Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

§ 13. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений Вольтерра

и Фредгольма второго рода

Для заданного параметра μ C и функции			f C (G	) рассмот-
рим интегральные уравнения
		ˆ	(13.1)
		y (t ) = μ(ky)(t )+ f (t ) ,	(13.1)
		ˆ	(13.2)
		y (t )= μ(Ky)(t )+ f (t ) ,	(13.2)
		ˆ	(13.3)
		y (t ) = μ(Kαy)(t )+ f (t ),	(13.3)
ˆ	ˆ	ˆ
где операторы k ,	K	и Kα были введены ранее. Уравнение (13.1),

(13.2), (13.3) называются, соответственно, интегральными уравнениями Вольтерра, Фредгольма и уравнением Фредгольма с полярным ядром второго рода.

13.1. Теорема существования и единственности (ТСЕ) решения интегрального уравнения Вольтера

Теорема 13.1. f C [a,b], μ C уравнение (13.1) имеет и притом единственное решение y C [a, b].

Доказательство. 1. Применим метод последовательных приближений. Пусть:

M =

C[a,b] = sup

f (t)

, L =

C([a,b]×[a,b]) .

t [a,b]

Положим:

y0 (t )= f (t ) ,

y1 (t ) = f (t )+μ∫k (t, τ) y0 (τ)dτ,

. .

yn (t ) = f (t )+μ∫k (t, τ) yn−1 (τ)dτ.

Тогда по индукции, используя теорему о непрерывности интеграла по параметру, получаем: n yn C [a,b].

y1 (t )− y0 (t ) = μ ∫k (t, τ) f (τ)dτ ≤ LM μ (t − a);

y2 (t)− y1 (t) = μ ∫k (t, τ)(y1 (τ)− y0 (τ))dτ ≤

≤ ML2 μ 2 ∫(τ− a)d τ = ML2 μ 2 (t − a)2 ; 2!

и т.д. Для n-й разности получаем:

yn (t )− yn−1 (t ) = μ ∫k (t, τ)(yn−1 (τ)− yn−2 (τ))dτ ≤

		n	1	t				n (t − a)n
n				∫(τ− a)	n−1	n

≤ ML	μ					dτ = ML	μ	n! .
			(n −1)!

				a

∞

Теперь рассмотрим ряд: y (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk (t )− yk−1 (t )).

k =1

Это ряд из непрерывных функций, который, в силу полученных оценок, по теории Вейерштрасса сходится равномерно на [a, b] при

	μ C . Но тогда его сумма	y (t ) C [a, b]. Покажем, что y (t )
	удовлетворяет уравнению (13.1). Так как
	n	→
	yn (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk	→
	yn (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk	(t )− yk−1 (t )) → y (t ),
	k =1	[a, b]
	k =1

то, по теореме о переходе к пределу под знаком собственного интеграла, получаем:

y (t) = lim y			t	k (t, τ) y			=
y (t) = lim y	n	(t) = lim f (t)+μ	∫	k (t, τ) y	n−1	(τ)dτ	=
n→∞	n	n→∞	∫		n−1
			a

= f (t)+μ∫k (t, τ) y (τ)d τ,

т.е. найденная функция есть решение уравнения (13.1).

2. Докажем единственность этого решения. Если y1(t) и

y2(t) C [a,b] два решения (13.1), то z (t ) = y1 (t ) − y2 (t ) C [a,b] и

удовлетворяют уравнению:

		t
	z (t ) =μ∫k (t, τ)z (τ)dτ .
		a
	t	τ
Но тогда n z (t) = μ∫k (t, τ1)d τ1 ∫1 k (τ1, τ2)z (τ2)d τ1= ... =
	a	a
t	τ	τ	n∫−1 k (τn−1, τn)z (τn)dτn.
= μn ∫k (t, τ1)dτ1 ∫1 k (τ1, τ2)dτ2...			n∫−1 k (τn−1, τn)z (τn)dτn.
a	a		a

Отсюда получаем оценку для модуля функции:

z (t)

≤

n Ln

C[a,b] ∫dτ1∫1 dτ2... n∫−1 dτn =

(t − a)n

≤

n (b

− a)n

C .

Следовательно, справедливо неравенство:

n :

= sup

z (t )

≤

n Ln (b − a)n

t [a,b]

C n!

C = 0 , так как

(

L (b − a))n

Это возможно лишь при

→ 0 при

n →+∞. Следовательно,

z (t ) ≡ 0

на [a, b]. Теорема доказана.

13.2. ТСЕ решения интегрального уравнения Фредгольма

Теорема 13.2. Пусть L = K C(G×G) , μ(G)< +∞ – мера области

G. Тогда				1
	μ:	μ	<		уравнение (13.2) имеет и притом

				Lμ(G)

единственное решение.

Доказательство. Доказательство проводим методом последовательных приближений. Полагаем: y0 (t ) = f (t ) ,

y1 (t ) = f (t )+μ∫ K (t, τ) y0 (τ)dτ ,

. .

. ,

yn (t ) = f (t )+μ∫ K (t, τ) yn−1 (τ)dτ.

Имеем n yn C (G

) и, положив M =

C , получаем:

y1 (t )− y0 (t )

≤

MLμ(G);

(t )− y

(t )

≤ M (

Lμ(G))2

. .

. ,

Lμ(G))n

(t )− y

n−1

(t )

≤ M (

n =1, 2,... .

Тогда в силу условий теоремы, используя теорему Вейерштрасса, получаем, что ряд

∞

y (t ) = y0 (t )+ ∑ (yn (t )− yn−1 (t ))

n=1

сходится на G равномерно. Следовательно, y (t ) C (G) и

y (t ) = lim yn (t ). Используя теорему о переходе к пределу под зна-

n→∞

ком интеграла, получаем, что y (t ) есть решение уравнения (13.2).

Наконец, если y1 (t ) и y2 (t ) – два решения, то z (t ) = y1 (t)− y2 (t ) удовлетворяет уравнению

z (t ) =μ∫ K (t, τ)z (τ)dτ,

откуда zC ≤ μ Lμ(G) zC . В силу того, что μ Lμ(G)<1 получаем: zC = 0 т.е. решение уравнения (13.2) единственно.

13.3. ТСЕ решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с полярным ядром

Рассмотрим

теперь

уравнение

(13.3)

полярным ядром

Kα (t, τ) :

(t, τ) =

K (t, τ)

, K (t, τ) C (G

×G),

0 < α < n .

t − τ

Обозначим: sup

K (t, τ)

= L ,

diam G = d,

– площадь единич-

t,τ G

ной сферы в Rn.

Тогда

α (t, τ)

d τ

sup

d τ ≤ L sup

≤

∫

t,τ G

t G

t − τ

d τ

n−α

∫

∫ρ

−α−1

≤ sut Gp

= L

ρ = L

− τ

n −α

τ−t

≤d

Теорема 13.3.

Пусть

d = diam G < +∞ .

Положим

n−α

−1

(μ:

< r0 ) существует

r0 = L

. Тогда f C (G

n −α

и единственное решение уравнения (13.3)

y C (G

Доказательство. Вновь проводим доказательство методом последовательных приближений, положив:

y0 (t ) = f (t ) ,

yn (t ) = f (t )+μ∫ Kα (t, τ) yn−1 (τ)dτ .

C (θ)→ C (G ). Далее имеем:

Тогда n yn C (G), так как Kα :

y0 (t )

≤ M =

C(G) ;

dτ ≤ M (

r0−1 );

y1 (t )− y0 (t )

≤ M

∫

Kα (t, τ)

. . . ;

≤ M (

r0−1 )n , n =1, 2, 3... .

yn (t )− yn−1 (t )

Так как

r−1 <1 , то по теореме Вейерштрасса ряд

∞

(t )− yk−1 (t ))

y (t ) = y0 (t )+ ∑ (yk

k =1

сходится равномерно на G

. Но тогда y = lim y

(t ) C (G).

n→∞

yn (t ) = μ∫ Kα (t, τ) y (τ)dτ+μ∫ Kα (t, τ)(yn−1 (τ)− y (τ))dτ

и так как при n →+∞:

μ ∫ Kα (t, τ)(yn−1 (τ)− y (τ))dτ ≤ μ yn−1 − yC r0−1 → 0 ,

то при n →+∞ получаем, что y (t ) – решение уравнения (13.3). Единственность доказывается так же, как в теореме 13.2.

13.4. Принцип сжимающих отображений

Выкладки разд. 13.1–13.3 носят общий характер. Пусть X – нор-

ˆ
мированное пространство, а A : X → X некоторый (не обязательно
линейный) оператор.	ˆ
Определение 13.1. Оператор	ˆ		X → X называется сжатием
Определение 13.1. Оператор	A :		X → X называется сжатием
(сжимающим оператором), если		ˆ	ˆ
0 ≤ α <1: x, y X				≤ α	x − y	.

		Ax − Ay

<1.

Упражнение. Если A :X

→ X линейный, то A сжатие

Теорема 13.4 (принцип сжимающих отображений). Если X –

: X → X – сжатие, то урав-

банахово пространство, и оператор A

нение

имеет в X единственное решение,

которое может

x = Ax

быть найдено методом последовательных приближений:

x0 X – произвольно.

xn = Axn−1 ,

Доказательство. Пусть x0 X – произвольно. Положим xn =

ˆ n

. Тогда

= Axn−1

= A

n ≥ m

xn − xm

ˆ n

ˆ m

≤ α

ˆ n−1

ˆ m−1

≤

x0 − A

≤... ≤ α

ˆ n−m

x0 − x0

= α

xn−m

− xn−m−1 + xn−m−1

−... + x1 − x0

≤

≤αm ( xn−m − xn−m−1 +... + x1 − x0 )≤

≤αm (αn−m−1 x1 − x0 +αn−m−2 x1 − x0 +... + x1 − x0 )≤

αm

≤ α

− x

1+α +α

+...

− x

→ 0.

(

)

1−α

n→∞

Следовательно,

}∞

– фундаментальная

X последователь-

n=1

ность. Так как X – полное, то x = lim xn X .

Далее, так как

A –

n→∞

сжатие:

≤ α

xn − x

→ 0

, т.е. и

Тогда

Axn

− Ax

Axn → Ax в X.

x = lim

= lim

n→∞

–

решение

уравнения

n−1

Ax , т.е. x

x = Ax .

n→∞

Единственность очевидна, так как если x1

x2 – решения этого

уравнения, то

, т.е.

= 0 .

x1 − x2

Ax1 − Ax2

≤ α

x1 − x2

Упражнение. Взяв

X = C (G), а

, доказать тео-

= K (или

Kα)

ремы 13.2 и 13.3.

§14. Спектр и резольвента линейного оператора

внормированной пространстве

14.1. Общие определения


Определение 14.1. Пусть X – нормированное пространство,			ˆ	–
Определение 14.1. Пусть X – нормированное пространство,			A	–
ˆ	ˆ	с об-
оператор в X с областью определения D( A ). Оператор	B	с об-

				ˆ
ластью определения D( B ), действующий в X, называется обрат-
	ˆ			ˆ	ˆ −1	), если
ным к A (обозначается B					= A	), если
				ˆ ˆ		ˆ
				ABx = x,		x D (B),
				ˆ ˆ		ˆ
				BAx = x,		x D (A).

Упражнение. Доказать свойства:
1)	ˆ −1	)	−1	ˆ
1)	(A	)		= A ;
2)	ˆ −1			ˆ
2)	A	линейный A – линейный.

Определение 14.2.

1. Множество всех точек μ C , для которых существует и ог-

ˆ	ˆ	−1	, называется резольвентным множе-
раничен оператор (I	−μA)		, называется резольвентным множе-

ˆ
ством оператора A , а его точки – регулярными точками оператора
ˆ
A .
2. Все остальные точки μ C называются точками характери-
стического спектра.		−1
ˆ	ˆ	−1	ˆ	называется резольвентой опе-
3. Оператор (I	−μA)		= Rμ (A)	называется резольвентой опе-
ˆ
ратора A .				ˆ	ˆ
Пример 14.1. Если X = C [a,b],				ˆ	ˆ
Пример 14.1. Если X = C [a,b],				A = k – интегральный оператор

Вольтерра, то вся плоскость С состоит из регулярных точек, т.е. совпадает с резольвентным множеством.

Теорема 14.1. Пусть

→ X – линейный ограниченный опе-

A : X

ратор. Тогда (μ C :

−1

)

Rμ (A)

представ-

∞

k ˆ k

∑

ляется рядом Неймана Rμ

(A)= I +

K =1

ˆ k

Доказательство. Рассмотрим операторRn

= I + ∑

ˆ n+1

K =1

ˆ n+1

−μ

n+1

−μ

n+1

Тогда Rn (I −μA)= I

−μA)Rn

= I

A .

n+1 ˆ n+1

Отсюда

≤

(Rn

(I −μA)− I )

−μA)Rn

− I

n+1

≤

→ 0

так как

<1 .

n→∞

Следовательно: ˆμ ( ˆ )=

	ˆ	ˆ	∞	k ˆ k
lim	ˆ	ˆ	+ ∑μ	k ˆ k	.
lim	Rn	= I	+ ∑μ	A	.
n→∞			K =1
			K =1

14.2. Интегральные операторы

Вновь рассмотрим операторы

в пространстве не-

k ,

Kα

прерывных функций.

1. Операторk .

Обозначим

k (t, τ) = k1 (t, τ) ,

положим

L =

sup

k (t, τ)

. Тогда

t,τ [a,b]

y С[a, b] будет выполняться:

(

ˆ2

)

∫ 1

∫

(t ) = k (t, s) k (s, τ) y (τ)dτ ds =

= ∫ y (τ)dτ∫k1 (t, s)k1 (s, τ)d = ∫k2 (t, τ) y (τ)dτ,

где k2 (t, τ) = ∫k1 (t, s)k1 (s, τ)ds – свертка ядра k1 (t, τ) с собой.

При этом		k2 (t, τ)				≤ L2 (t − τ).

Далее:
							t
ˆ3			ˆ		ˆ2
	y)(t )						y)(t ) = ∫k1	(
(k			= (k	k

= ∫k3 (t,

s	k			=
t, s)	k	2	(s, τ) y (τ)d τ	=
∫		2
a

τ) y (τ)d τ,

где k3 (t, τ) = ∫k1 (t, s)k2 (s, t )ds – свертка ядра k1 (t, τ) с ядром

k2 (t, τ). При этом аналогично предыдущему

(t − τ)2

k3 (t, τ)

≤ L3∫

(s − τ)ds = L3

Повторяя этот процесс, получаем,

ˆn

отвечает ядро

что оператору k

kn (t, τ), где

kn (t, τ) = ∫k1 (t, s)kn−1 (s, τ)ds ,

kn (t, τ)

(t −τ)n−1

(t, τ [a, b] (−∞, +∞) : (τ < t )) .

≤ L

(n −1)!

Но тогда

∞

n−1

∑

(τ)dτ =

(Rμy)(t ) = y (t )+μ

∫a

kn (t, τ) y

n=1

= y (t )+μ∫Γμ (t, τ) y (τ)dτ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.68 Mб223Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013841.72 Кб76Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб146Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб193Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf