Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

Доказательство.

1. Если

ˆ

самосопряжен в E, то x E

A

ˆ

ˆ

(

ˆ

ˆ

(Ax, x)= (x, Ax)=

(Ax, x)

Ax, x) R .

ˆ

2. Обратно, если z E (Az, z) R , то

ˆ

ˆ

1

ˆ

ˆ

ˆ

Re (Ay, x)−(Ax, y) = Re i (A(x + iy), x + iy)

−(Ax, x)−(Ax, y) = 0

;

ˆ

ˆ

т.е. Re (Ay, x)= Re (Ax, y).

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Im (Ay, x)+ (Ax, y)

= Im (A

(x + y), x + y)−(Ax, x)−(Ay, y) = 0 ,

ˆ

(

ˆ

т.е. Im (Ay, x)= −Im

Ax, y).

Отсюда

x, y E

ˆ

ˆ

ˆ

(Ay, x)= Re (Ay,

x)+i Im (Ay, x)=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

*

= Re (Ax, y)−i Im (Ax, y)= (y, Ax), т.е. A = A .

ˆ

Доказательство. 1. Следует из теоремы 16.4, так как A в этом

ˆ

ˆ

случае K (Kα )− самосопряженный оператор.

2. Так как K (t, t ) =

K (t, t )

, то K (t,t ) R для t G

.

K (t0,t0 )< 0 . Тогда в силу непрерывно-

Допустим, что t0 G

:

сти K (t, τ)

можно считать, что t0 G , т.е. t0 – внутренняя точка, и

что

Uδ (t0 )={t :

t −t0

< δ}: (t, τ) Uδ (t0 ) Re K (t, τ)< 0 .

Тогда берем f C (G

): f

(t ) > 0 в Uδ (t0 ) и f (t ) ≡ 0 вне Uδ (t0 ).

Тогда

ˆ

(τ)dt dτ = Re ∫ ∫ K (t, τ) f (t ) f (τ)dt d τ =

(Kf , f )= ∫ ∫ K (t, τ) f (t ) f

G G

G G

Следовательно, K (t,t )≥ 0

.

для всех t G

16.5. Билинейное разложение эрмитово симметричного ядра

Лемма 16.1 (Дини). Пусть G

n − ограниченная область, а

{f

n

}∞

таковы, что:

n=1

1) n fn C(G

) ;

{f

(x)}∞

монотонны по n ;

2) x G

n

n=1

).

3) x G

lim fn(x) = f (x) C(G

n→∞

Тогда fn(x)

сходится равномерно к

f (x) на G

.

Доказательство. Пусть

G1 ={x G

: {fn(x)}n∞=1 ↑, те. . fn(x) ≤ fn+1(x), n =1, 2,...}.

Тогда в силу непрерывности fn(x) на G

G1 = G1 – замкну-

1). Положим αn = sup ϕn(x), очевидно также, что αn ↓ 0 .

ϕn C(G

x G1

lim αn = 0 .

Требуется

доказать,

что

Допустим, что

lim αn = α > 0 . Тогда, так как

n→∞

n→∞

1 : αn

= sup ϕn(x) = ϕn(xn) ↓;

а) n xn G

x G1

1 ограничена и замкнута, то

б) G

{x

}∞

{x }∞

: x

→ x

,

ϕ

(x

) = α

α > 0 .

0

G

nk k =1

n n=1

nk

1

nk

nk

nk

С другой стороны, так как xn

k

→ x0 при k → ∞ , то из следующей

ϕn (xn ) , ϕn

(xn

) ... ϕn

(xn

) ... →

ϕn (x0) ≥ α;

1

1

1

2

1

k

1

(x0) ≥ α ;

ϕn

(xn ) , ϕn

2

(xn

) ... ϕn

2

(xn

) ... →

ϕn

2

2

1

2

k

…;

ϕn

(xn ) , ϕn

(xn

) ... ϕn

k

(xn

) ... →

ϕn

k

(x0) ≥ α ,

k

1

k

2

k

↓

0

т.е. по строкам ϕn

(xn

) → ϕn

(x0) ≥ α > 0

для любого nk ,

а с дру-

k

j

k

гой стороны,

ϕn

(x0) → 0 .

Полученное противоречие показывает,

k

fn(x)

сходится равномерно к

f (x) на

что lim supϕn

(x) = 0 , т.е.

n→∞ x G1

1 . Аналогично доказывается, что

fn(x)

G

сходится равномерно к

f (x) на

.

G \ G1

Теорема 16.6.

Эрмитово

симметричное,

непрерывное ядро

K (t, τ) разлагается

в билинейный ряд

по

своим собственным

функциям:

∞

ϕk (t)ϕk (τ)

K (t, τ) = ∑

,

(16.2)

k=1

μ

k

сходящийся в CL2(G)

, что означает

равномерно по τ в G

∞

ϕk ( )ϕk (τ)

limsup

K ( , τ)− ∑

= 0.

(16.3)

n→∞

τ G

k =1

μ

k

L2(G)

Доказательство. τ G

ϕk (τ)

(K( , τ), ϕk )L2(G) = ∫K(t, τ)

dt =

=

−

∫K(τ, t)ϕk (t)dt

ϕk (t)

G

G

μk

n

2

n

K ( , τ)− ∑

ϕk

( )ϕk (τ)

= ∫

K (t, τ)

2dt −∑λk2

ϕk (τ)

2 , λk

=

1

.

μk

k=1

L2(G) G

k=1

(x)}∞

μk

Дополняя ортонормированную систему функций {ϕ

k

до ор-

k =1

тонормированного базиса в CL2(G) элементами из ядра оператора

ˆ

2

∞

2

2

K , получим, что τ G

∫

K (t, τ)

dt = ∑λk

ϕk (τ)

,

где при

G

k=1

всех добавленных элементах собственные числа λ = 0.

n

Это означает, τ G

∫

K (t, τ)

2dt −

∑

λ2

ϕ

(τ)

2

→ 0 , и

k

k

n→∞

G

k=1

тогда выполняется следующее:

n

ϕk (τ)

2

∑

= fn(τ) ↑ по n ;

1) τ G

2

k=1

μ

k

2) fn(τ) C(G

) для n ;

lim f

(τ) =

∫

K (t, τ)

2dt C(G

).

3) τ G

n

n→∞

G

n

ϕk (τ)

2

Используя лемму Дини, получаем, что сумма ∑

сходится

2

k=1

μ

k

∞

ϕk ( )ϕk (τ)

limsup

K ( , τ)− ∑

= 0.

n→∞ τ G

k =1

μ

k

L2(G)

∞

ϕk (t)ϕk (τ)

Доказательство. По теореме 16.6 имеем K (t, τ) = ∑

k=1

μ

k

и этот ряд сходится в CL2(G) равномерно по τ в G

.

Теперь у нас

0<μ1

≤ μ2 ≤ ... ≤ ... . Далее, имеем:

τ G

0 ≤ K (τ, τ) ≤ M

) .

Тогда все

ядра

вида

= const, K(τ, τ) C(G

∞

(t)ϕk (τ)

Kn (t, τ) = K (t, τ)

− ∑

ϕk

также

непрерывны,

эрмитово

k=1

μ

k

n

ϕk

(τ)

2

n

ϕk

(τ)

2

Kn

(τ, τ) = K (τ, τ)− ∑