Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

в силу системы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

dv (y)

def

∑

∂v

(t, y)≤ 0

при всех t ≥ t0 .

в силу системы

i=1 ∂yi

Тогда нулевое решение системы (3.1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. В

пространстве

Rn+1

рассмотрим

график

y,z

функции z = v (y ). Так как v ( y )

– непрерывная функция, v (y ) > 0

при

y ≠ 0 , то,

задав

достаточно

малое

ε > 0 , получим, что

C (ε) > 0 , такая, что:

а) проекция поверхности уровня

v (y ) = C

на гиперплоскость

(y1,..., yn )

целиком лежит в Uε (0) ={y :

< ε};

б)

δ(C ) = δ(ε) > 0 : Uδ (0) лежит внутри этой проекции.

Возьмем точку M 0 (y0 ) Uδ (0). Пусть y (t )

– фазовая траекто-

рия системы (3.1), проходящая при t = t0

через M0 , т.е. y (t0 )= y0 .

Тогда v (y0 )= C1 < C и по условию

dv (y (t))

∂v

= ∑

fi (t, y (t)) ≤ 0 ,

т.е. v ( y )

в силу системы

i=1 ∂yi

не возрастает вдоль фазовой траектории y (t ).

В этом

случае t ≥ t0 v (y (t )) ≤ v (y (t0 ))= v (y0 )= C1 < C

y (t)

< ε . И

тогда ε > 0 δ(ε) > 0 : (y0 :

−0

< δ) sup

y (t)−0

< ε.

t≥t0

Что и доказывает устойчивость по Ляпунову нулевого решения системы (3.1).

Замечание 3.5. Функция v ( y ) , удовлетворяющая указанным в

условии теоремы свойствам, называется функцией Ляпунова. Общего способа ее построения нет.

Замечание 3.6. Если в п. 2 теоремы потребовать выполнения более сильного условия:

где w (y ) ≥ 0 и непрерывна в некоторой Uδ0 (0), причем

w (y) = 0 y = 0 , то нулевое решение будет асимптотически ус-

тойчивым.

Упражнение. Провести доказательство.

Пример 3.1. Исследуем на устойчивость нулевое решение системы:

		i		4;
		x = −xy		4;

		i	4
		y = yx .
Решение. Рассмотрим функцию				v (x, y ) = x4 + y4.	Она удовле-
творяет условию п. 1 теоремы, и, кроме того:
	dv (x, y)		= −4x4 y4 + 4y4x4 = 0		,
	dv (x, y)
	dt	в силу системы
	dt	в силу системы

что означает выполнение п. 2 (но не удовлетворяет условию замечания 3.6). Следовательно, нулевое решение этой системы устойчиво по Ляпунову.

Теорема 3.4 (Четаева). Пусть область D Rn

и функция

v ( y )

таковы, что:

O (0,..., 0) ∂D , т.е. начало координат лежит на границе D;

v ( y ) определена в

, непрерывно дифференцируема и

v (y ) > 0 в D, v (y) = 0 на ∂D ∩Uε

(0), ε0 > 0;

при любом t ≥ t0 выполняется неравенство

dv (y)

∂v

= ∑

fi (t, y ) ≥ w (y ) > 0 ,

в силу системы

i=1

∂y

где w (y ) непрерывная в D функция.

Тогда нулевое решение системы (3.5) неустойчиво. Доказательство. Зафиксируем ε0 > 0 , удовлетворяющее усло-

виям теоремы. Пусть задано любое δ > 0 , возьмем y0 D : y0 < δ. И, следовательно, v (y0 )= α > 0 . Пусть y (t ) – фазовая траектория

(3.5), проходящая при t = t0

через точку y0 , т.е. y (t0 ) = y0 . Тогда,

так как

dv (y (t))

= w (y (t)) > 0 ,

в силу системы

то v (y (t )) ≥ α > 0

для всех

t ≥ t0 , т.е.

траектория при всех t ≥ t0

лежит в

D и

не

пересекает линию

уровня

v (y ) = α . Поэтому

δ1 > 0 :

y (t)

> δ1

при всех t ≥ t0 , а тогда и

w (y (t )) ≥ β > 0 при

всех t ≥ t0 . Следовательно,

v (y (t)) ≥ v (y (t0 ))+β(t − t0 )→ +∞,

t → +∞.

Но это означает,

что решение y (t )

выйдет при некотором t на

границу шара

= ε0 . Отсюда следует, что

ε0 > 0 : δ > 0 (y0 : y0 < δ): y (t ) ≥ ε0

при некотором t > t0 . Поэтому нулевое решение неустойчиво, что и

требовалось доказать.

Пример 3.2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

xi = x5 + y3;

y = x3 + y5.

Решение. v (x, y ) = x4 − y4, D ={(x, y): x > y }. Тогда:

а)	O (0, 0) ∂D ;
б)	v (x, y) > 0	при	x	>	y	;

	v (x, y) = 0	при	x	=	y	, т.е. на ∂D ;

в)

= 4x3 (x5 + y3 )− 4y3 (x3 + y5 )= 4 (x8 − y8 )=

в силу системы

= w(x, y) > 0 при

. Следовательно, по теореме Четаева нуле-

вое решение данной системы неустойчиво.

3.5. Устойчивость по первому приближению

Определение 3.3. Пусть при t ≥ t0 система (3.1) представима в виде

′

(3.6)

y = A(t ) y + R (t, y),

где A(t ) =

{

(t ) n

– функциональная матрица с непрерывными

}i, j=1

на t

, +∞)

коэффициентами, а вектор-функция R (t, y)

удовлетво-

ряет условию:

(y :

≤ C

) sup

R (t, y)

≤ C

1+α ,

где C0, C1

t≥t0

и α – некоторые положительные постоянные. В этом

случае линейная система y′ = A(t ) y называется системой первого приближения для исходной системы (3.6).

Теорема 3.5. Пусть при (t ≥ t0) R (t, y) – непрерывно дифференцируемая функция для всех y ≤ C0 (где C0 > 0 – некоторое число), а A(t ) ≡ A , т.е. система первого приближения – система с постоянными коэффициентами. Тогда:

1) если λi : det (A − λiE )= 0 Re λi < 0 , то нулевое решение

системы (3.6) асимптотически устойчиво;

2) если λi : Re λi > 0 , то нулевое решение неустойчиво.

Примеры.

3.3. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

xi = 2x +8sin y;

y = 2 −e x −3y −cos y.

Решение.

			y		3
x = 2x +8		y −	y
x = 2x +8		y −	6
			6
				x2
				x2
y = 2	− 1	+ x +
y = 2	− 1	+ x +	2
			2


+ o (y3 ) ;

			y	2
+ o (x2 )	−3y − 1	−	y		+ o (y2 ) .
+ o (x2 )	−3y − 1	−			+ o (y2 ) .
		2

Таким образом:

i

x = 2x +8y +o	(

		(
i

y = −x −3y +o

3
x2 + y2 )2		;

	3
x2 + y2 )2		.

Система первого приближения:

i					2 −λ		8
x = 2x +8y	det (A −λE ) =				2 −λ		8	= λ2	+λ + 2 = 0;
	det (A −λE ) =					−1	−3 −λ	= λ2	+λ + 2 = 0;
i
i
y = −x −3y
	λ1,2 = −	1	±	7		i Re λi < 0.
	λ1,2 = −	2	±	2		i Re λi < 0.

Следовательно, по теореме об устойчивости по первому приближению получаем, что нулевое решение устойчиво.

3.4. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

xi = −4y − x3;

y = 3x − y3.

Решение. Система первого приближения:

i		−λ	−4
x = −4y	det (A −λE ) =	−λ	−4	= λ2	+12 = 0 Re λi	= 0	−
	det (A −λE ) =	3	−λ	= λ2	+12 = 0 Re λi	= 0	−
i		3	−λ
y = 3x

теорема об устойчивости по первому приближению не дает ответа. Подбираем функцию Ляпунова: v(x, y) = 3x2 + 4y2 , имеем

dv		= 6x (−4y − x3 )+8y (3x − y3 )= −(6x4 +8y4 )< 0 ,

dt
		в силу системы

причем w (x, y ) = 6x4 + 8y4 > 0 при x2 + y2 ≠ 0 . Следовательно, ну-

левое решение асимптотически устойчиво (по замечанию 3.6 к теореме Ляпунова).

§ 4. Фазовое пространство

4.1. Показательная функция линейного оператора

Пусть

En – n-мерное евклидово пространство со скалярным

произведением ( , )

и нормой

. Введем норму,

используя ска-

лярное произведение: x E n

(x, x) . Пусть далее опера-

→ E

– линейный в

тор A : E

Определение 4.1. Нормой оператора A называется число

= sup

Упражнение. Докажите, что:

≥ 0 , причем

= 0

(т.е. x E

A = θ

Ax = θ) ;

; λ R ;

λA

≤

;

+ B

≤

Свойства

(1 −3)

из упражнения означают, что множество ли-

нейных операторов в En само является линейным нормированным пространством: L (E n, E n ).

Определение 4.2. Пусть

∞

–

последовательность линей-

{Ak }k=1

ных операторов в E

. Тогда

опр.

→ 0 , k → ∞ .

A = lim

− A

k→∞

Упражнение. Докажите,

что

L (E n, E n )

–

полное нормирован-

ное пространство.

Определение 4.3. Рассмотрим ряд, составленный из операторов

∞ ˆ	(4.1)
∑Ak .

k =1

Этот ряд называется сходящимся к

, если к оператору

S сходит-

ся последовательность его частичных сумм

Sn =

∑Ak .

k =1

Признак Вейерштрасса. Пусть ряд (4.1) таков, что:

1) k Ck > 0 :

≤ Ck ;

∞

2) ∑Ck < +∞ .

k =1

Тогда ряд (4.1) сходится.

Зафиксируем в

какой-либо базис (необязательно ортонор-

мированный). Пусть

→ A – матрица оператора

в этом базисе.

Определение 4.4.

Экспонентой от оператора

A называется ряд:

def

∞

ˆ k

exp(A)

E + ∑

гдеE – единичный оператор.

k =1

Если

ˆ k

≤

, ряд экспоненты

– норма оператора A , то

∞

мажорируется сходящимся числовым рядом 1

+ ∑

и тогда

k =1

по признаку Вейерштрасса он сходится.

в каком-либо базисе, то в силу

Если A – матрица оператора A

изоморфизма имеем: e A ↔ e A в том же базисе (матрица e A определяется аналогично). Таким образом, достаточно научиться счи-

тать величину e A, где A – квадратная матрица (n × n).

Свойства матричной экспоненты.

1. Если AB = BA , т.е. матрицы A и B коммутируют, то e A+B = e AeB.

Доказательство. В силу выполнения признака Вейерштрасса ряды матриц ведут себя как абсолютно сходящиеся числовые ряды. Поэтому

∞

e A eB = ∑

∑

∑ ∑

!m!

k =0

m=0

k =0

m=0

∞

(A + B)

= ∑

∑

Ak Bn−k = ∑

= e A+B.

k !(n −k )!

n=0

k=0

n=0

2. Если B = S −1AS , то eB = S −1e AS .

Доказательство. Так как Bk

= S −1Ak S , то отсюда и следует ут-

верждение.

3. Если B = diag (A1,..., Am ), то eB = diag (e A1,..., e Am ).

Доказательство.

Доказательство

следует

из того,

что

(diag (A1,..., Am ))k =

= diag (A1k ,..., Amk ).

4. Рассмотрим J

= λ

+ I (1)

где

–

единичная матрица

размера (r × r ), а I

(1) – первый косой ряд единиц. Так как λ

I (1) коммутируют, то по свойству 1 получаем:

eJ p

= eλpEr eIr(1).

Легко увидеть, что eλ pEr = eλ p E

. Далее

		0		1	0	...	0	2	0		0	1 ...
										0	0	0 ...
			0	0	1	...	0
(Ir(1))	2								… … … ...
		= … … …				...	…		=	0	0	0 ...
			0	0	0	...	1
										0	0	0 ...
			0	0	0	...	0
										0	0	0 ...

второй косой ряд единиц. Таким образом:

(Ir(1))k = Ir(k ), 1 ≤ k ≤ r −1, (Ir(1))r = 0

где (r × r ) – размерность этой матрицы.

… = Ir(2) –

5. Пусть жорданова форма матрицы A связана с самой матрицей A через матрицу перехода S по закону:

J = S −1AS A = SJS −1. Тогда etA = S −1diag (etJ1(λ1),...,etJm (λm ))S ,

где etJ p(λ p ) = eλ pt E	r	etIr(1)	, и
	r

			1	t	t2	...
			1	t	2!	...
					2!

e	tI (1)		0	1	t ...
e	r	=

		… … … …
			0	0	0 ...
			0	0	0 ...
			0	0	0 ...

Пример 4.1. Вычислить etA, где

tr−2

(r −2)! tr−3

(r −3)!

…

2 A = 00

	t r−1

	(r −1)!
	tr−2
		.
(r −2)!		.
	…
	…
	t
1
1

21 .

Решение. Так как A – жорданова клетка, то

	1	t		t2

			2
			2
etA =e2t	0 1 t				.
	0	0	1
	0	0	1


Упражнения.
1. Докажите признак Вейерштрасса.
2. Докажите, что отображение		ˆ	→ A		является изоморфизмом
2. Докажите, что отображение		A	→ A		является изоморфизмом

пространства L (E n, E n ) на пространство матриц (n × n).

4.2. Однопараметрическая группа преобразований {etA}

Определение 4.5. Множество элементов G ={g} называется группой, если для любых элементов g1, g2 G определена групповая операция « », удовлетворяющая следующим условиям:

1)(g1 g2 ) g3 = g1 (g2 g3 ) – ассоциативность;

2)e G : e g = g e для g G; e – единица группы;

3) g G g−1 G : g −1 g = g g−1 = e ; g−1 –	обратный
элемент для g .
Примеры.
4.2. Группа матриц n×n относительно операции	умножения

(эта группа некоммутативная).

4.3. R – группа вещественных чисел относительно операции сложения (коммуникативная ≡ абелева группа).

4.4. SO (n) – группа ортогональных матриц (n ×n) с определителем равным 1 (специальная ортогональная группа).

4.5. {etA}t R , A – фиксированная матрица – абелева группа, так

как:

а) et1A et2A =e(t1+t2)A ;

б) ассоциативность очевидна; в) e0A = E – единица группы;

г) e−tA – обратный элемент этой группы.

Эту группу будем называть однопараметрической группой преоб-

разований пространства En. Имеем:


d		d		∞	t k Ak
	etA =		E + ∑			=
dt					k !
		dt		k =1

Теорема 4.1. Рассмотрим систему

∞ k k

A∑ t A = AetA.

k=0 k !

X (t) = AX (t ). Тогда решение

с начальным условием X (0)= X0 задается формулой

X (t )=etAX0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.68 Mб223Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013841.72 Кб76Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб146Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб193Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf