20.4. Неравенство Фридрихса.
Введем обозначение |
|
u |
|
|
∑ |
|
u(k ) |
|
W l (G ) |
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
=l |
|
|
|
|
|
|
1
2 2
(x) , l = 0, 1, 2, ... .
Теорема 20.4. Для любой u W l (G) |
выполняется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| u ||L |
|
≤ C || u || l |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
W2 |
(G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где C – некоторая постоянная, не зависящая от u . |
|
Доказательство. Очевидно достаточно доказать неравенство |
для функций класса C∞ (G) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим куб Q ={x Rn : a ≤ x ≤ b, |
i =1,2,..., n}, содержа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щий область G . |
|
Тогда для любой |
ϕ C∞ |
(G) |
будут выполнены |
соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ(ξ, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dξ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x1, x) = ∫ |
|
∂ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
∂ϕ(ξ, |
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
∂ϕ(ξ, |
|
) |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
x |
|
≤ (b − a) |
|
x |
|
dξ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x , x) |
|
≤ |
|
∂ξ |
|
|
dξ |
|
|
|
∂ξ |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
∂ϕ(ξ, |
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
dξ = (b − a) |
|
|
|
|
≤ (b − a) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| ϕ||L2 (G) ≤ (b − a)∫dx∫ |
|
∂ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
W1(G) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
(G) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
рассуждая |
по индукции, получаем, |
что для |
|
|
|
|
любой |
ϕ C∞ (G) будет выполнено |
|
ϕ |
|
|
|
≤ C |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
, |
l =1, 2, .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
(G) |
|
|
|
|
|
W2 |
(G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу плотности C∞ (G) |
|
в |
W l (G) |
получаем справедливость |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой оценки для всех u W2l (G).
IV. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 21. Пространства D и D '
21.1. Определения и основные свойства
Всюду далее G = Rn или G Rn − некоторая область. Определение 21.1. На классе C0∞ (G) введем понятие сходимо-
сти следующим образом: последовательность |
{ϕ |
}∞ |
C∞ (a,b) |
|
|
|
m m=1 |
0 |
называется сходящейся к функции ϕ C∞ (G) ( ϕ |
|
D |
|
m |
→ϕ), если вы- |
0 |
|
|
|
полняются условия. |
|
|
|
|
1. Существует компакт K G , такой, что для любого m будет
supp ϕm K . |
|
|
|
|
|
|
2. Для любого мультииндекса α = (α1, α2 |
, ..., αn ) имеет место |
равномерная сходимость Dαϕ |
m |
|
|
Dαϕ на G ; |
множество C∞ (G) с |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
такой сходимостью обозначается символом |
D и называется про- |
странством основных функций. |
|
|
|
|
Перечислим основные свойства пространства D. |
1. Пространство D является полным относительно введенной |
сходимости, т.е. если {ϕ |
}∞ |
|
C∞ (a,b) , удовлетворяет первому |
|
m m=1 |
0 |
|
условию определения 21.1 и фундаментальна в смысле второго условия, то существует ϕ D , такая, что ϕm → ϕ в D .
2. |
Оператор дифференцирования |
|
Dβ : D → D непрерывен, т.е. |
если ϕm → ϕ в D , то Dβϕm → Dβϕ |
в D . |
3. |
Для любого l = 0, 1, 2, ... в случае сходимости ϕm → ϕ в D |
будет иметь место и сходимость ϕ |
m |
→ ϕ в W l (G) . В этом смысле |
|
|
|
2 |
справедливо вложение D W2l (G) L2 (G) W2−l (G).
Определение 21.2. Символом D ' обозначим множество всех
функционалов на D, обладающих следующими свойствами: 1) линейностью: ϕ,ψ α,β: f (αϕ+βψ) = αf (ϕ) +βf (ψ);
2) непрерывностюью в D: если последовательность {ϕ |
}∞ |
|
схо- |
|
|
|
|
|
|
D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
m m=1 |
|
дится |
ϕm → ϕ |
в |
|
то будет |
сходится и |
последовательность |
f (ϕm ) → f (ϕ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 21.3. Последовательность { f |
m |
}∞ |
D' называется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
слабосходящейся к |
f D ' , |
если для любой |
ϕ D |
выполняется |
fm (ϕ) → f (ϕ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пространство D ' называется пространством |
обобщенных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства пространства обобщенных функций. |
|
|
|
|
|
1. |
D ' – полное относительно слабой сходимости пространство. |
Доказательство см. [3], 5.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если { f |
m |
}∞ |
|
W −l (G) и f |
m |
→ f в W −l |
(G) , т.е. |
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
fm |
− f ||−l = |
sup |
| ( fm − f )(ϕ) |→ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ W2 (G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||ϕ|| |
≤1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
то очевидно |
и |
|
подавно |
для |
любой функции |
ϕ D |
будет |
( fm − f )(ϕ) → 0 , |
т.е. |
fm → f в |
D ' . Таким образом, |
можем запи- |
сать, что W2−l (G) D' , а тогда для любого l = 0, 1, 2, ... будут
справедливы вложения D W2l (G)L2 (G) W2−l (G) D '.
3. Если |
a C∞ (Rn ), |
а f D ', |
то по определению |
(af )(ϕ) = af (ϕ) = f (aϕ), т.е. |
определено |
произведение функции |
a C∞ (Rn ) |
и обобщенной функции f D '. Иногда можно осла- |
бить условие, например, требовать, чтобы (aδξ )ϕ = aϕ(ξ) было бы
определено для любой a C(Rn ).
Определение 21.4. Ранее была определена дельта-функция: для любой функции ϕ D и ξ Rn положим δξ,ϕ ≡ δξ (ϕ) = ϕ(ξ) –
дельта-функция, сосредоточенная в точке ξ Rn .
Определение 21.5. δS ,ϕ ≡ δS (ϕ) = ∫ϕ(x)dS – дельта-функция,
S
сосредоточенная на множестве S.
Определение 21.6. μδS ,ϕ = ∫μ(x)ϕ(x)dS,μ C(S) − простой
S
потенциал с плотностью μ .
|
Пример 21.1. Найти функционал P |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим на D функционал |
P |
|
|
|
|
|
как главное значение (V.P.) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . Именно, для любой функции ϕ D |
по Коши интеграла ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
def |
|
∞ |
|
|
|
|
def |
|
|
|
|
|
−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
,ϕ |
= V .P. |
|
|
ϕ(x) dx = |
lim |
|
|
|
ϕ(x) dx + |
|
ϕ(x) dx . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
ε→0 |
+0 −∞∫ |
|
x |
|
|
|
|
|
∫ε x |
|
|
|
|
|
Покажем, что P |
1 |
D ' . |
|
Если в {ϕ |
}∞ |
D,ϕ |
m |
→ 0 в D , то суще- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех m, а тогда |
ствует R > 0 , такое, что supp ϕm [−R, R] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ ϕ |
m |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
, |
ϕm |
= |
V .P. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле Лагранжа |
|
|
|
|
|
∞ |
ϕ |
m |
(x) |
dx |
|
= |
|
|
|
|
R |
ϕ |
m |
(0) + ϕ |
m |
'(ξ) |
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V.P. ∫ |
|
|
|
|
V.P. ∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
R ϕ |
m |
(0) |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
≤ 2R |
sup |
|
| ϕm '(x) −0 |→ 0, m → ∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V.P. ∫ |
|
|
dx + ∫ ϕm '(ξ)dx |
|
|
|
|
−R |
|
|
x |
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [−R,R] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как ξ (0, x) . Следовательно, |
P |
1 |
|
− непрерывный в D функ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ционал, т.е. P |
D ' . Кроме того, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) −ϕ(0) |
|
|
|
|
ϕ(x) −ϕ(0) |
|
|
|
|
P |
|
,ϕ =V.P. ∫ |
|
|
dx =V.P. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
dx = |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ ϕ(x) −ϕ(0) |
dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как существует R , такое, что носитель функции будет
R |
ϕ(0) |
dx = 0. |
supp ϕ [−R, R], а V.P. ∫ |
x |
−R |
|
Пример 21.2. Найти обобщенные функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
def |
|
|
+∞ |
ϕ(x) |
|
Соходского. |
По |
|
определению |
|
, |
ϕ = |
lim |
|
dx . |
|
x ±i0 |
x ± i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0+0 −∞∫ |
|
Имеем, если supp ϕ [−R, R], то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+R |
x |
−iε |
[ϕ(0) + (ϕ(x) −ϕ(0))]dx |
|
|
|
|
|
,ϕ |
= |
lim |
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
x ±i0 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
+0 |
−R x |
+ ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+R |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+R |
ε |
|
|
|
|
|
= ϕ(0) lim |
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx −iϕ(0) lim |
∫ |
|
|
dx |
+ |
|
|
|
2 |
+ ε |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
ε→0+0 |
−R x |
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
+0 −R x |
+ ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
+R |
x −iε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
lim |
|
|
|
(ϕ(x) − ϕ(0))dx |
= 2iϕ(0) lim |
arctg |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0+0 −∫R x2 + ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0+ |
0 |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
+R ϕ(x) −ϕ(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = −iπϕ(0) |
+ |
|
P |
|
|
,ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем формулы Соходского: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= −iπδ(x) + P |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +i0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= iπδ(x) + P |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример21.3. Доказать, что |
1 |
|
e− |
x |
|
→ δ(x) при ε →0 + 0 в D . |
|
|
4ε |
|
2 πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для любой функции ϕ D выполнено |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
∫ |
e− |
|
ϕ(x)dx = |
|
|
ϕ(0) ∫ e− |
|
|
dx + |
|
|
|
|
4ε |
|
|
4ε |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 πε |
|
|
|
|
πε −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
+ |
|
ϕ(0) ∫ e− |
|
(ϕ(x) −ϕ(0))dx = ϕ(0) + |
|
|
|
∫ e−t2 (ϕ(2 εt) −ϕ(0))dt. |
|
|
4ε |
|
|
|
|
πε |
|
|
π |
|
2 |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
При ε(0, 1] рассмотрим функцию
Φ(ε) = 1 ∫ e−t2 (ϕ(2 εt) −ϕ(0))dt.
π−∞
Всилу непрерывности по ε и t подынтегральной функции и рав-∞
|
номерной |
сходимости интеграла на множестве (0, ε] функция |
|
Φ(ε) |
будет непрерывна на [0, 1] , откуда lim Φ(ε) = Φ(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0+0 |
|
Таким образом, для любой |
|
ϕ D будет выполнено равенство |
|
|
1 |
∞ |
x2 |
|
|
|
|
|
lim |
∫ e− |
|
ϕ(x)dx = ϕ(0) , и, следовательно, |
|
4ε |
|
|
|
ε→0+0 |
2 πε −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
x2 |
|
|
|
|
|
e |
4ε → δ(x) в D . |
|
|
|
|
|
|
2 πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.2. Дифференцирование обобщенных функций
Определение 21.7. Для любой f D ' и любого мультииндекса
α = (α ,α |
2 |
,...,α |
n |
) положим |
g,ϕ = (−1)|α| |
f ,ϕ(α) |
для |
любой |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ D. |
Тогда функционал g D' обозначается |
f (α) ≡ Dα f |
и назы- |
вается обобщенной производной функции |
f |
вида |
Dα f . |
Таким |
образом, для любой ϕ D будет выполнено |
|
|
|
|
Dα ,ϕ= (−1)|α| f , Dαϕ.
Отметим свойства обобщенной производной. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Линейность. |
Для любых f1, f2 , |
C1,C2 С, |
α = (α1,α2 ,...,αn ) |
существует Dα (C f + C |
2 |
f |
2 |
) и Dα (C f + C |
2 |
f |
) = C Dα ( f ) + C |
Dα ( f |
). |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
12 |
|
2 |
|
2 |
|
2. |
Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ) = Dα+β( f ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Непрерывность. |
|
Для |
любого |
α = (α1,α2 ,...,αn ) |
|
оператор |
Dα : D' → D' является непрерывным оператором. |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для любой последовательности { f |
m |
}∞ |
|
D' , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
сходящейся к f в D ' , имеем
Dα fm ,ϕ = (−1)|α| fm , Dαϕ→(−1)|α| f , Dαϕ =Dα f ,ϕ
для всех ϕ D . Таким образом, по определению, Dα fm → Dα f , m → ∞ в D ' .
Замечание 21.1. Оператор Dα :W2l (G) →W2l −|α| (G) – непрерывный оператор, l Z .
21.3. Обобщенные функции как производные
Теорема 21.1. Пусть f D ', K G , − компакт в G . Тогда существуют g C(G) и мультииндекс α = (α1,α2 ,...,αn ) , такие, что f ,ϕ = (−1)|α| ∫ g(x)Dαϕ(x)dx = g(α) ,ϕ для любой ϕ D с носи-
G
телем supp ϕ K.
Эта теорема означает, что любая обобщенная функция локально совпадает с производной некоторого порядка от непрерывной функции.
Пример 21.4. Пусть функция f такова, что f C1 (x ≤ x0 ) C1 (x ≥ x0 );
lim f (x) − |
lim |
f (x) = f (x0 + 0) − f (x0 −0) =[ f ](x0 ) ≠ 0. |
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
Тогда для любой ϕ C∞ (R1 ) |
будет выполняться |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
def |
∞ |
|
x0 |
|
∞ |
f ',ϕ = − f ,ϕ' |
= − ∫ f (x)ϕ'(x)dx = − ∫ f (x)ϕ'(x)dx − |
∫ f (x)ϕ'(x)dx = |
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
∞ |
|
= − f (x)ϕ(x) |
|
−x0∞ + ∫ |
f '(x)ϕ(x)dx − f (x)ϕ(x) |
|
+∞x + |
∫ f '(x)ϕ(x)dx = |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
0 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
=[ f (x0 )]ϕ(x0 ) + ∫ { f '}(x)ϕ(x)dx, |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
∞ |
def |
x0 |
+∞ |
|
|
где ∫ { f '}(x)ϕ(x)dx = |
∫ f '(x)ϕ(x)dx + ∫ f '(x)ϕ(x)dx . |
|
−∞ |
|
−∞ |
x0 |
|
|
21.4. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье быстроубывающих функций Определение 21.8. Символом S(Rn ) обозначим совокупность функций ϕ C∞ (Rn ) , которые для всех мультииндексов α, β удов-
летворяют условиям: |
sup |
xβDαϕ(x) |
< +∞, здесь xβ = xβ1 xβ2 |
...xβn . |
|
x Rn |
|
1 2 |
n |
|
|
|
|
Множество S(Rn ) называется множеством быстроубывающих
функций. Множество S(Rn ) – линейное. Введем на S(Rn ) сходимость следующим образом: будем говорить, что последователь-
ность {ϕ |
|
}∞ |
|
сходится к ϕ в S(Rn ) приm →∞ , если для любых |
|
m m=1 |
|
|
|
|
|
|
α, β выполнено sup |
|
xβDα (ϕ (x) −ϕ(x)) |
|
→ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
x Rn |
|
|
m |
|
m→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МножествоS(Rn ) |
с введенной на нем сходимостью называется |
пространством быстроубывающих функций. |
Справедливы следующие свойства. |
|
|
1. D |
|
|
S(Rn ) , |
причем это вложение строгое. Например, |
|
e−|x|2 S(Rn ) , но e−|x|2 D.
2.Для любого α оператор Dα : S(Rn ) → S(Rn ) – непрерывный оператор.
3.Если функция a(x) C∞ (Rn ) такова, что для любого α суще-
ствуют mα ,Cα , такие, что выполнено неравенство Dαa(x) ≤ Cα (1+| x |2 )mα , то a(x)ϕ S(Rn ) для любой ϕ S(Rn ) .
4. Множество C0∞ (Rn ) плотно в S(Rn ) . Доказательство здесь не приводится.
Определение 21.9. Для любой ϕ S(Rn ) положим
(Fϕ)(ξ) = ϕˆ (ξ) = (2π)−n2 ∫ ϕ(t)e−i(ξ,t ) dt.
Rn
Функция ϕˆ (ξ) называется преобразованием Фурье функции
ϕ S(Rn ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим следующие свойства. |
1. Оператор F : ϕ → ϕˆ является линейным, непрерывным опера- |
тором в S(Rn ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для любого α имеем |
Dαϕˆ (ξ) = (2π)− |
n |
|
|
|
|
|
2 |
∫ (−i)|α| xαϕ(x)e−i(ξ,x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
Если ϕ S(Rn ) фиксирована, |
то интеграл справа для любого α |
сходится равномерно по ξ Rn . |
Следовательно, дифференцирова- |
ние законно. Далее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i|β|ξαψˆ (ξ) = (2π)− |
n |
∫ e−i(ξ,x) Dαψ(x)dx. |
|
|
2 |
Откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξβDαϕˆ (ξ) = (2π)− |
n |
|
|
|
|
|
2 |
(−i)|α|+|β| ∫ e−i(ξ,x) Dα (xαϕ(x))dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
sup |
|
ξβDαϕˆ (ξ) |
|
≤ |
(2π) |
− |
n |
|
∫ | Dα (xαϕ(x)) | dx < +∞, |
|
|
2 |
|
ξ Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. ϕˆ S(Rn ) . Отсюда, очевидно, следует и линейность F в S(Rn ) . В силу линейности F достаточно доказать его непрерывность в ну-
ле, т.е. если последовательность |
{ϕ |
}∞ |
S(Rn ) сходится к |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
m m=1 |
|
|
|
|
|
|
в |
S(R |
n |
) . Это следует из оценки: для лю- |
0,ϕm → 0, то ϕˆ m → 0 = 0 |
|
|
бых α,β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
ξβDαϕˆ m (ξ) |
|
≤ (2π) |
− |
n |
|
∫ | Dα (xαϕm (x)) | dx → 0 при m →∞. |
|
|
2 |
|
ξ Rn |
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 21.2. Если ϕ D , то ϕˆ – целая аналитическая функ- |
ция переменной ξ . Следовательно, |
ϕˆ D. |
|