)

ds ,

↓

отсюда по лемме Гронуолла–Беллмана получаем:

y (t0 )

y (t )

≤ K

exp{Kn∫

B (s)

ds} ≤

↓

y (t0 )

+∞

≤ K

exp{Kn ∫

B (s)

ds}.

↓

Из этой оценки и следует устойчивость по Ляпунову нулевого решения, а в силу линейности и системы (3.4).

3.4. Второй метод Ляпунова (метод функций Ляпунова)

Вновь возвращаемся к исследованию устойчивости нулевого

решения общей системы ОДУ (определенного на t			0	, +∞))
			0
	y′ = f (t, y).			(3.5)
Теорема	3.3. Пусть в некоторой	окрестности точки O
(0,..., 0) Rn	определена дифференцируемая функция v ( y ) , удов-
y
летворяющая условиям:
1) v (y ) ≥ 0 , причем v (y) = 0 y = 0		(т.е. v ( y ) имеет в точке
O (0,..., 0) строгий минимум);

<<< < Предыдущая 12 / 172 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.68 Mб223Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013841.72 Кб76Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб146Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб193Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf