Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КузминАМ Основы теории критичности 2008

.pdf

Скачиваний:

205

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Чтобы точнее выполнить первое из условий (2.42), расположим

точки с координатами r	, r	так, что	r	= 0 ,	r =	r(1)	.
(1 / 2)	1		(1 / 2)		1	2
						2

Координаты остальных точек рассчитаем по формулам:

rk = rk−(1 / 2)	+		rk−(1 / 2)		,	rk+(1 / 2) = rk +	rk+(1 / 2)		, k =1,2,…, (2.47)
				2			2
						= r(i) , если r		R(i) .
где r		= r		− r
k −(1/ 2)			k	k −1		k −(1/ 2)

В качестве примера на рис.2.4 приведено расположение точек основной и вспомогательной сетки в 3-зонном реакторе при

N1 = 4, N2 = 5, N3 = 6 .

Учитывая непрерывность потока и тока нейтронов, запишем разложения:

φ(r) =φ(rk ) + dφ		(r − rk ) +…, rk−(1/ 2) ≤ r ≤ rk+(1/ 2)
φ(r) =φ(rk ) + dφ		(r − rk ) +…, rk−(1/ 2) ≤ r ≤ rk+(1/ 2)
dr	r=r		(2.48)
J (r) = J (rk+(1/ 2) ) + dJ		k	(2.48)
		k
		(r − rk+(1/ 2) ) +…, rk ≤ r ≤ rk+1
dr		r=r
		k +(1 / 2 )

Рис.2.4. Сетка размещения точек в 3-зонном реакторе

Для функции источника q(r) , которая терпит разрыв в точке rk (если она находится на границе раздела зон), имеем:

q(r) = q+ (rk ) + dq	(r − rk ) +…,	rk < r ≤ rk+(1/ 2)
dr	r=r +0	, (2.49)
q(r) = q− (rk ) + dq	k	, (2.49)
	k
	(r − rk ) +…,	rk−(1/ 2) ≤ r < rk
dr	r=r −0
	k

где q+ (r ) = lim q(r) ,		q− (r ) = lim q(r) .
k	r→rk +0	k	r→rk −0

Основное допущение численного метода состоит в том, что в разложениях (2.48) и (2.49) можно ограничиться только первыми слагаемыми. Очевидно, это выполняется, когда функции φ(r) , J (r) , q(r) слабо изменяются на соответствующих

интервалах и шаг сетки r(i) в каждой зоне мал. Тогда в уравнениях (2.44), (2.45) интегралы можно заменить выражениями:

rk +(1/ 2)	rk +(1/ 2 )
∫	(Σ(r)φ(r) −q(r))rν dr = φ(rk ) ∫Σ(r)rν dr − q+
rk −(1/ 2 )	rk −(1/ 2)

rk +(1/ 2)

(rk ) ∫rν dr − q−

r
(rk ) ∫k	rν dr

rk −(1/ 2 )

rk +1~	~
∫Σ(r) J (r) dr	= Σ(rk+(1 / 2) ) J (rk+(1 / 2) ) rk+(1 / 2) .
rk		~
Здесь учитывается, что функция		~	постоянна	на	любом
Здесь учитывается, что функция		Σ(r)	постоянна	на	любом
	~		rk +(1 / 2 )
интервале rk < r < rr+1	~		а значения	∫Σ(r)r		ν	dr
интервале rk < r < rr+1	и равна Σ(rk+(1 / 2) ) ,		а значения	∫Σ(r)r			dr
			rk −(1/ 2 )
нетрудно получить, учитывая зависимость функции Σ(r)					от r.
Вводя обозначения:φk =φ(rk ),		Jk +(1 / 2)	= J (rk +(1 / 2) )	,

Vk =

Σ k =

rk +(1 / 2 )					~	~
∫r		ν	dr ,		~	~
∫r			dr ,	Σk+(1 / 2) = Σ(rk+(1 / 2) ) ,
rk −(1/ 2 )
1	rk +(1/ 2)			ν			q− (r )	rk	ν		q+
V	r		∫Σ(r)r		dr ,	q k =	Vk	∫r		dr +
k	r						k	r
		k −(1/ 2 )						k −(1/ 2)

(2.50)

(r ) rk +(1/ 2 )

k ∫rν dr

Vk rk

придём к конечно-разностным уравнениям вида ( k =1, 2,…):

rν	J	k−(1/ 2)	− rν	J	k+(1/ 2)	− Σ	k	φ	k	V =− q	V . (2.51)
k−(1/ 2)		k−(1/ 2)	k+(1/ 2)		k+(1/ 2)		k		k	k	k k

Заменим в них токи нейтронов Jk−(1 / 2) ,							Jk+(1 / 2)	выражениями:
Jk−(1 / 2) =	φk−1	−φk	,	Jk+(1 / 2)	=		φk −φk+1		. (2.52)
	~	rk−(1 / 2)				3	~	rk+(1 / 2)
	3Σk−(1 / 2)						Σk+(1 / 2)

Учитывая первое из условий (2.42) (которое в силу принятых

обозначений запишется в виде J1 / 2									= 0 ), получим:
a1φ2 −b1 φ1 = − f1 ,										(2.53)
ak φk+1 −bk φk +ck φk−1 = − fk ,									k = 2,3,…, N −1.	(2.54)
			rν
ak =		~	k+(1/ 2)				, bk	= ak + ck + Σ k Vk , fk = q k		Vk −
	3
		Σk+(1/ 2)		rk+(1/ 2)
для значений k =1, 2,…, а для коэффициентов ck имеем:
c1 = 0 ,				ck =		~	rk−(1 / 2)		, k = 2,3,… .	(2.55)
					3			rk−(1 / 2)
						Σk−(1 / 2)

Уравнения (2.53), (2.54) образуют систему разностных уравнений 2-го порядка. Каждое содержит неизвестные потоки

φk−1 , φk , φk+1 в трёх следующих одна за другой точках основной

сетки. В таком случае решение ищется, используя метод факторизации, называемый также методом прогонки.

Суть метода заключается в переходе к разностным уравнениям первого порядка:

φk+1 = μk φk −θk ,	φk−1	=	φk +θk−1 ,	(2.56)
			μk−1
в которых коэффициенты	μk , θk	определяются		так, чтобы

равенства (2.53), (2.54) выполнялись как тождества. Заменяя в этих равенствах потоки φk+1 , φk−1 выражениями (2.56), получим:

φ1 (a1 μ1 −b1 ) −a1θ1 = − f1 ,			c
	−		c
φk (ak μk −bk +ck μk−11 )−ak θk +			k	θk−1	= − fk , k = 2,3,…
φk (ak μk −bk +ck μk−11 )−ak θk +			μ	θk−1	= − fk , k = 2,3,…
			k−1
Отсюда	вытекают	следующие			соотношения	между

коэффициентами μk , θk и μk−1 , θk−1 в двух узлах сетки:

μ =

(2.57)

μk

−

θk =

θk−1 , k = 2,3,…

ak μk−1

Учитывая выражения (2.56) и (2.57), приходим к следующей схеме расчёта потоков. Вначале по значениям μ1 , θ1 , полученным

по формулам (2.57), определяют остальные коэффициенты μk , θk ,

последовательно перемещаясь от точки k = 2 до точки k = N −1. Записав второе соотношение (2.56) для точки k = N и учитывая, что φN = 0 , находим значение φN −1 . Затем по той же формуле (2.56) рассчитываем остальные значения потоков, двигаясь в направлении уменьшения номера k точки: φN −2 , φN −3 ,…,φ2 , φ1 .

В плоской геометрии (ν = 0) вместо первого условия в (2.43) может приниматься φ(0) = 0 . Это соответствует реактору,

который не обладает свойством симметрии и в котором при r = 0 находится экстраполированная граница. Тогда можно к основной сетке разбиения в 1-й зоне добавить точку с номером k = 0 , поместив её на границу r = 0 . Считая по-прежнему, что N1 – число точек вспомогательной сетки в 1-й зоне, и рассчитывая шаг

сетки		в этой		зоне по формуле	r(1) =	R1	, получим:
						N
						1
r	=	r(1)	, r	= r(1) . Координаты других точек находятся по
(1 / 2)		2	1
		2

формулам (2.47). На рис.2.4 (в верхнем правом углу) представлено расположение точек, когда N1 = 4 .

В этом случае конечно-разностное уравнение (2.51), записанное для точки k =1 , также приводится к виду (2.53). Однако для коэффициента b1 вместо (2.55) имеем:

b1	= a1	+	3	~ 1	+ Σ 1 V1 .	(2.58)
			3	Σ1 / 2	r1/ 2
					44

Остальные формулы ничем не отличаются от тех, которые получены ранее.

В заключение отметим, что использование метода факторизации не приводит к возрастанию ошибок округления, т.е. расчётная схема (2.56) устойчива. Это можно продемонстрировать на примере плоского реактора без отражателя. Учитывая, что в таком

реакторе Σ, Σ, r не меняются от одной точки к другой, имеем:

ak = ck =		~1	, bk =		~2		+Σ r ,	μk = 2 + h −	1	, k = 2,3,…
	3			3		r
		Σ r			Σ				μk −1

μ1 = 2 + h,				~	( r)	2	> 0 .
			h = 3Σ Σ
Последовательность					{μk }, k =1,2,… является				монотонно
убывающей			и	ограниченной снизу.				Поэтому	существует
lim μ	k	= ξ , который можно найти из равенства μ = 2 + h −								1	, т.е.

k→∞										μ
как корни уравнения:					μ2 −(2 + h) μ +1 = 0 .

Очевидно,			нужно			выбрать		наименьший		корень
~		h	h2	+h ,
μ =1+ 2 −			4		что вытекает из анализа сходимости
последовательности {μk } (а также подтверждает рис.6). Причём,
		~	<1, поскольку h > 0 .
значение μ

Теперь допустим, что при расчёте потока нейтронов в точке rk возникла ошибка округления δk , а вместо истинного значения φk

получено	приближённое	значение φ~k = φk +δk . Тогда				при
переходе	к другим точкам	rk+s (s ≥1)		и определении φk+s		по
формулам (2.56) ошибка δk+s = μk			μk+1	μk+s−1 δk . Если считать,
что значение k велико (т.е. точка rk			находится далеко от границы),
			~	~	s	δk .
то можно принять μk = μk+1 =…= μ				и поэтому δk+s = (μ)

Таким образом, ошибка убывает (так как μ~ <1), стремясь к нулю, со скоростью геометрической прогрессии.

2.6. Конечно-разностные уравнения двумерного реактора

Особенности численного метода расчёта распределений нейтронов в более сложных моделях рассмотрим на примере многозонного цилиндрического реактора, симметричного относительно центральной оси и диаметральной плоскости. Выбирая для описания нейтронного поля в таком реакторе цилиндрическую систему координат, получим, что поток φ(r, z)

будет зависеть лишь от двух переменных: r и z – расстояний до оси и плоскости симметрии, соответственно. При этом ток

нейтронов J (r, z) = I (r, z) er						+Y (r, z) ez , а уравнения (2.37) можно
записать в виде (по-прежнему номер итерации опускаем):
1	∂(rI (r, z))			+	∂Y (r, z)	+ Σ(r, z)φ(r, z) = q(r, z) ,			(2.59)
r	∂r				∂z
∂φ(r, z)			~
	∂r	+3Σ(r, z) I (r, z) = 0 ,							(2.60)
∂φ(r, z)			~
	∂z		+ 3Σ(r, z)Y (r, z) = 0 .						(2.61)
Как	и	раньше			считаем,		что	макроскопические	сечения
	~					q(r, z)		терпят разрывы на границах
Σ(r, z) , Σ(r, z) и источник						q(r, z)		терпят разрывы на границах
зон	r = Ri		(i =1,2,…, n) ,			z = H j ( j =1,2,…, m) ,			а при
r = Rn , z = Hm				расположены			экстраполированные		границы

реактора (рис.2.5). Поток φ(r, z) и проекции тока I (r, z) , Y (r, z)

нейтронов	непрерывны в	области 0 ≤ r ≤ Rn , 0	≤ z ≤ Hm и
удовлетворяют граничным условиям:
J (0, z) = 0,	Y (r,0) = 0,	φ(Rn , z) = 0, φ(r, Hm ) =	0 . (2.62)

Рис.2.5. Расположение зон в 2-мерном цилиндрическом реакторе

Учитывая замечания, сделанные в разделе 2.4 (относительно

расположения		точек),		разместим		на	отрезках
0 ≤ r ≤ Rn ,	0 ≤ z ≤ Hm		по	две	системы	узловых	точек	с
постоянными	в	пределах		интервалов		Ri = Ri − Ri−1		и
H j = H j − H j−1		шагами	r(i) и		z( j) соответственно.		Как и в

одномерной геометрии, некоторые из точек основной системы попадут на границы раздела зон. Значения r(i) и z( j) рассчитываем по формулам вида (2.45) при заданном числе узлов Ni (или M j ) вспомогательных сеток на интервалах Ri (или H j ). Пронумеровав точки в направлении удаления от начала

координат, определим координаты {rk ,				rk−(1 / 2) ,		k =1,2,…, N }
точек,	расположенных	на	оси	r,	и	координаты

{zl , zl−(1 / 2) , l =1,2,…, M } точек, находящихся на оси z. При этом следует учесть, что

	r	(1)		z	(1)	n	m
r1 =	r		, r1/ 2 = 0, z1 =	z		, z1 / 2 = 0 , N = ∑Ni ,	M = ∑M j .
	2			2		i=1	j=1

Рис.2.6. Сетка точек и области интегрирования в r − z геометрии цилиндрического реактора

Через точки с координатами (0, zl ) , (0, zl−(1 / 2) ) проведём

плоскости,	параллельные диаметральной плоскости z = 0 , а через
точки с координатами				(rk , 0),		(rk−(1 / 2) , 0) –		цилиндрические
поверхности с		общей		осью,	расположенной			при r = 0 .		В
результате	область		0 ≤ r ≤ Rn , 0 ≤ z ≤ Hm				разбивается		на	ряд
элементарных		областей, а в плоскости, проходящей через ось
цилиндра, образуется двумерная сетка							основных		(rk , zl ) ,
промежуточных		(rk , zl−(1 / 2) ) ,			(rk−(1 / 2) , zl )		и	вспомогательных
(rk−(1 / 2) , zl−(1 / 2) )		точек. В той же плоскости элементарным
областям соответствуют прямоугольники, один из которых										k ,l
(соответствующий области Wk ,l					) заштрихован на рис.2.6.
Умножим уравнение (2.59)					на r , а затем проинтегрируем по
области	Wk ,l	,	включающей			точки	с	координатами
					48

rk−(1 / 2) ≤ r ≤ rk+(1 / 2) ,			zk−(1 / 2) ≤ z ≤ zk+(1 / 2) ,			уравнение	(2.60)
проинтегрируем			по	области		Wk+(1 / 2),l :
rk	≤ r ≤ rk +1 ,	zl −(1 / 2)	≤ z ≤ zl +(1/ 2) , а уравнение (2.61) – по области
Wk ,l+(1 / 2) :		rk−(1 / 2) ≤ r ≤ rk+(1 / 2) ,		zl ≤ z ≤ zl+1 . В результате
получим:
rk +(1 / 2 )			zl+(1 / 2 )		rk +(1 / 2 )
	∫[Y (r, zl+(1/ 2) ) −Y (r, zl−(1/ 2) )]rdr +			∫	∫Σ(r, z)φ(r, z)rdr dz +
rk −(1 / 2 )			zl−(1 / 2 ) rk −(1 / 2 )
	zl +(1/ 2 )				zl+(1 / 2 ) rk +(1 / 2 )
+	∫[rk+(1/ 2) I (rk +(1/ 2) , z) − rk −(1/ 2) I (rk−(1/ 2) , z)]dz = ∫					∫q(r, z) rdr dz
	zl −(1 / 2 )				zl−(1 / 2 ) rk −(1 / 2 )

zl +∫(1/ 2 ) [φ(rk+1 , z) zl −(1/ 2)

rk +∫(1/ 2 ) [φ(r, zl+1 ) rk −(1 / 2 )

	zl +(1 / 2 )		(2.63)
rk +1	zl +(1 / 2 )
−φ(rk , z)]dz +3 ∫	~	,	(2.64)
−φ(rk , z)]dz +3 ∫	∫Σ(r, z)I (r, z) dz dr = 0	,	(2.64)
rk	zl −(1/ 2)
zl+1	rk +(1/ 2 )
−φ(r, zl )]dr + 3 ∫	~		(2.65)
−φ(r, zl )]dr + 3 ∫	∫Σ(r, z)Y (r, z)dr dz = 0 .		(2.65)
zl	rk−(1 / 2 )

Дальнейшие преобразования в основном совпадают с теми, которые проводились в одномерной геометрии. Функции φ(r, z), I (r, z) , Y (r, z) раскладываются в ряды Тэйлора в

окрестности точек, совпадающих с центрами элементарных

областей	Wk ,l , Wk+(1 / 2),l , Wk ,l+(1 / 2) соответственно. В					качестве
координат таких точек принимаются:			(rk , zl )	- для потока φ(r, z) ,
(rk+(1 / 2) , zl ) - для		проекции тока	I (r, z)	и	(rk , zl+(1 / 2) )		- для
проекции Y (r, z) .		Что касается функции q(r, z) , которая может
терпеть	разрывы	на границах	r = rk	и	z = zl ,	то	она

раскладывается в ряды Тейлора в окрестности точек с координатами

(rk +0, zl +0) , (rk +0, zl −0) , (rk −0, zl +0), (rk −0, zl −0) ,

принадлежащими разным областям Wk(,sl ) (они отмеченны на

рис.2.6 значениями s=1, 2, 3, 4). Предполагая далее, что функции φ(r, z) , I (r, z) , Y (r, z) , q(r, z) слабо меняются в пределах

указанных		выше	элементарных областей				и шаги сеток
r(i) , z( j) малы, приходим к конечно-разностным уравнениям:
(rk−(1/ 2) Ik−(1/ 2),l −rk+(1/ 2) Ik+(1/ 2),l ) zl +(Yk ,l−(1/ 2)						−Yk ,l+(1/ 2) ) Vk −
− Σ k ,l φk ,l Wk ,l			= − q k ,l		Wk ,l ,		(2.66)
(k =1,2,…, N −1, l =1,2,…, M −1)
Ik−(1/ 2),l =		~ φk−1,l	−φk ,l	,	k = 2,3,…, N,	l =1,2,…, M −1,

	3 Σ k−(1/ 2),l rk−(1/ 2)
Yk ,l−(1/ 2) =		~ φk ,l−1	−φk ,l	,	k =1,2,…, N −1,		l = 2,3,…, M .

	3 Σ k ,l−(1/ 2) zl−(1/ 2)

Здесь приняты следующие обозначения:

φk ,l =φ(rk , zl ) , Ik−(1/ 2),l = I (rk−(1/ 2) , zl ) , Yk ,l−(1/ 2)

(2.67)

=Y (rk , zl−(1/ 2) ) ,

			rk +(1/ 2 )
φk ,l =φ(rk , zl ) , Ik−(1/ 2),l = I (rk−(1/ 2) , zl ) ,		Vk =	∫r dr ,	(2.68)
			rk −(1/ 2)
rk = rk+(1 / 2) − rk −(1 / 2) ,	zl = zl+(1 / 2) − zl−(1 / 2) ,		Wk ,l = Vk	zl ,
rk = rk+(1 / 2) − rk−(1 / 2) ,	zl = zl+(1 / 2) − zl−(1 / 2) ,		zl−(1 / 2) = zl − zl−1 ,

Σ k ,l = W1				zl			∫	∫Σ(r, z) r dr dz ,
				zl		+(1 / 2 )		rk +(1 / 2 )
~		k ,l zl−(1 / 2 ) rk −(1 / 2 )
~			1					~
			z				zl +(1/ 2 )
Σ k−(1 / 2),l	=		z				∫	Σ(rk −(1 / 2) , z) dz ,
Σ k−(1 / 2),l	=				l			Σ(rk −(1 / 2) , z) dz ,
					l		zl−(1/ 2 )

	1				zl +(1/ 2 ) rk +(1 / 2 )
q k,l =						∫	∫q(r, z)rdrdz
	W
			k ,l zl −(1 / 2 ) rk −(1 / 2 )
~				1		rk +(1/ 2)
							~
Σ k ,l−(1 / 2)		=					∫Σ(r, zl−(1 / 2) )dr .
				r
					k rk −(1/ 2 )

Уравнения (2.66) (каждое из них выражает баланс нейтронов в элементе объёма Wk ,l ) необходимо дополнить условиями (2.62), которые запишутся в виде:

J(1 / 2),l = 0, Yk ,(1 / 2) = 0, φN ,l = 0, φk ,M = 0 .

(2.70)

Учитывая соотношения (2.67), (2.68) и первые два равенства (2.70), уравнения (2.66) можно привести к виду:

ak ,l φk+1,l +bk ,l φk ,l+1 +ck ,l φk−1,l + dk ,l φk ,l−1 − pk ,l φk ,l = − fk ,l , (2.71)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20132 Мб214Крючков Технические аспекты ядерного нераспространения 2010.pdf
#
16.08.2013864 Кб39Ктитров Администрирование ОЦ УНИХ 2007.pdf
#
16.08.20131 Мб60Ктитров Командный язык ОЦ Уних 2007.pdf
#
16.08.20132 Мб159Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008.pdf
#
16.08.20131 Мб681Кудряшов Методы нелинейной математич 2008.pdf
#
16.08.20132 Мб205КузминАМ Основы теории критичности 2008.pdf
#
16.08.20132 Мб91Кулик Елементы теории принятия решений 2010.pdf
#
16.08.20132 Мб121Кулик Теория принятия решений 2007.pdf
#
16.08.201311 Мб265Курнаев Введение в пучковую електронику 2008.pdf
#
16.08.201311 Мб73Лабораторный практикум Компютерное модел 2007.pdf
#
16.08.20132 Мб57Лабораторный практикум Механика твёрдого тела 2002.pdf