КузминАМ Основы теории критичности 2008

Ec

Здесь φТ (r ) =ψT (r ) ∫υ(E) M (E,Tн) dE и имеет смысл

0

интегрального потока тепловых нейтронов. Такое выражение для функции φT (r ) и соотношение (3.6) для плотности замедления

позволяют источник замедляющихся нейтронов (3.2) представить суммой:

Воспользуемся уравнениями (3.7), (3.15) для решения задачи о критичности реактора без отражателя, заменив в равенстве (3.16)

параметры К∞ и kτ соответственно отношениями:

При этом будем считать, что решения уравнений удовлетворяют условию φ(rэ, E) = 0 и дают (с точностью до постоянного множителя) асимптотические распределения замедляющихся и тепловых нейтронов во всей области энергий 0 < E ≤ E0 .

Для реактора, состоящего из одной зоны, пространственные распределения нейтронов разных энергий описываются одной и

где: −ω2 – константа разделения переменных (отрицательная – из физических соображений об изменении j(r ,τ) с ростом возраста τ ). Отсюда:

61

Решая первое уравнение (3.17) относительно функции f (τ) при

Сравнение этого выражения с (3.18) для функции φT (r ) показывает, что в качестве константы разделения ω2 следует взять

Уравнение (3.18) для φT (r ) имеет такой же вид, как и уравнение (1.6) для функции ψm (r ) . Решения их ищутся на одном и том же множестве функций. Поэтому константа разделения ω2 может принимать лишь дискретные значения, равные α02 , α12 ,…и

совпадающие (с точностью до знака) с собственными числами оператора Лапласа. Учитывая перечисленные ранее (в главе 1)

62

свойства этих чисел и соответствующих им собственных функций, приходим к выводу, что при получении нетривиального решения задачи (3.7), (3.15), (3.16) следует принять:

При этом асимптотическое распределение нейтронов имеет вид:

Здесь, как и в разделе 2.1, число α02 называют геометрическим

параметром, а константу разделения ω2 – материальным параметром реактора без отражателя.

Равенство (3.22) совместно с уравнением (3.21) относительно ω2 и полученными ранее формулами расчёта α02 позволяют определить критические параметры реактора: эффективный коэффициент размножения нейтронов Кэф , критическую массу и др. Например, в реакторе с заданными свойствами (размерами и

в котором первое слагаемое в правой части учитывает вклад от деления ядер топлива тепловыми нейтронами, а второе слагаемое – от деления ядерного горючего замедляющимися нейтронами.

Используя соотношения (3.22) – (3.25), можно установить, что:

-если в бесконечной среде без поглощения плотность замедления j(r ,u) как функция летаргии u постоянна, то в

реакторе конечных размеров в присутствии поглощения нейтронов она уменьшается с ростом летаргии;

63

- для реактора на тепловых нейтронах (в котором обычно

-в выражении (3.26) экспоненциальный множитель имеет смысл вероятности замедляющимся нейтронам избежать утечки и поглощения при изменении их возраста от 0 до τс

нейтронам избежать утечки из реактора;

-в большом (или «физически большом») тепловом реакторе

нейтронов.

3.2. Многогрупповые уравнения и сечения реакций

При получении пространственно-энергетических распределений нейтронов в реакторах, состоящих из нескольких зон, обычно используются многогрупповые методы решения уравнений. В этих

методах весь диапазон изменения энергий нейтронов 0 ≤ Е ≤ Еmax разбивается на m >1 энергетических интервалов длиной Ek так,

что:

Ek = Ek−1 −Ek , Ek −1 > Ek , k =1, 2,…, m, Em = 0, E0 = Emax .

Нейтроны с энергией E Ek называют нейтронами k-й группы. Вместо уравнений с непрерывно зависящими от E вероятностями

64

взаимодействий решается система уравнений для отдельных групп нейтронов с постоянными в интервале Ek сечениями. Переход к таким уравнениям связан с введением ряда допущений, снижающих точность определения Кэф и распределений

нейтронов. Чтобы выяснить причины возникновения погрешностей, рассмотрим в общих чертах схему построения многогрупповых уравнений. Считаем (как и в разделе 3.2), что все тепловые нейтроны находятся в m-й группе, и для них выполняется принцип детального равновесия. Вероятность их перехода в другие группы ничтожна мала.

Остановимся сначала на преобразовании уравнений (1.18), описывающих распределение нейтронов в условно-критическом реакторе в диффузионном приближении. Как отмечалось во введении, такой реактор не должен включать водородосодержащие

материалы. Проинтегрируем уравнения (1.18) по интервалу Ek , предварительно записав второе из них в виде:

Для тепловых нейтронов имеем:

∫Σt (E)φ(r, E) dE − ∫ ∫Σs (E′)Ws (E′ → E)φ(r, E′) dE′dE = Σ(am)φ(m) (r ) .

Em Em Em

Здесь учтено, что в силу принятых выше допущений при значениях

Σs (E′)Ws (E′ → E)φ(r , E′) = Σs (E)Ws (E → E′)φ(r, E) .

65

Для нейтронов групп k =1, 2,…, m −1, теряющих энергию при столкновениях с ядрами среды:

Ek

∫Σs (E)φ(r , E) ∫Ws (E → E′) dE′dE =Σ(dk →k ) φ(k ) (r ) + Σ(dk )φ(k ) (r ) ,

вкоторой наряду с (3.31) приняты обозначения:

χ(k ) = ∫χ(E) dE , Σ(adk ) =Σ(ck ) + Σ(fk ) + Σ(dk ) ,

Ek

ν(fk )Σ(fk )φ(k ) (r ) = ∫ν f Σf (E)φ(r , E)dE .

Систему уравнений (3.32), (3.33) можно рассматривать как точный аналог исходных уравнений (1.18). Присутствующие в них

средние сечения Σ(pk ) меняются с изменением координаты r (даже

в пределах одной зоны реактора, где концентрации ядер постоянны), что создаёт определённые трудности при их решении. Основная же проблема состоит в том, что эти сечения являются

66

попытаться эти распределения приближённо получить, используя значения φ(k ) (r ) , J (k ) (r ) . Однако сделать это с хорошей

точностью при сравнительно небольшом числе групп m не удаётся. Это касается, прежде всего, резонансной области, где микроскопические сечения сильно меняются в пределах малых интервалов энергии (шириной примерно 0,1 эВ). Сокращение же

длин интервалов Ek приведёт к резкому увеличению числа групп

mи, как следствие, времени расчёта. Поэтому поступают иначе. Вводится предположение о разделении пространственных и

энергетических переменных у функций φ(r , E) , с помощью которых по формулам (3.29) – (3.30) находятся групповые сечения Σ(pk ) для какой-либо зоны реактора:

взаимодействия нейтронов с ядрами среды в соответствующих энергетических интервалах (более подробно об этом сказано ниже).

Отметим, что при выполнении предположения (3.34):

Таким образом, переменные разделяются у тока нейтронов J (r , E)

и проекции Ji (r, E) = (J (r , E) , ei ) имеют одну и ту же зависимость от энергии. В результате сечения, определяемые равенствами (3.29) и (3.30), не будут зависеть от r в пределах

объёма Vi . Более того, транспортные сечения Σ(trk,)i вдоль разных

осей xi совпадут с одним и тем же значением Σ(trk ) . Поэтому соотношения (3.30) принимают вид:

67

∫Σtr (E) D(E) f (k ) (E) dE

где D(k ) = (3Σtr(k ) )−1 – коэффициент диффузии k-й группы.

Используя предположение (3.34), соотношения (3.29) – (3.31), (3.35) можно привести к виду:

если считать, что ρl – концентрация ядер сорта l в какой-либо зоне

реактора, а многогрупповые микроскопические сечения в той же зоне определяются равенствами:

∫σtr,l (E) D(E) f (k ) (E) dE

Ek

∫σ p,l (E) f (k ) (E) dE

Ek

∫∫σs,l (E′)Ws,l (E′ → E) f ( j) (E′) dE′dE

E j

Здесь учтено, что D(E) = (3Σtr (E))−1 .

Пусть теперь распределение нейтронов находится в Р1 -

приближении и в качестве исходных выбраны уравнения (6) и (15). Все преобразования, касающиеся уравнения (6), полностью совпадут с теми, которые привели к равенствам (3.32).

Интегрирование же уравнения (15) по интервалу Ek даёт

68

j =1

Входящие в эти уравнения сечения Σ(d1j →k ) , Σt(1k ) рассчитываются по формулам вида (3.37), если в качестве соответствующих микроскопических сечений σd( 1j,→l k ) , σt(1k,l) принять:

∫ ∫σes,l (E′)Ws1,l (E′ → E) D(E′) f ( j) (E′) dE′ dE

Ek

Уравнения (3.32), (3.36) будем называть многогрупповыми уравнениями диффузионного приближения, а (3.32), (3.41) –

многогрупповыми уравнениями P1 -приближения. Из условий (В.12)

следует, что их решение следует искать среди функций:

непрерывные вместе с произведением (J (k ) (r ), n) при всех значениях r V и обращающиеся в нуль на экстраполированной

границе реактора: φ(k ) (rэ) = 0 .

Для примера получим двухгрупповых уравнений при тех допущениях, которые были перечислены в разделе 3.1. Будем

считать, что замедляющиеся нейтроны с энергиями Ec ≤ E ≤ E0 образуют первую группу ( E0 – порог деления сырьевого материала), а тепловые нейтроны с энергиями 0 ≤ E ≤ Ec – вторую

группу. Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов описывается функцией φ(r ,u) , зависящей от летаргии u и удовлетворяющей уравнению (3.5). Для тепловых нейтронов

70