Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

19.3. Пополнение C0∞ (G) по норме Wpl (G) .

Пространство Wpl (G)

Определение 19.3. Обозначим символом Wpl (G) множество всех функций f Wpl (G) , каждая из которых является пределом по мет-

рике

W l (G) некоторой последовательности {ϕ

}∞

C∞ (G) ,

m=1

W l (G) = f W l (G) | {ϕ

}∞

C∞ (G) :||

f −ϕ

→ 0,m → ∞ .

{

m=1

}

Wp (G)

Это множество называется пополнением C∞ (G)

по норме

W l

(G)

(или замыканием C∞

(G)

в метрике W l (G) ).

Теорема 19.3. Wpl (G) –

линейное

пространство

Wpl (G) .

Wpl (G) – полное, нормированное пространство с нормой (19.2).

Доказательство.

Для любых функций

f , g Wpl (G)

существуют последова-

тельности { f

}∞

,{g

}∞

C∞ (G) , такие, что

m=1

f − fm

→ 0,|| g − gm || l

→ 0, m → ∞ .

(G)

Wp (G)

Но тогда {αf

+βg

}∞

C∞

(G) и

m=1

|| (αf +βg) −(αfm +βgm ) ||

≤| α||| f − fm

|| l

(G)

+| β||| g − gm || l

→0,

Wp (G)

(G)

т.е. αf +βg Wpl (G) . Следовательно, Wpl (G)

– линейное простран-

ство в Wpl (G) .

131

2. Пусть теперь { f	m	}∞	– фундаментальная в W l		(G) последова-
	m	m=1		p
тельность функций		fm Wpl (G) .		Тогда существует предел

lim fm = f Wpl (G) . Покажем, что
m→∞
Имеем
m {ϕ	}∞	:\|\| ϕ	ml
	ml l =1		ml

fWpl (G) .

−fm ||Wpl (G) l→→∞ 0 .

Пусть ε > 0 . Тогда m km :|| ϕmk

− fm || l

. Рассмотрим после-

довательность {ϕmkm }∞m=1

. Для нее получаем

|| f −ϕmk

l <|| f − fm

+||

fm −ϕmk

l .

Выбираем для фиксированного ранее ε номер N (ε)

так, чтобы при

m > N(ε) выполнялось || f − fm ||

. Тогда при m > N(ε) будет

|| f −ϕmk

l <

< ε.

Таким образом, ϕ

mkm

→ f ,

m → ∞

по

метрике

W l (G), т.е.

f Wpl (G) .

Замечание. Пространство C0∞ (G) всюду плотно в Lp (G) . Это означает, что замыкание C0∞ (G) в метрике Lp (G) совпадает с

Lp (G) . Можно показать, что если G = Rn , то Wpl (G) =Wpl (G) . Если же G ≠ Rn , например G – ограниченная область в Rn , то это не

так: в этом случае Wpl (G) – собственное подпространство Wpl (G) . Покажем, например, что f (x) ≡1 в G , очевидно принадлежащая Wpl (G) для любой ограниченной области G , тем не менее не при-

132

надлежит W l (G) . Пусть		существует		{ϕ	}∞	C∞ (G),ϕ	m	→1 в
p					m m=1	0	m
Wpl (G) . Тогда, в частности,		∂ϕm (x) → 0		в Lp (G) . Отсюда
		∂x1
∫ ∂x1 ϕm (x)dx = −∫ x1			∂ϕm (x) dx → 0 .
G ∂x1		G	∂x1		m→∞
С другой стороны, ∫	∂x1 ϕm (x)dx = ∫		ϕm (x)dx →			∫1dx = μ(G) . Таким
G	∂x1	G			m→∞G
образом, приходим к противоречию, т.е.					1 ≡ f (x) Wpl (G) . Следо-
вательно, Wpl (G) – собственное подпространство в Wpl (G) .

§ 20. Гильбертовы пространства W2l (G) ≡ H l (G), l Z

20.1. Теорема Рисса о представлении линейного функционала

Теорема 20.1. Пусть f – линейный, ограниченный функционал

в гильбертовом пространстве H (с вещественными или комплексными значениями). Тогда существует единственный элемент

y f H ,	такой, что для любого	x H выполняется	f (x) = (x, y f ) .
При этом \|\| y f \|\|=\|\| f \|\| .
Доказательство. Пусть X ={x H \| f (x) = 0} . Если X = H , то
f (x) ≡ 0	и, следовательно,	y f = 0 . Если же	X H , то

y0 H : y0 X , т.е. x X : (x, y0 ) = 0 .

Определим y

. Тогда:

f ( y )

||2

|| y

1) для любого x X : (x, y

f ( y

)

) =

(x, y

) = 0

= f (x);

|| y0

2) для любого x = αy0

получим

133

(x, y

)

f ( y0 )

α( y , y

)

= f (αy

)

= f (x);

|| y

||2

f (x)

3) для любого x H

имеем x =

x −

, а так

f ( y

)

f ( y

)

как

f (x)

f x −

= 0,

f ( y

)

т.е.

f (x)

x −

y f X ,

и f ( y f ) = ( y f , y f ) =|| y f ||2 ,

f ( yf )

f (x)

то (x, y

) =

, y

= f (x).

( y

)

x H

Таким

образом,

для

любого

будет

выполнено

(x, y f ) = f (x).

Осталось проверить, что ||

f ||=|| y f

|| .

def

f (x) |= sup | (x, y f

) |≤|| y f

|| sup || x ||=|| y f

Имеем

= sup |

||, а

||x||≤1

y f

||x||≤1

def

кроме того,

= sup | f (x) |≥

, y

=|| y

|| .

||x||≤1

Определение 20.1. Множество линейных функционалов, определенных на гильбертовом пространстве H , называется сопряженным пространством к H и обозначается H ' .

Замечание 20.1. Легко проверить, что H ' является линейным пространством относительно обычных операций сложения функционалов и умножения их на числа. Пространство H ' является гильбертовым пространством относительно скалярного произведе-

def

ния, определяемого по формуле ( f , g) = ( y f , yg ) . При доказатель-

стве предыдущей теоремы было построено взаимно однозначное соответствие f ↔ y f между H = H ' . При этом соответствии со-

храняются линейные операции.

134

Замечание 20.2. Если H = L2 (G) , то для любого линейного, ограниченного функционала F , действующего в пространстве L2 (G) , существует единственная функция f L2 (G) , такая, что для

любой g L2 (G) выполнено F(g) = ∫g(x) f (x)dx, при этом

|| F ||= ∫| f (x) |2 dx .

20.2. Оснащенное гильбертово пространство.

Основные и обобщенные функции

Определение 20.2. Банахово пространство (B1,|| ||1 )

называется

вложенным в банахово пространство (B2 ,|| ||2 ) , если:

1) B1 B2 ( B1 есть подмножество в B2 );

2) для любого x B1

выполнено || x ||2 ≤ C || x ||1 , где C не зависит

от x.

Для записи этого вложения используется обозначение B1

B2 .

Определение 20.3. Вложение B1

B2 называется плотным,

если

замыкание множества B1 в метрике B2 совпадает c B2 .

Примеры.

20.1. Справедливы

соотношения

C1 (

)

L (G) ,

где

последнее вложение справедливо, если G – ограниченная область.

20.2. Wpl (G)

Lp (G) .

20.3. Так как C∞

(G)

плотно в L

(G) , то любое пространство B ,

содержащее C∞ (G)

и вложенное в L

(G) , вложено в него плотно.

20.4. Вложение Wpl (G) Wpl (G) – не плотное, а вложение

Wpl (G) Lp (G) и Wpl (G) Lp (G) – плотное.

135

Упражнение. Доказать, что для любых 1 ≤ p < q < ∞ выполнено

Lq (G) Lp (G) .

Определение 20.4. Пусть банахово пространство B+ плотно вложено в гильбертово пространство H0 . Для любой f H0 обозначим

\|\| f \|\|− =	sup \| (x, f ) \| .	(20.1)
	x B+,\|\|x\|\|+≤1
Тогда (B+ ,\|\| \|\|+ ) называется позитивным пространством (или про-
странством основных	функций), пополнение H0	по норме

|| ||− обозначается (B− ,|| ||− ) и называется негативным пространст-

вом (или пространством обобщенных функций), а тройку вложенных пространств B+ H0 B− называют оснащенным пространством.

Замечание 20.3. То, что (20.1) определяет норму на H0 очевидно. Из неравенства Коши–Буняковского–Шварца получаем, что для

любой	f H 0	следуют неравенства
\|\|	f \|\|− ≤	sup \|\| x \|\|0 \|\|		f \|\|0 ≤		sup	C \|\| x \|\|+\|\| f \|\|0 ≤ C \|\| f \|\|0 ,
	x B+,\|\|x\|\|+ ≤1					x B+,\|\|x\|\|+ ≤1
откуда получаем, что H0					B− , причем это вложение – плотное (по
откуда получаем, что H0					B− , причем это вложение – плотное (по
определению пополнения).
Пример 20.5. Пусть H			0	= L (G), B = H l (G) ≡W l (G),l =1,2,....
			0	2		+	2
Тогда пространство B−				обозначается символом H −l (G) и назы-

вается пространством Соболева с отрицательным показателем диф-

ференцирования. Тройка	пространств H l (G)	L (G)	H −l (G)

	2
образует оснащенное гильбертово пространство.
Норма H −l (G),l =1,2,...,	задается соотношением

\|\| f \|\|	−l	(G)	=	sup				\| (x, f )L (G) \| .
H		(G)	\|\|x\|\|	H	l	(G)	≤1	2
			\|\|x\|\|		l		≤1

Таким образом, определили пространства H l (G) при l Z .

136

Пример

20.6. Пусть

G = (a,b), H

= H1 (a,b) ≡W1 (a,b). Пока-

жем, что справедливо вложение H1 (a,b)

C[a,b]. Действительно,

для любой ϕ C∞

(a,b) будет выполнено:

1) ξ (a,b) : ∫ϕ(x)dx = ϕ(ξ)(b − a) ϕ(ξ) =

∫ϕ(x)dx;

− a a

2) ϕ(x) = ϕ(ξ) + ∫ϕ'(t)dt =

∫ϕ(x)dx +∫ϕ'(t)dt.

b − a a

Отсюда, используя неравенство Коши−Буняковского, получим

| ϕ(x) |≤

∫| ϕ(t) | dt +∫| ϕ'(t) | dt ≤

ϕ|| 2 + b − a || ϕ'|| 2 ≤

− a a

b − a

≤ C (|| ϕ||22

+ ||| ϕ' ||22 )

= C || ϕ||

1 .

Таким образом, для любой ϕ C∞ (a,b)

выполнено

|| ϕ||C[a,b] = sup | ϕ(x) |≤ C || ϕ||W1(a,b)

(20.2)

x [a,b]

Далее,

если

{ϕ

}∞

C∞ (a,b)

и фундаментальна в W1 (a,b) , то

m=1

существует

f W

1(a,b) , такая, что ϕ

→ f

в W1

(a,b) . Но тогда и

m m→∞

подавно {ϕ

}∞

фундаментальна

C[a,b] ,

следовательно,

m m=1

f C[a,b] . Получим, что W1(a,b)

C[a,b] . Пусть ξ (a,b) . Оп-

ределим на W1(a,b)

функционал δ

f (x) = f (ξ) . Это очевидно ли-

нейный функционал. Из соотношения

|| δξ ||− =

sup

| f (ξ) |≤

sup

f (ξ) |≤ C ,

|| f ||W1 ≤1

|| f ||C[a,b] ≤1

где C

– константа в неравенстве (20.2), следует ограниченность

этого функционала на W1

(a,b) .

Таким образом,

−1

(a,b) = H −1 (a,b).

137

Определение 20.5. Функционал δξ W2−1 (a,b) , определенный равенством δξ f (x) = f (ξ),ξ (a,b) (определенный на функциях

f W21(G) ), называется дельта-функцией, сосредоточенной в точке ξ (a,b) . Часто δξ обозначается δ(ξ − x) и применяется запись:

δξ f (x) = ∫δ(ξ − x) f (x)dx = f (ξ).

Замечание 20.4. В общем случае, если G Rn – ограниченная область, то вложение W2l (G) C(G) справедливо при l > n2 .

Замечание 20.5. Возможно построение оснащения с помощью более общих, чем банаховы простанства (что будет сделано ниже).

Введем следующее определение.

Определение 20.5. Линейный функционал F в L2 (G) , определенный по крайней мере на множестве C0∞ (G) , называется обоб-

щенной

производной

функции

f L (G)

вида

f (k ) ,

где

k = (k ,

,..., k

) , если для любой функции ϕ C∞ (G)

выполнено

F(ϕ) = (−1)|k| ∫ f (x)ϕ(k ) (x)dx.

Теорема 20.2. f L (G) k = (k ,k

,...,k

) f

(k ) W

−|k| (G),

где

| k |= k1 + k2 +... + kn .

Доказательство. На множестве C∞ (G)

определим функционал

F(ϕ) равенством F(ϕ) = (−1)|k| ∫ f (x)ϕ(k ) (x)dx. Тогда

| F(ϕ) |≤|| ϕ(k ) ||L (G) || f ||L

(G) ≤|| ϕ(k ) || |k|

|| f ||L .

W2 (G)

Далее, если {ϕ

}∞

C∞ (G)

– фундаментальная в W |k| (G)

по-

m m=1

следовательность, то:

1) существует u W

|k| (G) , такая, что u = lim ϕ

(x) в

W |k| (G) ;

m→∞

138

| F(ϕm ) − F(ϕl ) |=| F(ϕm −ϕl ) |≤|| f ||L || ϕm −ϕl ||

|k|

т.е.

(G)

{F(ϕ

)}∞

– фундаментальная числовая последовательность. Но

m=1

тогда существует lim F(ϕm ) . Положим F(u) = lim

F(ϕm ) .

m→∞

Таким образом,

функционал F определен на всем W |k| (G) , и

для любой

u W |k|

(G) будет выполнено | F(u) |≤|| f ||

|| u ||

(G)

т.е.

это

ограниченный

на

W |k| (G) функционал.

Но тогда

F W

−|k|

(G)

и по построению F совпадает с f (k ) (x) .

20.3. Теорема Лакса–Мильграма

Теорема 20.3. Пусть

H+

H− – оснащенное гильбертово

пространство, а B( f , g)

– билинейный функционал на гильберто-

вом пространстве H+ , удовлетворяющий условиям:

1)κ > 0 f H+ : B( f , f ) ≥ κ|| f ||2+;

2)C > 0 f , g H+ : B( f , g) ≤ C || f ||+|| g ||+ .

Тогда существует линейный оператор A: H+ → H− , осуществ-

ляющий изоморфизм этих		пространств и такой, что
B( f , g) = Af , g ,	где символ	< Af , g > означает действие функ-
ционала Af H−	на элемент g H+ .
Доказательство.
1. Фиксируем	f H+ . Тогда, полагая F(g) = B( f , g) , получаем,

что F – линейный, ограниченный функционал (использовалось второе условие теоремы). Положим теперь Af = F .

2. Очевидно,	что A – линейный	оператор с D(A) = H+	и
E(A) = H− . Если	Af = θ H− – нуль в	H− , то это означает,	что
g H+ : Af , g = B( f , g) = 0.

139

Взяв f = g , получим 0 = B( f , f ) ≥ κ|| f ||2+ , т.е. || f ||2+ = 0 в H+ . Таким образом, Ker A ={θ} .

3. Пусть F H− – произвольный элемент. Тогда < F, g > – линейный, ограниченный функционал на H+ . В силу условий теоре-

мы форма B( f , g) является на H+	скалярным произведением, по-
рождающим эквивалентную норме	\|\| \|\|+ норму \|\| \|\|+,B . Но тогда

F, g – линейный, ограниченный по этой норме функционал. По

теореме Рисса f H+ :F, g = B( f , g) =Af , g для всех g H+ . Таким образом, E(A) = H− . Тем самым доказано, что A: H+ → H− – изоморфизм этих пространств.

Пример

20.7.

Пусть A = −

+ I ,

т.е.

для любой ϕ C∞ (G) :

Aϕ = −Δϕ+ ϕ, где

– оператор Лапласа. Тогда рассмотрим форму

∂ϕ ∂ψ

B(ϕ,ψ) = (Aϕ,ψ) = ∫(−Δϕ+ ϕ)ψ(x)dx = ∫

∑i=1

∂x

+ ϕψ(x) dx . (20.3)

Очевидно, получаем для любых ϕ,ψ C∞ (G) :

1) B(ϕ,ϕ) =|| ϕ||W2 1(G) ;

2) | B(ϕ,ψ) |≤|| ϕ||W1 || ψ ||W1 .

По непрерывности, приведенные выше оценки остаются спра-

ведливыми для любых

ϕ,ψ W1

(G).

При этом оператор A пони-

мается

(20.3)

уже

обобщенном

смысле. Взяв

=W1

(G), H

= L (G), H

−

=W −1 (G)

и применив теорему Лакса–

A = −

+ I

Мильграма,

получаем,

что оператор

есть изоморфизм

(G) и W −1 (G) .

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1714 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20132 Мб261Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013842 Кб87Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135 Мб163Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131 Мб147Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201312 Мб165Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131 Мб74Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20132 Мб45Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201315 Мб159Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20134 Мб199Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20138 Мб197Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20139 Мб221Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf