Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

выполняется

2

|| u ||L

≤ C || u || l

,

2

W2

(G)

где C – некоторая постоянная, не зависящая от u .

Доказательство. Очевидно достаточно доказать неравенство

для функций класса C∞ (G) .

0

Рассмотрим куб Q ={x Rn : a ≤ x ≤ b,

i =1,2,..., n}, содержа-

i

щий область G .

Тогда для любой

ϕ C∞

(G)

будут выполнены

соотношения:

0

x1

∂ϕ(ξ,

)

x

dξ;

ϕ(x1, x) = ∫

∂ξ

a

x1

∂ϕ(ξ,

)

2

b

∂ϕ(ξ,

)

2

1

2

x

≤ (b − a)

x

dξ;

∫

∫

ϕ(x , x)

≤

∂ξ

dξ

∂ξ

a

a

сти следующим образом: последовательность

{ϕ

}∞

C∞ (a,b)

m m=1

0

называется сходящейся к функции ϕ C∞ (G) ( ϕ

D

m

→ϕ), если вы-

0

полняются условия.

supp ϕm K .

2. Для любого мультииндекса α = (α1, α2

, ..., αn ) имеет место

равномерная сходимость Dαϕ

m

Dαϕ на G ;

множество C∞ (G) с

0

такой сходимостью обозначается символом

D и называется про-

странством основных функций.

Перечислим основные свойства пространства D.

1. Пространство D является полным относительно введенной

сходимости, т.е. если {ϕ

}∞

C∞ (a,b) , удовлетворяет первому

m m=1

0

2.

Оператор дифференцирования

Dβ : D → D непрерывен, т.е.

если ϕm → ϕ в D , то Dβϕm → Dβϕ

в D .

3.

Для любого l = 0, 1, 2, ... в случае сходимости ϕm → ϕ в D

будет иметь место и сходимость ϕ

m

→ ϕ в W l (G) . В этом смысле

2

}∞

схо-

D,

m m=1

дится

ϕm → ϕ

в

то будет

сходится и

последовательность

f (ϕm ) → f (ϕ);

Определение 21.3. Последовательность { f

m

}∞

D' называется

m=1

слабосходящейся к

f D ' ,

если для любой

ϕ D

выполняется

fm (ϕ) → f (ϕ).

Пространство D ' называется пространством

обобщенных

функций.

Свойства пространства обобщенных функций.

1.

Доказательство см. [3], 5.4.

2. Если { f

m

}∞

W −l (G) и f

m

→ f в W −l

(G) , т.е.

m=1

2

2

||

fm

− f ||−l =

sup

| ( fm − f )(ϕ) |→ 0,

l

ϕ W2 (G)

||ϕ||

≤1

l

то очевидно

и

подавно

для

любой функции

ϕ D

будет

( fm − f )(ϕ) → 0 ,

т.е.

fm → f в

D ' . Таким образом,

можем запи-

Пример 21.1. Найти функционал P

1

.

1

x

Определим на D функционал

P

как главное значение (V.P.)

x

∞

ϕ(x)

dx . Именно, для любой функции ϕ D

по Коши интеграла ∫

x

−∞

положим

1

def

∞

def

−ε

∞

P

,ϕ

= V .P.

ϕ(x) dx =

lim

ϕ(x) dx +

ϕ(x) dx .

x

−∞∫

x

ε→0

+0 −∞∫

x

∫ε x

Покажем, что P

1

D ' .

Если в {ϕ

}∞

D,ϕ

m

→ 0 в D , то суще-

x

m

m=1

для всех m, а тогда

ствует R > 0 , такое, что supp ϕm [−R, R]

1

∞ ϕ

m

(x)

P

,

ϕm

=

V .P. ∫

dx

.

x

−∞

x

По формуле Лагранжа

∞

ϕ

m

(x)

dx

=

R

ϕ

m

(0) + ϕ

m

'(ξ)

dx

=

V.P. ∫

x

−∞

x

−R

=

R ϕ

m

(0)

R

≤ 2R

sup

| ϕm '(x) −0 |→ 0, m → ∞,

−R

x

−R

x [−R,R]

так как ξ (0, x) . Следовательно,

P

1

− непрерывный в D функ-

1

x

ционал, т.е. P

D ' . Кроме того, имеем

x

R

R

1

∞

ϕ(x)

ϕ(x) −ϕ(0)

ϕ(x) −ϕ(0)

P

,ϕ =V.P. ∫

dx =V.P. ∫

dx = ∫

dx =

x

x

x

x

−∞

−R

−R

∞ ϕ(x) −ϕ(0)

dx,

= ∫

x

−∞

номерной

сходимости интеграла на множестве (0, ε] функция

Φ(ε)

будет непрерывна на [0, 1] , откуда lim Φ(ε) = Φ(0) = 0.

ε→0+0

Таким образом, для любой

ϕ D будет выполнено равенство

1

∞

x2

lim

∫ e−

ϕ(x)dx = ϕ(0) , и, следовательно,

4ε

ε→0+0

2 πε −∞

1

−

x2

e

4ε → δ(x) в D .

2 πε

Отметим свойства обобщенной производной.

1.

Линейность.

Для любых f1, f2 ,

C1,C2 С,

α = (α1,α2 ,...,αn )

существует Dα (C f + C

2

f

2

) и Dα (C f + C

2

f

) = C Dα ( f ) + C

Dα ( f

).

1

1

1

1

2

1

12

2

2

2.

Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ) = Dα+β( f ).

3.

Непрерывность.

Для

любого

α = (α1,α2 ,...,αn )

оператор

Dα : D' → D' является непрерывным оператором.

Доказательство. Для любой последовательности { f

m

}∞

D' ,

m=1