Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

2. Обратное преобразование Фурье задается формулой

4. Преобразование Фурье свертки. Напомним, что для любых ϕ,ψ S(Rn ) свертка определяется равенством

(ϕ*ψ)(x) = ∫ ϕ( y)ψ(x − y)dy.

Rn

Тогда

(ϕ*ψ)(ξ) = (2π)n/2 ϕˆ (ξ)ψˆ (ξ).

Пространство S '(Rn ) обобщенных функций медленного роста Определение 21.10. Обозначим через S '(Rn ) множество всех линейных, непрерывных на S(Rn ) функционалов со сходимостью, определенной следующим образом: последовательность { fm} сходится к f , если для любой ϕ S(Rn ) имеет место сходимость

( fm ,ϕ) → ( f ,ϕ).

m→∞

Очевидно, что S '(Rn ) – линейное подпространство в D'. Это

пространство называется пространством обобщенных функций медленного роста.

Отметим следующие свойства.

1. Для любого l N будут справедливы включения

D S(Rn ) W2l (Rn ) L2 (Rn ) W2−l (Rn ) S '(Rn ) D '.

151

2. Лемма 21.1 (Шварца). Для того, чтобы f S '(Rn ) , необходимо и достаточно, чтобы существовали C > 0 и целое p ≥ 0 , та-

кие, что для любой ϕ S(Rn ) выполняется неравенство

f ,ϕ ≤ C max sup(1+| x |2 )p/2 Dαϕ(x) .

|α|≤p x Rn

3. Dα : S '(Rn ) → S '(Rn ) – линейный, непрерывный оператор. Доказательство. Так как Dα : D' → D' – линейный, непрерыв-

ный оператор, но нужно только показать, что для любой f S '(Rn ) будет Dα f : S '(Rn ), что очевидно, так как

Dα f ,ϕ = (−1)|α| f , Dαϕ

для любой ϕ S(Rn ).

Преобразование Фурье функций из S '(Rn )

в S '(Rn ) , и тогда справедливо:

F( f ),ϕm = f ,ϕˆ m → f ,ϕˆ =F( f ),ϕ, т.е. F( f ) S '(Rn ).

152

2. Обратное преобразование Фурье определяется равенством

Отсюда

F −1[F( f )],ϕ =F (F( f )(−ξ)),ϕ =F( f )(−ξ), F(ϕ) = =F( f ), F(ϕ)(−ξ) =F( f ), F −1ϕ = f ,ϕ,

т.е. F(F( f ))(−ξ) = f . Аналогично, F(F( f (−x))) = f .

Следствие. Оператор F осуществляет гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение) пространства

S '(Rn ) на себя, а также S(Rn ) на себя.

3. Преобразование Фурье и дифференцирование связаны равенствами:

а) DαF( f ) = F[(−ix)α f ],

б) F(Dα f ) = (−iξ)α F( f ).

Упражнение 21.3. Доказать эти равенства.

4. Преобразование Фурье сдвигов и преобразований подобия задаются равенствами:

Упражнение 21.4. Доказать эти равенства.

Примеры.

21.6. Вычислим преобразование Фурье дельта-функции.

Имеем: Fδ,ϕ =δ, Fϕ = ϕˆ (0) = (2π)−n/2 ∫ ϕ(x)dx.

Rn

Следовательно, F(δ) = (2π)−n/ 2 .

21.7. F[δ(x − x0 ] = ei( x0 ,ξ) F[δ(x)] = (2π)−n/ 2 ei( x0 ,ξ) .

153

21.8. F[1] = F −1[1(−x)] = F −1[1] = (2π)n/2 δ(x).

1 при x ≥ 0;

21.9. Пусть θ(x) =

0 при x < 0.

Тогда

154

21.5. Преобразование Фурье и свертка обобщенных функций

Определение 21.12. Пусть g S '(Rn ) и компактK Rn таковы, что для любой функции ϕ S(Rn ) из условия supp ϕ∩ K = следует, чтоg,ϕ=0. Тогда обобщенная функция g S '(Rn ) на-

зывается финитной, а пересечение всех таких компактов – ее носителем.

1.Свертка f * g S '(Rn ) и линейна по каждому аргументу.

2.Для любого мультииндекса α выполняется

Dα f * g = Dα ( f * g) = f * Dα g = Dα g * f . 3. f * δ = δ* f ) = f для любой f S '(Rn ).

Доказательство.

f (x)δ( y),η( y)ϕ(x + y)= f (x),δ( y),η( y)ϕ(x + y) = = f (x),ϕ(x)= f ,ϕ,

так как η( y) ≡1 в окрестности точки y = 0.

155

для любого ϕ S(Rn ) , таким образом, F[ f * δ] = F[ f ]F[δ].

21.6. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами

Определение 21.14. Обобщенная функция u D ' называется обобщенным решением дифференциального уравнения, если

L(D)u = ∑ aαDαu,ϕ = f ,ϕ .

|α|≤m

Определение 21.15. Обобщенная функция E D ' называется фундаментальным решением дифференциального оператора L(D) ,

если L(D)E(x) = δ(x).

Замечание 21.3. Для многих задач фундаментальные решения E S '(Rn ). И для их вычисления удобен аппарат преобразования

т.е. справедливо равенство L(−iξ)F[E] = (2π)−n/ 2 .

156

Обратно, если выполнено равенство леммы, то выполняется обратное преобразование Фурье и получим, что E(x) удовлетворяет

уравнению L(E) = δ.

Лемма 21.3. Еслиz(t) – решение задачи z '(t) + a(t)z(t) = 0, z(0) =1,

то E(t) = θ(t)z(t) – фундаментальное решение оператора dtd + a(t).

Доказательство. E '(t) = θ(t)z '(t) + z(t)δ(t) = θ(t)z '(t) + δ(t). Отсюда следует E '+ a(t)E = θ(t)[z '(t) + a(t)z] + δ(t) = δ(t).

Пример 21.6 (фундаментальное решение уравнения теплопро-

Пример 21.12. Пусть n = 3 . Вычислим с помощью преобразования Фурье фундаментальные решения оператора Лапласа E3 (x).

Если E3 (x) = δ(x), то −| ξ|2 F[E3 ](ξ) = (2π)−3/ 2 , и получаем соотношениеF[E3 ](ξ) = −(2π)−3/2 | ξ|−2 . Это локально интегрируемая в

157

R3 функция. Тогда имеем E3 (x) = −(2π)−3/ 2 F −1[| ξ|−2 ]. Подсчитыва-

ем выражение справа, т.е. для любой функции ϕ S(R3 ) будет выполнено:

F −1[| ξ|−2 ],ϕ =| ξ|−2 F −1[ϕ] =

Во внутреннем интеграле перейдем к сферическим координатам, направив полярную ось по вектору x . Тогда (ξ, x) =| x | ρcos θ,

где ξ1 = ρsin θcosϕ, ξ2 = ρsin θsin ϕ, ξ2 = ρcos θ. Якобиан такого преобразования I =ρ2 sin θ.

Имеем