Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010
.pdfнадлежит W l (G) . Пусть |
существует |
{ϕ |
}∞ |
C∞ (G),ϕ |
m |
→1 в |
||
p |
|
|
|
|
m m=1 |
0 |
|
|
Wpl (G) . Тогда, в частности, |
∂ϕm (x) → 0 |
в Lp (G) . Отсюда |
|
|
||||
|
|
∂x1 |
|
|
|
|
|
|
∫ ∂x1 ϕm (x)dx = −∫ x1 |
∂ϕm (x) dx → 0 . |
|
|
|||||
G ∂x1 |
|
G |
∂x1 |
m→∞ |
|
|
||
С другой стороны, ∫ |
∂x1 ϕm (x)dx = ∫ |
ϕm (x)dx → |
∫1dx = μ(G) . Таким |
|||||
G |
∂x1 |
G |
|
|
m→∞G |
|
|
|
образом, приходим к противоречию, т.е. |
1 ≡ f (x) Wpl (G) . Следо- |
|||||||
вательно, Wpl (G) – собственное подпространство в Wpl (G) . |
|
|
§ 20. Гильбертовы пространства W2l (G) ≡ H l (G), l Z
20.1. Теорема Рисса о представлении линейного функционала
Теорема 20.1. Пусть f – линейный, ограниченный функционал
в гильбертовом пространстве H (с вещественными или комплексными значениями). Тогда существует единственный элемент
y f H , |
такой, что для любого |
x H выполняется |
f (x) = (x, y f ) . |
При этом || y f ||=|| f || . |
|
|
|
Доказательство. Пусть X ={x H | f (x) = 0} . Если X = H , то |
|||
f (x) ≡ 0 |
и, следовательно, |
y f = 0 . Если же |
X H , то |
y0 H : y0 X , т.е. x X : (x, y0 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определим y |
|
= |
|
|
y0 |
|
. Тогда: |
|
|
|
|
|
|||||||
f |
f ( y ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|| y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) для любого x X : (x, y |
|
|
|
f ( y |
0 |
) |
|
|
|
||||||||||
f |
) = |
|
|
|
|
(x, y |
0 |
) = 0 |
= f (x); |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|| y0 |
|| |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) для любого x = αy0 |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
20.6. Пусть |
G = (a,b), H |
+ |
= H1 (a,b) ≡W1 (a,b). Пока- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
жем, что справедливо вложение H1 (a,b) |
|
|
C[a,b]. Действительно, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
для любой ϕ C∞ |
(a,b) будет выполнено: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
1) ξ (a,b) : ∫ϕ(x)dx = ϕ(ξ)(b − a) ϕ(ξ) = |
|
|
∫ϕ(x)dx; |
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− a a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
2) ϕ(x) = ϕ(ξ) + ∫ϕ'(t)dt = |
|
|
|
∫ϕ(x)dx +∫ϕ'(t)dt. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
b − a a |
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
||||
Отсюда, используя неравенство Коши−Буняковского, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ϕ(x) |≤ |
|
|
|
|
∫| ϕ(t) | dt +∫| ϕ'(t) | dt ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
ϕ|| 2 + b − a || ϕ'|| 2 ≤ |
||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
− a a |
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
L |
L |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ C (|| ϕ||22 |
|
+ ||| ϕ' ||22 ) |
|
|
|
= C || ϕ|| |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Таким образом, для любой ϕ C∞ (a,b) |
выполнено |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| ϕ||C[a,b] = sup | ϕ(x) |≤ C || ϕ||W1(a,b) |
(20.2) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
Далее, |
если |
|
{ϕ |
m |
}∞ |
|
C∞ (a,b) |
|
и фундаментальна в W1 (a,b) , то |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
существует |
f W |
1(a,b) , такая, что ϕ |
|
|
|
→ f |
|
в W1 |
(a,b) . Но тогда и |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m m→∞ |
|
|
2 |
|
||||||||
подавно {ϕ |
}∞ |
|
|
|
фундаментальна |
|
|
|
|
в |
|
|
C[a,b] , |
следовательно, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f C[a,b] . Получим, что W1(a,b) |
|
|
|
|
C[a,b] . Пусть ξ (a,b) . Оп- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределим на W1(a,b) |
|
функционал δ |
ξ |
f (x) = f (ξ) . Это очевидно ли- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нейный функционал. Из соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|| δξ ||− = |
sup |
| f (ξ) |≤ |
|
|
sup |
| |
f (ξ) |≤ C , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| f ||W1 ≤1 |
|
|
|
|| f ||C[a,b] ≤1 |
|
|
|
|
|||||||||||
где C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– константа в неравенстве (20.2), следует ограниченность |
|||||||||||||||||||||||||||||||
этого функционала на W1 |
(a,b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
δ |
ξ |
W |
−1 |
(a,b) = H −1 (a,b). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|