Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

ˆ

ное для оператора A .

Линейность множества M

очевидна, а если

x M , то

ˆ

1

ˆ

1

,

(Ax, e1 )= (x,

Ae1 )= λ1 (x, e1 ) = 0

т.е. и

ˆ

. Следовательно,

– инвариантное подпростран-

Ax M1

M1

ство оператора

ˆ

A в E.

ˆ

ˆ

Рассмотрим

на

. Тогда на

оператор

сужение A

M1

M1

A

также линейный, самосопряженный, вполне непрерывный.

Имеем:

ˆ

ˆ

A

M =

sup

(Ax, x)

≤ λ1 .

1

x M1

x

=1

По

теореме

15.4

ˆ

,

где

(e2 ≠ θ) M1 :

Ae2 =λ2e2

ˆ

λ2

=

A

M1

≤

λ1

, а

e2

=1 .

Далее рассмотрим подпространство в E:

M =

{x E : (x, e )= 0, i =1, 2}.

2

i

Очевидно M

– инвариантное в

ˆ

линей-

2

M1

E

для оператора A

ное подпространство. Сужение оператора

ˆ

также являет-

A на

M 2

ся линейным, самосопряженным, вполне непрерывным оператором

на M . Положим:

2

ˆ

ˆ

A

M = sup

(Ax, x)

≤

λ2

≤

λ1

.

2

x M 2

x

=1

Тогда по теореме 15.4

ˆ

,

где

существует (e3 ≠ θ) M2 :

Ae3 = λ3e3

ˆ

e3

=1.

λ3

=

A

M2 , а

на n-м шаге строим ОНС {e }n

Продолжая этот процесс,

:

ˆ

i

i=1

λ1

≥

λ2

≥... ≥

λn

> 0 . Возможны два случая.

Aei = λiei , где

ˆ

1. n0 < +∞: (x M n0

:

x

=1)

(

Ax, x)= 0 .

В этом случае

(

ˆ

=

sup

ˆ

= 0 ,

A

Ax, x)

M n0

x M n

ˆ

x

=1 0

= Ker A . Таким

т.е. на M n

A = θ – нулевой оператор, а тогда

Mn0

0

образом, в этом случае существует конечная ОНС {e

K

}n0

, со-

ˆ

K =1

стоящая из собственных векторов A , отвечающих ненулевым соб-

ственным значениям {λ

}n0

k

:

λ

≥

λ

≥... ≥

λ

n0

> 0 .

При этом

x E

k=1

1

2

n0

n0

x = ∑ (x,ek )+ x′,

где

x′ Ker A ;

ˆ

Ax = ∑λk (x, ek )ek .

k =1

k =1

∞

ˆ

и

2. {ek }k=1 : (ek , e j )= δkj ,

Aek

= λkek

λ1

≥

λ2

≥... ≥

бесконечно много. Тогда по теореме 15.5

λk

→0

при k →∞ .

Рассмотрим линейное подпространство в E:

∞

M = ∩M k .

Тогда

k =1

ˆ

ˆ

n

M

x M

M n ;

(Ax, en )= (x,

Aen )= λn (x, en )= 0 ;

т.е. M

ˆ

линейное подпростран-

– инвариантное для оператора A

ство в E.

ˆ

ˆ

ˆ

Имеем:

≤

sup

→ 0 .

A

M = sup

(Ax, x)

(Ax, x)

=

λn+1

x M

x M

n→∞

x

=1

x

n

=1

Таким образом,

ˆ

0 , т.е.

ˆ

ˆ

M

,

а M

= Ker A .

A

M =

A = Θ на

∞

x E x = x′+ ∑ (x, ek )ek ,

x′ Ker A ;

k =1

∞

ˆ

, где

→ 0 .

Ax = ∑λk (x, ek )ek

λk

k =1

k →∞

Теорема доказана.

}n0

Замечания. 1. Построенная ОНС {e

называется макси-

k

k =1

тором

ˆ

A :

ˆ

(15.1)

x =μAx + f ,

где μ C , а

f E – заданный элемент.

Пусть {e

}n0

– максимальная ОНС собственных векторов опе-

k

k =1

ратора

ˆ

n0

,

записан-

A

, отвечающая собственным значениям {λk }k=1

реме Гильберта–Шмидта получаем:

′

Ker A

x E ,

x

′

Ker A

x

n0

n0

x = x′+ ∑ (x, ek )ek ;

ˆ

Ax = ∑λk (x, ek )ek .

k =1

k =1

(1 −μλn )(x, en) = ( f , en ), n =1, 2,..., n0 .

(15.2)

единственное

решение,

удовлетворяющее

соотношениям

(x, en ) = ( f , en )/ (1−μλn ), n =1, 2,..., n0 . Тогда

решение

задается

формулой:

n

λk ( f , ek )

x = μ∑0

ek + f .

(15.3)

k =1

1 −μλk

Отметим, что в этом случае однородное уравнение:

ˆ

(15.1′)

x = μAx

имеет лишь нулевое решение.

2. i : 1−μλ

i

= 0 , т.е. μ = λ

−1 . Пусть выбран наименьший из

i

таких номеров. Тогда если

λi

– собственное значение A кратно-

сти s , т.е. λi

= λi+1 = ... = λi+s−1 , а ei, ei+1,...,

ei+s−1 –

соответст-

ниям (15.1′) с μ = λ −1 .

При выполнении этого условия получаем,

что

i

–

x

i

= C ,

x

i+1

= C

2

,...,

x

i+s−1

= C

s

1

произвольные числа, а решение (15.1) имеет вид:

n

λk ( f , ek )

x = f +

∑0

ek

+ C1ei +... + C ei+s−1

(15.4)

k =1

λ

i

− λ

k

k ≠i,...,i+s−1

1

CL

x

x (t )

2

,

(G) = x (t ): x C (G),

=

∫

2 dt

2

L2

G

ˆ

ˆ

K и

Kα :

ˆ

(16.1)

(Kx)(t ) = ∫ K (t, τ)x (τ)dτ ,

G

K (t, τ)

ˆ

(Kαx)(t ) = ∫

t −τ

α

x (τ)dτ ,

(16.2)

G

где, как и раньше,

K (t, τ) C (G

),

0 < α < n . Ранее было дока-

×G

зано,

что

ˆ

ˆ

а

тем

более и

ˆ ˆ

K

(Kα ): C (G)→C (G),

K (Kα ):

CL2 (G) →CL2 (G). Отметим,

что CL2 (G) –

неполное евклидово

пространство.

16.1. Самосопряженность интегральных операторов

ˆ

*

ˆ

*

Утверждение 16.1. Оператор K

(Kα ) существует и является

интегральным

оператором

с

ядром

K* (t, τ) =

K (τ,t )

K (τ, t )

Kα* (t, τ) =

t − τ

α

.

Доказательство.

Для любых

x, y из пространства CL2 (G) вы-

полняется:

(

ˆ

)

∫

(

ˆ

)