Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

2. Если fk → f по мере, то существует подпоследовательность

{ fnk } { fn} , сходящаяся п.в. на А к f (x).

Имеется связь между сходимостью п.в. и равномерной сходимостью.

Теорема 17.6 (Егорова). Пусть А – множества конечной меры и последовательность измеримых функций fk → f п.в. на А. Тогда

δ > 0 Aδ A измеримое и такое, что:

1)μ( Aδ ) > μ(A) −δ ;

2)fk (x) → f (x) равномерно на Аδ.

17.1. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры

Определение 17.10. Последовательность{Ak }назовем исчерпывающей множество А, если все Аk – измеримые, μAk < ∞ и выполняется следующее:

1)A1 A2 ... Ak ...;

2)A = Ak .

k

Определение 17.11. Пусть f определена на A. Функцию f назовем суммируемой на A, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве множества А конечной меры и если для любой последовательности {Ak}, исчерпывающей A, существует

конечный и не зависящий от выбора исчерпывающей последовательности. Этот предел называется интегралом Лебега от по А.

Отметим, что | f | в этом случае также суммируема на A.

∞ sin x

Пример 17.2. Интеграл ∫0 x dx существует (равен π/2) как не-

собственный интеграл Римана, но не существует (даже как несобственный) как интеграл Лебега.

121

§ 18. Пространство Лебега

Определение 18.1. Пусть G Rn – измеримое множество. Тогда

венством Минковского.

Лемма 18.1 (неравенство Гельдера). Пусть 1 < p < ∞, 1p + 1q =1.

Тогда, если f (x)g(x) – суммируемая функция, то

∫| f (x)g(x) | dx ≤|| f ||p || g ||q .

G

то t=1 – точка минимума функции ϕ(t) . Положим t = a1/qb1/ p , где a > 0, b > 0 , из неравенства ϕ(t) ≥1 получаем

122

1 ≤ 1p a p/qb−1 + 1q bq/ p a−1, ab ≤ 1p a p/q+1 + 1q bq/ p+1 = a p/q + bq/ p .

Замечание 18.1. Если p = 2 , то получаем неравенство Коши– Буняковского–Шварца.

Следствие. Если G = Rn , Ki – не пересекающиеся единичные кубы, i =1, 2,..., N , а функции f, g таковы, что

то неравенство Гельдера превращается в следующее неравенство Гельдера для сумм:

Доказательство (неравенства Минковского). Если p =1, то не-

(| f (x) + g(x) |p−1 )q ≤ 2p−1 (| f (x) |p + | g(x) |p ) ,

получили

123

| f ( x) + g(x) |p−1 Lq (G) .

Но тогда, так как

| f (x) + g(x) |p =| f (x) || f ( x) + g(x) |p−1 + | g( x) || f (x) + g(x) |p−1 ,

то, интегрируя по G и применяя неравенство Гельдера, имеем:

∫| f (x) + g(x) |p dx ≤

G

≤ ∫| f (x) || f (x) + g(x) |p−1 dx + ∫|| g(x) | f (x) + g(x) |p−1 dx ≤

G G

124

некоторой интегрируемой на G1 функции. Так как G1 G – произвольное измеримое множество конечной меры, то получаем, что

ванное (т.е. банахово) пространство.

Замечание 18.2. Для нас особенно важным из лебеговых пространств Lp (G) будут пространства L1 (G) всех суммируемых на

G функций и гильбертово (т.е. полное евклидово) пространство L2 (G) . Скалярное произведение в L2 (G) определяется как

( f , g) = ∫ f (x)g(x)dx .

G

Замечание 18.3. Символом L1,loc (G) обозначаем множество всех функций f L1 (G) , суммируемых на каждом компактном измери-

125

мом подмножестве G1 G . Этот класс будем называть классом локально суммируемых в G функций. Отметим без доказательства следующее свойство пространств Lp (G) .

Теорема 18.3. Множество C0∞ (G) – множество бесконечно диф-

ференцируемых в Rn функций с носителем, лежащим в G , всюду плотно в Lp (G),1 ≤ p < ∞ , т.е.

f Lp (G)ε ϕC0∞ (G) :|| f − ϕ||p < ε.

Упражнение 18.1. Вычислить интеграл:

§ 19. Пространства Соболева

19.1. Обобщенные производные

126

где k = (k1,k2 ,..., kn ) – мультиинтекс; ki ≥ 0 − целые числа, то функция g называется обобщенной производной по Соболеву функции f вида

G.

2.Если f (k ) (x), h(k ) (x) в G , то

Cf (k ) (x) + Dh(k ) (x) = (Cf (x) + Dh(x))(k ) . 3. Если f Cm (G) , то

k,| k |≤ m ϕ C0∞ (G) : ∫ f (k ) (x)ϕ(x)dx = (−1)|k| ∫ f (x)ϕ(k ) (x)dx .

G G

Таким образом, если f имеет в G классическую производную

127

Таким образом, если существует g L1,loc (G) , для которой ра-

∞

венство ∫ g(x)ϕ(x)dx = 2ϕ(0) выполнено для всех ϕ C0∞ (R1 ) , то

−∞

это и есть производная от sign x . Покажем, что такой функции нет.

в смысле определения 19.1.

Получим еще одно важное свойство обобщенных производных.

128

1 ≤ p < ∞, l N . Символом Wpl (G) обозначим множество локально суммируемых на G функций f , имеющих локально суммируемые

на G производные f (k ) при всех k :| k |≤ l , для которых конечна величина

Теорема 19.2. Множество Wpl (G) с нормой, определяемой соот-

ношением (19.2), является полным, нормированным пространством.

Доказательство.

1. Проверим, что соотношение (19.2) определяет норму. Первая аксиома нормы принимается по определению, вторая аксиома очевидна. Проверим выполнение неравенства треугольника. Запишем неравенство Минковского

129