Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

и с полярным

, 0 < α < n , ядром.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

y3 N : y3 − y1 Y ≥1, y3 − y2 Y ≥1

yn N :

yn − y1

Y ≥1,...,

yn − yn−1

Y ≥1

и т.д.

Таким образом, построена последовательность {y

}∞

N , из

n=1

которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Но это противоречит относительной компактности N.

Если теперь

K1 ={x X :

X ≤1} – единичный шар в X, то

относительно компактное,

а значит,

и ограничен-

AK1 = N Y –

ное, в Y множество. Но тогда:

x X ,

C > 0 : x K1

Y ≤C , т.е.

≤C

A ограничен.

2. Пусть X =Y, A = I – тождественный оператор. Тогда I оче-

видно ограничен, но не компактен.

11.2. Основные примеры

Пусть G R

– некоторое множество и

– множество

D (K )

всех функций f,

определенных на G, для которых при t G су-

ществует (хотя бы как несобственный) интеграл:

∫K (t, τ) f (τ)dτ.

(11.1)

(K f )(t ) =

задан оператор Фредгольма с ядром

Тогда на D (K )

K (t, τ).

Аналогично,

если

для

любого t [a, b],

f D (K )

−∞ ≤ a <b ≤ +∞ , определен оператор

∫k (t, τ) f (τ)dτ ,

(11.2)

(k f )(t ) =

то на множествеD (k )задан оператор Вольтерра k с ядром k (t, τ).

Утверждение 11.3. Пусть G – ограниченное, измеримое мно-

жество	([a, b] –	отрезок),	ядро		K (t, τ) C (G			)
							×G
			ˆ	ˆ	являются линейны-
(k (t, τ) C ([a,b]×[a,b])), то операторы K и				k
ми, ограниченными операторами в пространствах C (G)						и C [a, b]
соответственно.
Доказательство.		Линейность	операторов		очевидна.	То, что
f C (G)		ˆ	ˆ
	( f C [a, b]) K f C (G) (k f C [a,b]), следует из

теоремы о непрерывности собственного интеграла по параметру. Наконец, ограниченность операторов (11.1) и (11.2) в этом случае следует из оценок:

= sup

∫ K (t, τ) f (τ)dτ

K f

C(G)

≤

t G

≤ sup

K (t, τ)

sup

f (τ)

μ(G) = C

C(G) ,

t,τG

τG

≤

(t, τ)

f (τ)

(b − a) = C

k f

C[a,b]

sup

C[a,b] .

t,τ[a,b]

τ[a,b]

Напомним следующую теорему.

Теорема Арцела. Множество M относительно компактно в

C (G) тогда и только тогда, когда:

1) множество M равномерно ограничено в C (G), т.е. C > 0 :

f M f C(G) ≤ C ;

2) множество M равностепенно непрерывно в C (G), т.е.

ε > 0 δ(ε) > 0: (t1,t2	G : ρ(t1,t2 )< δ) sup	f (t1)− f (t	2 )	< ε.

	f M

Упражнение. Провести доказательство достаточности в теореме

Арцелла.	ˆ	ˆ
			являются вполне непре-
Утверждение 11.4. Операторы K,		k
рывными операторами в C (G)	и C [a, b]		соответственно, при вы-
полнении требований утверждения 3.				ˆ
Доказательство. Проведем доказательство для оператора
				K .
Пусть X C (G) – любое	ограниченное множество,			т.е.

C0 > 0 : f X f C(G) ≤ C0 .

Обозначим

и докажем, что M –

относительно ком-

M = KX

пактное в C (G) множество.

Воспользуемся теоремой Арцела. Имеем:

а) g = K f

K (t,

τ)

C(G) μ(G)≤

C(G) =

C(G)

≤ sup

≤ C0μ(G) sup

t,τG

K (t, τ)

= C,

t,τG

т.е. M – равномерно ограничено;

б) sup

g (t1)− g (t2 )

= sup

≤

(Kf )(t1)

−(Kf )(t2 )

g M

f X

≤ sup ∫

K (t1, τ)− K (t2, τ)

f (τ)

dτ.

f X G

Так как K (t, τ)

равномерно непрерывная на G

×G функция, то

ε > 0 δ(ε > 0): ((t1, τ), (t2, τ): ρ(t1;t2 )< δ)

K (t1, τ)− K (t2, τ)

< ε / c0μ(G) .

(t1, t2 G :

Фиксируем

ε > 0 ,

выбираем

δ(ε) > 0 .

Тогда

ρ(t1, t2 )< δ) sup

g (t1 )− g (t2 )

< ε,

т.е. множество

M равносте-

g M

пенно непрерывно. По теореме Арцела получаем, что M относи-

тельно компактно, а тогда

K вполне непрерывен в C (G ).

Упражнение. Провести доказательство утверждения 2 для опе-

ратора ˆ . k

11.3. Интегральный оператор с полярным ядром

Определение 11.8. Ядро Kα (t, τ)= Kt −(tτ, τα) , где K (t, τ) = C (G)×

×C (G), а 0 < α < n, называется полярным ядром. Здесь, как и ранее,

G Rn, а t − τ = ρ(t, τ).

Далее рассмотрим оператор
ˆ	(11.3)
(Kα f )(t )= ∫ Kα (t, τ) f (τ)dτ.	(11.3)

Утверждение 11.5. Если G – измеримое, ограниченное множе-

ство, то ˆ – линейный, вполне непрерывный оператор в C (G) .

Kα

Доказательство. 1. Пусть X – любое ограниченное в C (G) множество, т.е. C0 > 0 : f X f C(G) ≤ C0 . Тогда:

(

)

(t)

K (t, τ) sup

dτ

sup sup

≤ sup

sup

≤

f X t G

f X

C(G)

∫

t − τ

(t,τ) G

t G

∫

d τ

≤ C1 supt G

= {в сферических координатах τ =t +ηρ, где

t − τ

(t)

η= (cos α1,..., cos αn )– единичная нормаль к сфереSR (t) }=

= C μ(S )R0

ρn−1 d = C < +∞.

∫

ρα

Здесь K R

(t ) – шар радиусом R0 с центром в точке t, а R0 выбра-

при любом t G; μ(S1 ) – площадь еди-

KR (t )

но так, чтобы G

равномерно

ничной сферы в R .

Таким образом, множество KαX

ограничено в C (G).

2. Докажем равностепенную непрерывность KαX (и тем самым

в любой точке t G).

непрерывность любой функции (Kα f )(t)

Имеем:

(t1, t2 G :

t1 −t2

< δ) sup

≤

(Kα f )(t1)−(Kα f )(t2 )

f X

≤ C0 ∫

K (t1,

τ)

K (t2,

τ)

∫

−

d τ = C0

t1 − τ

t2 − τ

K2δ(t1)

+G\K∫2δ(t1) = C0 (J1 + J 2 ).

Для J1 получаем, положив C1 = sup

K (t, τ)

t,τ G

dτ

C0J1 ≤C0C1

∫

t −τ

+ ∫

−τ

≤

K2δ(t1)

4δ

n−α

dτ

n−1

4δ)

≤ 2C C

∫(t

= 2C C μ(S )

∫0

dρ = 2C C μ(S )(

)

t1 − τ

ρα

n −α

4δ 1

δ1 (ε)> 0

ε > 0

подбираем

так,

чтобы

Теперь

задаем

2C C μ(S )

(4δ

)n−α

(ε)> 0 . Тогда

. Фиксируем далее такое

n −α

0 1

функция

K (t, τ)

равномерно непрерывна на

множестве

{(t, τ):

t −τ

t − τ

≥ δ1}.

Поэтому

для выбранного

ε > 0 δ2 (ε) > 0:

t G

(t , t

K (t1, τ)

K (t2, τ)

G :

−t

< δ

)

−

сразу

t −τ

−τ

2C0μ(G)

для (τ: min (

t1 − τ

t2 − τ

)≥ δ1) .

Поэтому и

<ε / 2 , если

t1, t2 : t1 −t2 < δ(ε)= min (δ1, δ2 ). Это означает, что

ε > 0 δ(ε) > 0 : (t1,t2 G : t1 −t2 < δ)

			sup		ˆ	ˆ	< ε ,
					ˆ	ˆ
					(Kα f )(t1)−(Kα f )(t2 )
			f X
т.е. множество			ˆ	равностепенно непрерывно. Поэтому опера-
т.е. множество			KαX	равностепенно непрерывно. Поэтому опера-
тор	ˆ	C (G )→ C (G ) – вполне непрерывный оператор. Его ли-
тор	Kα :	C (G )→ C (G ) – вполне непрерывный оператор. Его ли-

нейность теперь очевидна.

Замечание. Нам в дальнейшем понадобятся также интегральные

ˆ		K (t, τ)
операторы вида (Kα f )	(t ) = ∫		t −τ	α	f (τ)dSτ , где S – граница ог-
	S		t −τ
	S
раниченной области G,	K (t, τ) C (S ×S ) , 0 < α < n −1 . Параметри-

зацией поверхности S сводим рассмотрение такого оператора к оператору утверждения 11.5.

§12. Интегральный оператор Фредгольма

свырожденным ядром в пространстве C (G )

Здесь рассматриваем оператор

		ˆ		(12.1)
		(Ky)(t ) = ∫ K (t, τ) y (τ)dτ		(12.1)
			G
		m
с ядром	K (t, τ)	= ∑α j	(t )βj (τ), где		),
с ядром	K (t, τ)	= ∑α j	(t )βj (τ), где	α j (t ), βj (t) C (G	),
		j=1
j =1, 2,..., m .	Такие ядра называются вырожденными. Область G

считаем ограниченной. Cистемы функций {α j}mj=1 и {βj}mj=1 мож-

но считать линейно независимыми без ограничения общности

Рассмотрим следующую задачу: для заданного числа μ C и

функции f C (G) найти функцию y C (G ), удовлетворяющую уравнению

y (t ) =μ∫ K (t, τ) y (τ)dτ+ f (t ).	(12.2)
G

Уравнение (12.2) называется интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Наряду с уравнением (12.2)

рассмотрим отвечающее ему однородное

y (t ) =μ∫ K (t, τ) y (τ)dτ	(12.3)
G
и пару союзных (или сопряженных) уравнений:
z (t )= μ ∫ K (t, τ)z (τ)dτ+ g (t ),	(12.4)
G
z (t) = μ ∫ K (t, τ)z (τ)dτ ,	(12.5)
G

где K (t, τ) =

= ∑

, а

g C (G

)

K (τ,t )

α j

(τ)

βj (τ)

– также задан-

j=1

ная функция.

Подставляя в (12.2) ядро (12.1), получим

= ∫y (τ)βj

y (t ) = f (t )+μ∑ y j α j

(t),

где y j

(τ)dτ.

j=1

Далее, подставляя y (t ) в (12.2), получаем при μ ≠ 0 :

∫

∑

(t ) f

(t)+μ

∑

(t )β

(

f (t )+μ

τ)

j=1

× f

(τ)+μ

(τ) dτ;

∑

j=1

∑ y jα j (t )

= ∑α j (t )

∫βj (τ) f (τ)dτ+

j=1

+μ

(τ)α

(

τ)dτ y

∑

∫

i=1

Функции {α j}mj=1 линейно независимы, поэтому решение уравне-

ния (12.2) равносильно решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

	m
y j =μ∑Cij yi			+ f j , j =1, 2,..., m ,		(12.2′)
i=1
y j = ∫βj (τ) y (τ)dτ;	f j = ∫βj (τ) f (τ)dτ; Cij = ∫α j (τ)β j (τ)dτ .
G	G			G
В самом деле, если y C (G		)	– решение (12.2), то из приведенных
выкладок следует, что	y ={y1,..., ym},			yi = ∫βj (τ) y (τ)dτ удовле-
				G
творяет системе (12.2′). Обратно, если				y =(y1,..., ym )	– какое-либо

m
решение (12.2′), то функция y (t )= f (t )+μ∑ y jα j	(t ), как следует
j=1

из тех же выкладок, удовлетворяет уравнению (12.2).

Отметим, что уравнения (12.3)–(12.5) тем же образом переходят в эквивалентные им системы линейных алгебраических уравнений:

y j

=μ∑Cij

yi ,

(12.3′)

i=1

z j = μ∑

+ g j ,

(12.4′)

C ji

i=1

z j

=μ∑

zi ,

(12.5′)

C ji

i=1

где

z j = ∫

z (τ)dτ, g j

= ∫

g (τ)dτ ,

α j (τ)

α j

(τ)

и функция z (t ) = g (t )

+μ∑βj (t )z j .

j=1

Для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (12.3′)–(12.5′) справедлива следующая теорема (теорема Фред-

гольма).

Теорема 12.1′. 1. Либо уравнение (12.2′) имеет единственное решение при любом f ={ f1,..., fm}, либо уравнение (12.3′) имеет

ненулевое решение (альтернатива Фредгольма); 2. Уравнение (12.3′) и (12.5′) имеют одно и то же число линейно

независимых решений (т.е. размерности пространств решений уравнений (12.3′) и (12.5′) равны);

3. Уравнение (12.2′) разрешимо для тех и только тех f , которые ортогональны всем решениям z уравнения (12.5′):

∑ f j z j = 0 . j=1

Доказательство. Обозначив	C ={cij}m	, запишем уравнения
	i, j=1

(12.2′)–(12.5′) в матричной форме (стрелка вниз обозначает представление вектора в виде вектора-столбца):

(E −μC)y = f ,		(12.2′′)
↓	↓
(E −μC)y =0 ,		(12.3′′)
↓	↓
(E −μC* )z = g ,		(12.4′′)
↓	↓
(E −μC* )z = 0 ,		(12.5′′)
↓	↓
где C* – сопряженная с C матрица. Тогда:
1) (12.2′′) однозначно разрешимо		f det (E −μC ) ≠ 0

(12.3′′) имеет только нулевое решение;

2) E −μC* = (E −μC)* r = Rang(E −μC) = Rang(E −μC*)

размерность пространств решений (12.3′′) и (12.5′′) равны (m − r ) ,

т.е. они равны между собой;
	3) если			f =(E −μC)y, а				(E −μC*)z =0, то	(f , z)= (E −μC) y, z =
		(		↓		(	↓	↓ ↓
				)			)	, т.е. если (12.2′′)	имеет при заданном
=	y,		E −μC* z		=		y,0 = 0

f	решение, то				f	ортогональна любому решению (12.5′′). Обрат-
но, пусть				f такова, что она ортогональна всем решениям (12.5′′).
Тогда, в силу того, что

Rm = Ker(E −μC)* Im(E −μC) f Im(E −μC)

↓

y Rm : (E −μC ) y = f .

↓↓

Здесь Ker(E −μC)* и Im(E −μC) – ядро и образ операторов, отве-

чающих указанным здесь матрицам.

В качестве следствия получаем соответствующую теорему для уравнений (12.2)–(12.5).

Теорема 12.1. 1. Либо уравнение (12.2) имеет единственное решение при любой f C (G), либо уравнение (12.3) имеет ненуле-

вое решение в C (G ).

2.Размерности пространств решений уравнений (12.3) и (12.5) конечны и равны между собой.

3.Уравнение (12.2) разрешимо для тех и только тех f C (G),

которые для любого решения z уравнения (12.5) удовлетворяют условию

∫ f (τ)z (τ)dτ = 0 .

Доказательство. Пункты 1 и 2 следуют из взаимной однозначности между решениями уравнений (12.2)–(12.5) и СЛАУ (12.2′–12.5′). Для доказательства пункта 3 осталось убедиться, что

если f (τ) ↔		и z (τ) ↔ z , то ∫ f (τ)						dτ = 0 (f , z )= 0 . В
если f (τ) ↔	f	и z (τ) ↔ z , то ∫ f (τ)				z (τ)		dτ = 0 (f , z )= 0 . В
				G
силу выписанных ранее соотношений:

					m
	∫ f (τ)			dτ = ∫ f (τ)	μ∑				z j dτ =
	∫ f (τ)		z (τ)	dτ = ∫ f (τ)	μ∑		βj	(τ)	z j dτ =
	G			g	j=1
m						m
= μ∑		∫ f (τ)βj (τ)dτ z j			= μ∑ f j z j = μ( f , z ).
j=1		g				j=1

Замечание. Данная теорема остается справедливой для любого вполне непрерывного в C (G ) оператора. В частности, она справед-

лива для операторов Фредгольма с непрерывным в C (G ×G ) ядром

Здесь эту теорему доказывать не будем, но полностью ее дока-

жем в случае евклидовых пространств.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.68 Mб223Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013841.72 Кб76Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб146Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб193Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf