Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Теорема 5.1	(критерий	первого	интеграла).	Пусть
f (t, y) C1 (G),	G En+1 . Тогда не равная тождественно постоян-
	t, y
ной, непрерывно дифференцируемая в			G ' G функция	ψ(t, y)

будет в G ' первым интегралом системы (5.1) в том и только в том случае, если

∂ψ	n	∂ψ fi (t, y) ≡ 0 в G ' .
∂ψ	+ ∑	∂ψ fi (t, y) ≡ 0 в G ' .
∂t	i=1	∂y	i

Доказательство. Необходимость. Если ψ(t, y) – первый инте-

грал системы (5.1) в G ' , то для любого решения y (t) системы (5.1) в G ' получаем ψ(t, y (t)) ≡ const (при этом вдоль разных решений

константы, вообще говоря, разные). Дифференцируя это тождество, получаем

	∂ψ	n	∂ψ		dyi		∂ψ	n	∂ψ fi (t, y)
0 ≡		+ ∑				=		+ ∑
	∂t						∂t
		i=1	∂y	i	dt			i=1	∂y	i

всюду в области G ' , так как через каждую точку G ' в силу теоремы существования и единственности (ТСЕ) проходит решение сис-

темы (5.1).

Достаточность. Если функция ψ(t, y) удовлетворяет в G ' ус-


ловиям теоремы, а y (t)			– какое-либо решение (5.1) в G ' , то
0 ≡ ∂ψ	n	∂ψ fi	(t, y) = ∂ψ	n	∂ψ	dyi			d
	+ ∑			+ ∑				=		ψ(t, y (t)) ,

∂t	i=1	∂yi	∂t	i=1	∂yi dt				dt
где справа	записана		производная		вдоль		решения. Но тогда
ψ(t, y (t)) ≡ const		вдоль этого решения. Таким образом ψ(t, y) –

первый интеграл системы (5.1).

Замечание. Иногда первым интегралом системы (5.1) называют равенствоψ(t, y) ≡ const , где ψ(t, y)– функция из определения 5.1.

Напомним следующие определения.

Определение 5.2. Система функций {ψk (t, y)}mk=1 называется за-

висимой в G , если хотя бы одна из этих функций, например ψ1 (t, y), представима на G в виде

ψ1 (t, y) = Φ(ψ2 (t, y),...,ψm (t, y)),

(5.2)

где Φ(z1,..., zm−1 ) – некоторая функция, которую далее считаем непрерывно дифференцируемой в соответствующей области переменной z = (z1,..., zm−1) . Если же представление (5.2) не имеет мес-

та в G ни для одной из ψ	i	(t, y) , то система {ψ		k	}m	называется
независимой в G.					k=1

Теорема 5.2 (о существовании			первых интегралов). Если
f (t, y) C1 (G), G Etn,+y1,		то (t0, y0 ) G Uδ (t0, y0 ), в
которой система (5.1) имеет n независимых первых интервалов.
Теорема 5.3. Пусть {ψk (t, y)}km=1 –			n первых интегралов систе-

мы (5.1) в некоторой окрестности точки M0 (t0, y0 ) G . Допустим, что

J =	D (ψk (t, y),..., ψn	(t, y))	≠ 0 .

	D (y1,..., yn )
			M0

Тогда в некоторой окрестности точки M0 система уравнений

ψ1 (t, y) =C1;

. . . ; (3)

ψn (t, y)=Cn

определяет (при подходящем выборе констант C1,...,Cn) любое

решение системы (5.1), – общее решение (5.1) в окрестности точки

M0 .

Доказательство. В силу непрерывной дифференцируемости функций ψk (t, y) J ≠ 0 в некоторой окрестности точки M0 . По

теореме о системе неявных функций получаем, что существует и притом единственное решение системы (5.3)

y1 = ϕ1 (t,C1,..., Cn ),..., yn = ϕn (t, C1,...,Cn ),

определенное и непрерывно дифференцируемое в некоторой окре-

стности точки t0 . Положим Ci = ψi (t0, y0 ). Тогда в силу единственности решения системы (5.3) получим: y (t0 ) = ϕ(t0, ψ(t0, y0 )) =

= y0 , т.е. кривая y = ϕ(t, ψ(t0, y0 )) = y (t; y0,t0 ) проходит через точку (t0, y0 ). Далее из (5.3), дифференцируя эти равенства, получаем:

∂ψk

∑

y 'i (t) = 0 ,

k =1, 2,...n ,

(5.4)

∂t

i=1

∂yi

и в силу критерия первого интеграла

∂ψ

∑

(t, y) = 0;

∂t

∂y

(5.5)

i=1

k =1, 2,..., n.

D(ψ1,..., ψn )

Из систем (5.4) и (5.5), в силу того, что

≠ 0

в окрест-

D(y ,..., y

)

y (t;t0, y0 ) есть

ности точки M0 , получаем, что y ' (t) ≡ f (t, y), т.е.

решение системы (5.1) с данными Коши y (t0 )= y0 . Таким обра-

зом, (5.3) определяет общее решение системы (1) в форме Коши. Замечание. Для вычисления первых интегралов системы (5.1)

часто бывает удобно переписать эту систему в симметричной фор-

ме, положив сначала

dy1

dy2

=... =

dyn

= dt

f1 (t, y)

fn (t,

f2 (t,

а затем переобозначив

yi → xi , t → xn+1 , fi (t, yi )= fi (x),

n +1 → n .

Тогда (5.1) запишется в виде:

dx1

=... =

dxn

f1 (x)

fn (x)

Примеры.

5.1.

y + z

x + z

x + y

Решение.

d (x + y + z)

d (x − y)

(x + y + z)(x − y)2 =C

2(x + y + z)

y − x

d (x + y + z)

d (y − z)

(x + y + z)(y − z)2 =C

2(x + y + z)

z − y

Ответ.

Решение.

	(x + y + z)(x − y)2	=C ,
Ответ.		1
Ответ.		=C .
	(x + y + z)(y − z)2	=C .
		2

5.2.

5.3.

x + y2 + z2

;

dx −2ydy −2zdz

x − y2 − z2

=C2 .

x − y2 − z2

=C z,

− y2 − z2 =C

Дана система

x = x2 −t ,

yy = −x.

Являются ли функции ψ1 =t2 + 2xy , ψ2 = x2 −ty первыми интегра-

лами системы?

Решение.

	dψ				x2 −t		+2x(−x)≡0 ,
	dψ				x2 −t
	1		вдоль решения =2t +2y
т.е. ψ =t2		dt				y
		dt				y
	+ 2xy – первый интеграл системы;
1
		dψ2		вдоль решения =−y +2x		x2 −t		−t (−x)≡/ 0 ,
		dψ2				x2 −t
		dt				y
		dt				y
т.е. ψ2 = x2 −ty				не является первым интегралом системы.

5.4. Проверить, являются ли независимыми первые интегралы

x + y

z − y

системы

z + x

x + y

Решение. Сначала проверим, что это первые интегралы данной системы:

d (x + y)	=		d (x + z)		x + y	=C	;

x + y			x + z		x + z	1

d (z − y)	=	d (x + y)		z − y		= C2 ,
z − y
			x + y		x + y

т.е. это первые интегралы. Однако

C2 − 1 = −1 ,

следовательно,

C2 = 1−C1 , C1

т.е. эти интегралы зависимы.

§6. Линейные однородные уравнения

счастными производными первого порядка

Определение 6.1. Уравнение вида

(x)

∂z

+α

(x)

∂z

+... +α

(x)

∂z

= 0 ,

(6.1)

∂x1

∂x2

∂xn

где α(x ) – заданная в некоторой области G En

вектор-функция,

а z = z (x ) – искомая функция, называется (однородным) линейным

дифференциальным уравнением первого порядка с частными производными.

Определение 6.2. Непрерывно дифференцируемая в G функция z = z (x) называется решением (6.1) в G, если после подстановки ее

в уравнение (6.1), оно обращается в тождество в G.

Замечания. 1. Таким образом, ищем потенциальное поле

A(x)= grad z (x), ортогональное в G заданному полю α(x).

2. Если в точке x0 G α(x0 ) = 0 , то точка x0 называется особой точкой уравнения (6.1) (и, соответственно, поля α(x)) .

3.Далее рассмотрим непрерывно дифференцируемое в G поле

α(x) без особых точек.

Теорема 6.1. Рассмотрим уравнение (6.1) и систему ОДУ

dx1		=	dx2			=... =	dxn			.	(6.2)

α	(x)		α	2	(x)		α	n	(x)
1

Тогда непрерывно дифференцируемая в G функция z (x) ≡/ const в

G является решением уравнения (6.1) z (x) – первый интеграл

(6.2). Кроме того, z (x) ≡ const также очевидно решение (6.1).

Доказательство. Уравнение (6.1) означает, что производная вдоль решения системы (6.2) равна нулю. Пользуясь критерием первого интеграла (теорема 5.1), получаем нужное утверждение.

Теорема 6.2 (общий вид решения уравнения (6.1)). Пусть

{ψk (x)}nk−=11 – (n −1) независимый первый интеграл системы (6.2)

на G; x0 G и

D((ψ1,..., ψn−1)) ≠ 0 D x1,..., xn−1

вx0 .

Тогда:

1)если z = z (x) – решение (6.1) на G, то, по крайней мере, в не-

которой окрестности точки x0 имеет место представление z (x) = = Φ(ψ1 (x),..., ψn−1 (x)), где Φ – некоторая непрерывно дифференцируемая функция;

2) обратно, любая функция z (x) = Φ(ψ1 (x),...,ψn−1 (x)) является решением (6.1), если только Φ(y1,..., yn−1 ) – непрерывно диф-

ференцируемая в соответствующей области функция. Доказательство. 1. Рассмотрим систему уравнений:

α1 (x)

∂ψ

+α2 (x)

∂ψ

(x)

∂ψ

+...+αn

= 0;

∂x1

∂x2

∂xn

. ;

∂ψn−1

(x)

+α

(x)

+...+α

(x)

=0;

∂x1

∂x2

∂xn

. ;

∂z

(x)

+α

(x)

+...+α

(x)

= 0

∂x

относительно α(x). Так как

α(x)

≠ 0 ни в одной точке (и в част-

ности в точке x0 ), то

D (ψ(1,...,ψn−1), z) ≡ 0 в G. D x1,..., xn

Кроме того, по крайней мере, один минор порядка (n −1) , стоящий в (n −1) первой строке, не равен нулю в точке x0 , а следовательно, и в некоторой окрестности точки x0 .

Без ограничений общности можно считать, что

D(ψ ,...,ψ )

D (x1,..., x n−−1) ≠ 0 в Uδ (x0 ).

1 n 1

Тогда по теореме о достаточных условиях зависимости функций получим, что существует непрерывно дифференцируемая функция

Φ(y1,..., yn−1 ), такая, что z (x) = Φ(ψ1 (x),...,ψn−1 (x)).

2.Обратно. Дифференцируя функцию z(x) по xi и складывая,

получим

∂z

n−1

∂Φ ∂ψ

∂z

n−1

∂Φ

∂ψ

= ∑

∂y

∑αi

(x)

= ∑

∂y

∑αi

(x)

= 0,

∂x

k=1

i=1

k=1

k i=1

т.е. z = z (x) – решение уравнения (6.1).

Пример 6.1. Найти общее решение уравнения:

(x − z)∂∂nx +(y − z)∂∂ny + 2z ∂∂nz = 0 .

Решение. Соответствующая система ОДУ

x − z

y − z

Отсюда

(x − y)2

d (x − y)

;

x − y

d (x + y +2z)

(x + y +2z)2

=C .

x + y +2z

Ответ:

− y)2

+ y +2z)2

;

u =Φ

§7. Квазилинейные уравнения

счастными производными первого порядка

7.1. Характеристики и общее решение

Здесь рассмотрим более общее (чем (6.1)) уравнение:

a	(x, z)	∂z	+... +a	n	(x, z)	∂z	= b(x, z),	(7.1)

1		∂xn				∂xn

где ai (x, z), b(x, z) C1 (G), G Exn,+z1 – некоторая область, причем a12 (x, z)+... +an2 (x, z) > 0 в G. Уравнение (7.1) называется ква-

зилинейным уравнением с частными производными первого порядка.

Определение 7.1. Система ОДУ
		dx1	=... =			dxn	=	dz	(2)
	a	(x, z)		a	n	(x, z)		b(x, z)

1

называется системой характеристик уравнения (7.1), а каждая интегральная кривая системы (7.2) – характеристикой уравнения (7.1).

Определение 7.2. Поверхность S G : z = f (x), x Ω, называ-

ется состоящей из характеристик уравнения (7.1), если через каж-

дую точку S проходит характеристика, целиком лежащая на S в области G.

Теорема 7.1. Функция z = f (x) C1 (Ω) является решением уравнения (7.1) в Ω тогда и только тогда, когда поверхность S : z = f (x) , x Ω, целиком состоит из характеристик уравнения

(7.1).

Доказательство. Необходимость. Пусть z = f (x) – решение

(7.1), x Ω. Рассмотрим повторяемость S : f (x) − z = 0 . Тогда век-

тор N =

∂f

;...;

∂f

; −1 – нормаль к S. Рассмотрим линию, про-

∂xn

∂x1

ходящую через точку M (x, f (x)),

целиком лежащую на S и удов-

летворяющую системе уравнений

dxn

dx1

=... =

= dt ,

(x,

f (x))

(x,

f (x))

т.е. рассмотрим линию:

x = x (t), z = f (x (t)).

(7.3)

Покажем,

что

это

характеристика

уравнения

(7.1).

Так как

z = f (x) – решение (7.1), то

∂f

+... +

dt =

∂x

∂f

a (x, f (x))+... +

(x, f (x)) dt = b

(x, f (x))dt,

∂x

т.е. dz = b (x, f (x))dt , таким образом функция

z = f (x)

удовле-

творяет вместе с (x1,..., xn )

системе характеристик (7.2). Следова-

тельно, кривая (7.3) является характеристикой уравнения (7.1).

Обратно,

если S : z = f (x) ,

x Ω, целиком состоит из харак-

теристик, то N ={f x'

,..., fx'

; −1} и e ={a1,..., an;b}– соответственно

нормаль к

и касательный вектор к характеристике N e

выполнено уравнение (7.1).

Теорема 7.2 (общий вид решения). Рассмотрим уравнение (7.1)

и систему (7.2). Пусть {ψk (x, z)}nk=1 −n независимых первых интегралов системы (7.2) в G, а функция Φ(y1,..., yn) такова, что в некоторой точке (x0, z0 ) G

1)Φ(ψ1 (x0, z0 ),..., ψn (x0, z0 )) = 0 ;

2)∂∂Φz (ψ1 (x0, z0 ),...,ψn (x0, z0 ))≠ 0 .

Тогда в некоторой окрестности точки (x0, z0 ) уравнение

Φ(ψ1 (x, z),..., ψn (x, z)) = 0

определяет общее решение z = f (x)

уравнения (7.1).

Пример 7.1. Решить уравнение sin

∂z

+ tg z

∂z

= cos

z .

∂x

∂y

Решение.

sin2 x

tg z

cos2 z

−ctg z = tg z +C ;

– два независимых первых интеграла.

y =

tg2z +C2

Ответ: Φ = ctg x + tg z, y −

=0 .

7.2. Задача Коши

Здесь рассмотрим случай n = 2, т.е. уравнение

(x, z)

∂z

(x, z)

∂z

= b(x, z) ,

(7.4)

∂x1

∂x2

где a

(x, z), b(x, z) C1 (G),

G E

, иa2

(x, z)+a

2 (x, z) > 0 в G.

x,z

Пусть

в G задана гладкая

кривая

x1 =ψ1 (t), x2 =ψ2 (t),

z =ψ3 (t), α≤t ≤β.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131.68 Mб223Маслов Моделирование теплогидравлических процессов в реакторных установках 2008.pdf
#
16.08.2013841.72 Кб76Медведева Основы теории множеств и теории отображений 2011.pdf
#
16.08.20135.06 Mб151Мелников Газовые лазеры с ядерной накачкой 2008.pdf
#
16.08.20131.12 Mб128Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007.pdf
#
16.08.201311.87 Mб111Мирнов Енергия из воды 2007.pdf
#
16.08.20131.39 Mб68Мирошин Интегралные и дифференциалные операторы 2010.pdf
#
16.08.20131.81 Mб41Михайлов Аналитическая геометрия 2008.pdf
#
16.08.201314.52 Mб146Михайлов Ултразвуковое исследование сердца-ехокардиография 2011.pdf
#
16.08.20133.52 Mб179Михеев Датчики и детекторы 2007.pdf
#
16.08.20137.61 Mб173Михеев Исполнителные устройства автоматических 2008.pdf
#
16.08.20138.57 Mб193Мишулина Лабораторный практикум по курсу 2007.pdf