КузминАМ Основы теории критичности 2008
.pdfгде
a = |
|
rk+(1/ 2) |
|
zl |
, |
b = |
|
|
|
k |
, f = q |
|
W , |
||||||
k ,l |
|
|
~ |
|
|
|
k,l |
|
|
~ |
|
V |
|
k ,l |
k ,l |
|
k ,l |
||
|
|
|
|
rk+(1/ 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 Σ k+(1/ 2),l |
|
|
|
|
3 Σ k ,l+(1/ 2) zl+(1/ 2) |
|
|
|
|
|
||||||
|
pk ,l = ak ,l +bk ,l |
+ ck ,l |
+ dk ,l + Σ k ,l |
Wk ,l , |
|
|
(2.72) |
||||||||||||
а коэффициенты ck ,l , dk ,l принимают значения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
c1,l |
|
= 0, |
ck ,l |
= |
|
~ rk −(1/ 2) |
zl |
, |
k = 2,3,…, |
l =1,2,…, |
|
||||||||
|
3 |
rk −(1/ 2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Σ k −(1/ 2),l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dk ,1 |
= 0, |
dk ,l |
= |
|
~ |
|
Vk |
|
zl −(1/ 2) |
, |
k =1,2,…, |
l = 2,3,…. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 Σ k ,l −(1/ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнения (2.71) вместе с условиями (2.70) на |
||||||||||||||||||
экстраполированных |
границах |
образуют |
систему |
из |
|
NM |
линейных алгебраических уравнений с таким же числом неизвестных. Каждое уравнение помимо потока φk ,l в точке
(rk , zl ) содержит потоки в четырёх ближайших узлах двумерной
сетки разбиения. Только в уравнениях, записанных при значениях k =1, l =1,2,… или для значений l =1, k =1,2,…, число
неизвестных меньше. Поэтому сразу нельзя воспользоваться методом прогонки. Однако, если ввести в рассмотрение вектор φk с
компонентами |
φk ,1 , φk ,2 ,…,φk ,M −1 , |
то система уравнений |
(2.71) |
|||||
преобразуется к виду: |
|
|
|
|
|
|||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
= −F1 , |
|
|
|
|
|
A1 φ2 |
− B1 |
φ1 |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
k = 2,3,…,N −1 , |
(2.73) |
|
Ak φk+1 − Bk |
φk +Ck φk−1 = −Fk , |
|||||||
где элементы векторов |
Fk , |
|
ˆ |
ˆ |
и трёх |
|||
диагональных матриц Ak , Ck |
||||||||
диагональных |
матриц |
ˆ |
непосредственно выражаются |
через |
||||
Bk |
коэффициенты (2.72).
Теперь каждое уравнение становится «трехточечным», связывая значения неизвестных векторов в 3-х подряд стоящих узлах. Это позволяет для решения системы уравнений (2.73) применить метод матричной факторизации.
Следуя изложенному в разделе 2.4 алгоритму и заменяя алгебраические операции матричными, запишем:
51
φ |
k+1 |
= μˆ |
k |
φ |
k |
−θ |
k , |
φ |
k−1 |
= μˆ |
−1 |
φ |
+θ |
k−1 ) , k |
= |
2,3,…. (2.74) |
|
|
|
|
|
|
k |
( k |
|
|
Подставив в уравнения (2.73) вместо φk+1 , φk−1 выражения (2.74),
придём к следующим формулам для нахождения μˆk , θk :
ˆ −1 |
ˆ |
, |
ˆ −1 |
F1 |
, |
(2.75) |
μˆ1 = A1 |
B1 |
θ1 = A1 |
ˆ −1 |
ˆ |
ˆ |
−1 |
) , |
ˆ −1 |
|
ˆ |
−1 |
θk−1 ) , k = 2,3,… |
μˆk = Ak |
(Bk −Ck μˆk |
θk = Ak |
(Fk +Ck μˆk |
||||||
Рассчитав μˆk , θk |
(k =1,2,…, N −1) |
по формулам (2.75) и приняв |
φN = 0 , получим остальные вектора φN −1 , φN −2 ,…,φ1 , используя соотношения (2.74).
Из равенств (2.74), (2.75) следует, что помимо сравнительно
несложных операций вычисления диагональных матриц ˆ −1
Ak ,
сложения и перемножения матриц приходится находить обратные матрицы μˆk−1 . Поскольку μˆk относятся к матрицам общего вида и имеют большую размерность (равную числу узлов M −1), то получение μˆk−1 для всех точек k =1,2,…, N −1 занимает много
времени, а их хранение – большой объём памяти ЭВМ. Поэтому метод матричной факторизации не нашёл широкого применения при расчётах распределений нейтронов в 2- и 3-мерных геометриях. Обычно используют итерационные методы решения уравнений (2.71).
Самым несложным, с точки зрения организации вычислений, является метод простой итерации. Он базируется на использовании важного свойства коэффициентов в уравнениях (2.71):
λ |
= |
ak ,l +bk ,l +ck ,l + dk ,l |
|
<1, |
(2.76) |
|
|||||
k ,l |
|
pk ,l |
|
|
|
|
|
|
|
||
которое имеет место, поскольку Σ k ,l |
> 0 . Поэтому предлагается |
на каждой итерации t сумму ak ,l φk+1,l +bk ,l φk ,l+1 +ck ,l φk−1,l + dk ,l φk ,l−1
оценивать на потоках с предыдущей итерации. В результате приходят к следующей схеме:
р |
φ(t ) = f |
k ,l |
+ a |
k ,l |
φ(t−1) |
+b |
φ(t−1) |
+ c |
k ,l |
φ(t−1) |
+ d |
k ,l |
φ(t−1) |
, |
(2.77) |
k ,l |
k ,l |
|
k+1,l |
k ,l |
k ,l+1 |
|
k−1,l |
|
k ,l−1 |
|
|
52
где φk(t,l) – значения потоков в точках двумерной сетки на итерации t =1,2,…, а φk(0,l) – любые неотрицательные числа.
Итерационная схема (2.77) расчёта потоков всегда сходится [10]. Однако, если отношение (2.76) не очень сильно отличается от
единицы, то приходится проводить много итераций. Поэтому обычно используют различные методы ускорения сходимости. Остановимся лишь на некоторых приёмах, связанных с иным способом организации вычислений.
Если предположить, что итерации по схеме (2.77) сходятся монотонно, то можно ожидать более быстрое продвижение к
искомому решению, используя при определении φk(t,l) информацию
о потоках, полученных на той же итерации, но для других точек. Тогда итерационная схема принимает вид:
p |
φ(t ) = f |
k ,l |
+c |
k ,l |
φ(t ) |
+ d |
k ,l |
φ(t ) |
+ a |
k ,l |
φ(t−1) |
+b |
φ(t−1) . |
(2.78) |
k ,l |
k ,l |
|
k−1,l |
|
k ,l−1 |
|
k+1,l |
k ,l |
k ,l+1 |
|
Здесь принято, что для горизонтального ряда точек (с одним и тем же значением l) расчёт потоков ведётся в направлении роста k, а переход к следующему ряду всегда сопровождается увеличением l на единицу.
В двумерных задачах с простой прямоугольной сеткой часто используется метод переменных направлений. В основе метода лежит переход на каждой итерации к 3-точечным уравнениям
относительно φk+1,l , φk ,l , φk−1,l (или φk ,l+1 , φk ,l , φk ,l−1 ), которые могут быть решены методом прогонки. При этом считается, что
слагаемые bk ,l φk ,l+1 , dk ,l φk ,l−1 (или ak ,l φk+1,l , ck ,l φk−1,l ),
учитывающие перемещения нейтронов вдоль оси z (или r), получены на потоках из предыдущей итерации.
Пусть φk(t,l) , φk(t,l+(0.5)) – значения потоков в итерациях с номерами t и t + (0.5) , где: t + (0.5) – условное обозначение номера
итерации между t и t +1. Тогда итерационную схему получения потоков можно представить как последовательное решение двух систем уравнений:
a |
k ,l |
φ(t ) |
− p |
k ,l |
φ(t ) +c |
k ,l |
φ(t ) |
= − f |
k ,l |
−b |
φ(t−(0.5)) |
−d |
k ,l |
φ(t ) |
, (2.79) |
|
k+1,l |
|
k ,l |
k−1,l |
|
k ,l |
k ,l+1 |
|
k ,l−1 |
|
53
bk ,l φk(t,l++(10.5)) − pk ,l φk(t,l+(0.5)) + dk ,l φk(t,l+−(10.5)) = − fk ,l − ak ,l φk(+t )1,l −ck ,l φk(−t+1,(l0.5)) .
(2.80)
Предполагается, что при рассмотрении системы (2.79) уравнения решаются для горизонтального рада точек, начиная с ряда l =1, а при рассмотрении системы (2.80) – для вертикального ряда, начиная с ряда k =1 . В качестве начальных значений
принимаются любые φk(0,l.5) ≥ 0 .
Глава 3. МЕТОДЫ РАСЧЁТА ПРОСТРАНСТВЕННОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕЙТРОНОВ
В односкоростном диффузионном приближении принималось, что диффузия, рождение и поглощение нейтронов происходит при одной и той же энергии. На самом деле появляющиеся в окрестности какой-либо точки r активной зоны нейтроны деления в процессе упругих и неупругих столкновений с ядрами теряют энергию, удаляются от места рождения, а часть из них может поглотиться или выйти за пределы зоны прежде, чем вызовут деления ядер топлива. Такой переход нейтронов из одной зоны в другую совместно с другими процессами отражается на скорости протекания цепной реакции деления, пространственных распределениях φ(r, E) нейтронов разных энергий E и физических
характеристиках реактора.
3.1. Реактор без отражателя в диффузионно-возрастном приближении
Оценим влияние перечисленных выше факторов на величину эффективного коэффициента размножения Кэф и асимптотический
поток φ(r, E) в реакторе без отражателя, распределение нейтронов
в котором находится в диффузионно-возрастном приближении. В этом приближении выделяются два интервала энергий:
Ec < E < E0 – для замедляющихся нейтронов и 0 ≤ E ≤ Ec – для тепловых нейтронов, где E0 и Ec – условные верхние границы для
54
замедляющихся и тепловых нейтронов (часто Ec совпадает с
энергией сшивки спектров Максвелла и Ферми). Наряду с понятиями, принятыми в главе 2, используются:
- летаргия нейтронов u = ln EE0 , где E0 – заранее выбранное
(обычно максимально возможное) значение энергии;
- ступенька замедления l = E(1−εl ) - наибольшее изменение энергии нейтрона при одном столкновении с ядром сорта l, если
|
Ai |
−1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
Ai – |
||||
A |
+1 |
||||||
до столкновения он имел энергию E, εi = |
|
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
атомная масса ядра;
-замедляющая способность среды ξΣs , где ξ – средняя логарифмическая потеря энергии при одном столкновении нейтрона в смеси ядер;
-возраст нейтронов τ , соответствующий энергии E (или летаргии u ):
E0 |
′ |
dE |
′ |
u |
′ |
|
|
||
τ = ∫ |
D(E ) |
|
= ∫ |
D(u ) |
du′; |
(3.1) |
|||
′ |
E |
′ |
′ |
||||||
|
0 |
|
|
||||||
E ξΣs (E ) |
|
|
ξΣs (u ) |
|
|
- плотность замедления j(r ,u) , равная числу замедляющихся нейтронов, находящихся в единичном объёме в окрестности точки r и переходящих в единицу времени из области
u′ < u в область u′′ > u :
u |
∞ |
|
j(r,u) = ∫Σs (u′)φ0 (r,u′) ∫Ws (u′ → u′′) du′′ du′. |
(3.2) |
|
0 |
u |
|
Ограничимся рассмотрением реактора достаточно больших размеров, в котором размножение нейтронов происходит в основном за счёт деления ядер топлива нейтронами низких энергий. Будем также считать, что:
-все нейтроны деления появляются с одной и той же энергией Emax > E0 , а в качестве E0 выбрана условная энергия порога
деления сырьевого материала;
55
- плотность замедления j(r , E0 ) может быть представлена в виде:
|
E0 |
|
|
j(r , E0 ) =μ ∫ν f Σf (E)φ0 (r , E) dE , |
(3.3) |
|
0 |
μ как отношения |
что соответствует определению коэффициента |
||
числа |
нейтронов, замедлившихся за порог |
E = E0 , к числу |
нейтронов, появившихся за счёт деления ядерного горючего нейтронами с энергиями 0 ≤ E ≤ E0 ;
- замедление нейтронов происходит в основном за счёт упругих столкновений с ядрами, имеющими небольшие значения l ;
- упругое рассеяние нейтронов сферически симметрично в системе центра масс и плотность вероятности рассеяния равна
|
1 |
, |
E [εl E′, E′] |
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
||||
Ws,l (E′ → E) = E′(1 −εl ) |
|
E [εl E′, E′] |
|
|
||
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
либо (если рассматривать в шкале летаргии): |
|
|
(3.4) |
|||
exp(u′−u) |
, u [u′, u′+δl |
] |
|
|||
|
|
|
, |
|||
Ws,l (u′ → u) = 1 −εl |
|
u [u′, u′+δl ] |
||||
|
0, |
|
|
|||
|
|
|
где δl = −ln(εl ) – ступенька замедления в шкале летаргии;
- сильное (резонансное) поглощение нейтронов сосредоточено при значении Е = Ес и учитывается с помощью коэффициента ϕ –
вероятности избежать резонансного поглощения (тогда в уравнении (1.18) учитывается лишь слабое поглощение нейтронов).
Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов удобно описывать в функции летаргии. В этом случае уравнение (1.18) удаётся (в возрастном приближении) привести к более
простому виду [2], выполнив следующие преобразования.
Во-первых, дифференцируя равенство (3.2) по летаргии u , получим:
∂ j(r ,u) |
∞ |
u |
= Σs (u)φ(r ,u) ∫Ws (u → u′′) du′′ − ∫Σs (u′)Ws (u′ → u)φ(r ,u′) du′ , |
||
∂u |
u |
0 |
56
∞
где ∫Ws (u → u′′) du′′ =1, так как при столкновениях с ядрами
u
нейтроны теряют энергию и летаргия u ≤ u′′ < ∞ . Тогда интеграл Qs = ∫Σs
E′
u′′примет одно из значений
(E′)Ws (E′ → E)φ(r , E′) dE′
будет равен разности Q |
= Σ |
s |
(u)φ(r ,u) − |
∂ j(r ,u) |
, |
а уравнения |
|
|
|||||||
s |
|
|
|
∂u |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
(1.18) примут вид: |
|
|
∂j(r ,u) |
|
|
|
|
divJ (r ,u) + Σa (u)φ(r ,u) + |
= 0 , |
|
(3.5) |
||||
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
J (r,u) = −D(u) gradφ(r ,u) .
При этом учтено, что в области 0 ≤ u ≤ uc не появляются нейтроны
деления и нет внешних источников нейтронов.
Во-вторых, упростим выражение (3.2), считая, что плотность столкновения Σs (u)φ(r,u) непрерывна и слабо меняется на
интервале δl |
= −lnεl . В |
этом |
случае, записывая |
вместо (3.2) |
равенство |
|
|
|
|
|
u |
|
u′+δl |
|
j(r ,u) = ∑ ∫ Σs,l (u′) φ(r ,u′) |
∫Ws,l (u′ → u′′) du′′ du′ |
|||
l |
u −δl |
|
u |
|
и принимая |
Σs,l (u′)φ(r ,u′) ≈ Σs,l (u)φ(r ,u) при u −δl ≤ u′ ≤ u , |
|||
получим: |
|
u u′+δl |
|
|
|
|
|
||
j(r,u) ≈ ∑Σs,l (u)φ(r , u) ∫ ∫Ws,l (u′ → u′′) du′′ du′ = |
||||
l |
|
u−δl |
u |
|
=ξΣs (u)φ(r, u) . |
|
(3.6) |
||
|
u |
u′+δl |
|
+ εl lnεl |
ξΣs = ∑ξl Σs,l , ξl = ∫ ∫Ws,l |
(u′ → u′′) du′′du′ =1 |
|||
l |
u −δl |
u |
|
1 −εl |
В результате в области |
0 ≤ u ≤ uc уравнение (1.18) для потока |
|||
замедляющихся нейтронов φ(r ,u) примет вид: |
|
57
D(u) φ(r ,u) − Σa (u)φ(r ,u) = ∂(ξ∂Σus φ) .
Учитывая определение (3.1) возраста нейтронов и соотношение (3.6), его обычно записывают в форме:
j(r ,τ) − |
1 |
j(r ,τ) = |
∂ j(r ,τ) |
, |
(3.7) |
2 |
∂τ |
||||
|
Lτ |
|
|
|
где Lτ2 = Σa (τ) – квадрат длины диффузии нейтронов возраста τ .
При нахождении распределения тепловых нейтронов следует учитывать, что они в результате упругих столкновений с находящимися в тепловом движении ядрами могут как потерять, так и приобрести энергию. Поэтому плотность вероятности
рассеяния Ws (E′ → E) описывается более сложной по сравнению
с (3.4) функцией, зависящей от особенностей связей атомов в молекулах и кристаллах. Это сильно затрудняет получение потока
φ(r , E) при энергиях 0 ≤ E ≤ Ec . В дальнейшем ограничимся простым приближённым способом, заключающимся в следующем.
Известно [2], что в бесконечной среде без поглощения распределение тепловых нейтронов по энергиям описывается спектром Максвелла M (E,T ) и выполняется принцип детального равновесия для потока Φ(E,T ) =υ(E) M (E,T ) :
Σs (E′)Ws (E′ → E) Φ(E′,T ) = Σs (E)Ws (E → E′) Φ(E,T ) , (3.8)
где T – температура среды. Можно предположить, что в реакторе больших размеров при слабом поглощении распределение нейтронов по энергиям будет мало отличаться от спектра Максвелла по форме, но окажется сдвинутым в сторону больших энергий. Этот сдвиг происходит потому, что нейтроны не успевают прийти к тепловому равновесию из-за поглощения. В области
энергий |
0 ≤ Е ≤ Ес микроскопические сечения поглощения |
||
σa,l (E) |
тяжёлых ядер топлива меняются по закону, близкому к |
||
виду: |
|
|
|
|
σa,l (E) = σa,l (E(0) ) |
E(0) |
, |
|
|
||
|
|
E |
58
где Е(0) – фиксированное значение энергии, а σa,l (E) – сечение
поглощения нейтронов ядрами сорта l . Указанное смещение будет тем больше, чем больше среднее сечение поглощения Σa,T
тепловых нейтронов и чем меньше замедляющая способность
среды ξ Σs .
Учитывая известное соотношение между энергией и температурой (E = kT ) , вводят в рассмотрение эффективную
температуру нейтронов Тн :
н= Т 1 + аξΣΣа,Т (3.9)
s
иописывают энергетическое распределение нейтронов функцией
M (E,Tн) . В выражении (3.9): a – коэффициент, зависящий от связей атомов в веществе. Таким образом, приходят к представлению потока нейтронов φ0 (r, E) в области энергий
0 ≤ E ≤ Ec в форме: |
|
φ(r, E) =υ(E) M (E,Tн)ψT (r ) . |
(3.10) |
Представим в уравнении (1.18) интеграл |
рассеяния |
Qs (E) = ∫Σs (E′)Ws (E′ → E)φ(r, E′) dE′ в виде суммы |
|
E′ |
|
Qs (E) = Qs,1 (E) + Qs,2 (E) , где слагаемые имеют вид: |
|
Ec |
|
Qs,1 (E) = ∫Σs (E′)Ws (E′ → E)φ(r, E′) dE′ , |
|
0 |
|
E |
|
Qs,2 (E) = ∫0 Σs (E′) Ws (E′ → E)φ(r , E′) dE′. |
|
Ec |
|
Здесь первое слагаемое отвечает за появление нейтронов с энергией E в результате упругих столкновений тепловых нейтронов, а второе – в результате столкновений замедляющихся нейтронов. После этого проинтегрируем уравнение (1.18) по E в
пределах 0 ≤ E ≤ Ec . Считая, что |
вероятность тепловым |
нейтронам при столкновениях с ядрами приобрести энергию
59
E′ > Ec ничтожно мала, а также |
принимая во внимание |
соотношения (3.4), получим: |
|
E∫c Qs,1(E) dE = E∫c Σs (E)φ(r , E) E∫cWs (E → E′) dE′dE = E∫c Σs (E)φ(r , E) dE ,
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
(3.11) |
||
E |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ec −εl E′ |
|
|
|
||||
∫0 Qs,2 (E) dE = ∑∫l |
Σs,l (E′)φ(r , E′) |
dE′ = j(r, Ec ) , |
(3.12) |
|||||||||
|
||||||||||||
Ec |
l |
Ec |
|
|
|
E′(1−εl ) |
|
|
||||
|
Ec |
|
|
|
|
Ec |
|
|
|
|
||
− div ∫J (r, E) dE − ∫Σa (E)φ(r , E)dE +ϕ j(r , Ec ) = 0 |
, |
(3.13) |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ec |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
, |
|
|
, концентрация ядер сорта l , |
σs,l (E) – |
||||||
|
|
|||||||||||
El = min E0 |
|
εl |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующее микроскопическое сечение рассеяния и учтено,
что из |
j(r , Ec ) |
нейтронов тепловыми становится лишь ϕ j(r , Ec ) |
||||||||||||||||
нейтронов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введём в рассмотрение усреднённые по потоку υ(E) M (E,Tн) |
||||||||||||||||||
сечения |
|
DT , Σa,T , ν f ,T Σf ,T и скорость υT тепловых нейтронов |
||||||||||||||||
(подробнее об усреднении сечений говорится в разделе 3.2): |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
Ec |
|
|
|
1 |
|
Ec |
|
|
|
|
|
|
|||
DT = |
|
∫D(E)υ(E) M (E,Tн ) dE, Σa,T = |
|
∫Σa (E)υ(E) M (E,Tн ) dE, |
||||||||||||||
F |
|
F |
||||||||||||||||
|
T |
0 |
|
|
Ec |
|
|
T |
0 |
|
|
1 Ec |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
ν f ,T Σf ,T = |
|
|
∫ν f Σf (E)υ(E) M (E,Tн ) dE, |
|
|
|
= |
|
|
∫M (E,Tн ) dE, |
||||||||
F |
υ |
T |
F |
|||||||||||||||
|
|
|
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
0 |
(3.14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
FT = ∫υ(E) M (E,Tн) dE . |
Тогда |
|
|
|
уравнение |
(3.13) |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразуется к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
DT |
φТ (r ) − Σa,T φТ (r ) + ϕ j(r ,τc ) = 0 . |
|
(3.15) |
60