КузминАМ Основы теории критичности 2008

Отсюда следует, что T (t) ~ exp(λt) , а константа разделения λ

может принимать лишь такие значения, при которых существуют нетривиальные решения уравнений (4.41).

Приведём систему уравнений (4.41) к привычному виду задач на собственные значения:

111

где ϕ + (r ) – собственная функция, соответствующая числу λ+ . Для

Вмногогрупповом диффузионном приближении множества Ω и

Ω+ совпадают, а уравнениям (4.43) соответствуют:

Установлено, что в общем случае задачи вида (4.42), (4.43) имеют один и тот же спектр σ (λ) собственных значений, в

котором помимо дискретного ряда чисел (действительных и комплексных) может присутствовать область непрерывного изменения λ (сплошного спектра). Однако всегда существует

ведущее собственное число λ0 , которое является действительным, изолированным и удовлетворяет неравенству:

ξ0+(k ) (r ), k =1,2,…, m ), обращающиеся в нуль лишь на внешней границе реактора.

например, в многогрупповом диффузионном приближении для любой одномерной геометрии реактора с непрерывной пространственной зависимостью. В этом случае (принимая во внимание выражение (4.39)) поток нейтронов в каждой энергетической группе можно представить в виде разложения:

112

i=0

Установим следующие свойства собственных функций и числа λ0 .

умножим на ξ+j (k ) (r) , проинтегрируем по r V и сложим. Каждое уравнение в системе (4.44) умножим на ϕi(k ) (r ) , проинтегрируем

по r V и сложим. Из одного образовавшегося при этом равенства вычтем другое. В результате получим:

где значение γi задаётся в соответствии с выбранным способом

нормировки собственных функций. В дальнейшем преобразования, которые были выполнены с уравнениями (4.41), (4.44) и привели к соотношению (4.47) будем называть процедурой перекрёстного умножения, интегрирования и вычитания.

2. Соотношение между числом λ0 и реактивностью реактора.

Применим процедуру перекрёстного умножения, интегрирования и вычитания к уравнениям (4.2), (4.44), записанным для

асимптотического потока нейтронов φ0 (r ) = (φ0(1) ,φ0(2) ,…,φ0(m) )T и собственной функции ξ0+ (r ) соответственно. В результате получим:

где ϑ0 – положительный множитель, принимающий значение:

113

Множитель ϑ0 имеет размерность времени. Его можно трактовать

как время жизни (мгновенных) нейтронов в реакторе произвольной формы.

3.Собственные функции критического реактора.

Вкритическом реакторе (где Кэф =1, λ0 = 0 ) уравнения (4.41) для

компонент ϕ0(k ) (r ) собственной функции ϕ0 (r ) совпадают по

виду с уравнениями (4.2) для асимптотических потоков φ(k ) (r ) . Решения их ищутся на одном и том же множестве функций. То же самое можно сказать в отношении функций ξ0+(k ) (r ) и φ+(k ) (r ) ,

получаемых из решения уравнений (4.44) и (4.15) соответственно. Поэтому

φ(k ) (r ) = Cϕ0(k ) (r ) , φ+(k ) (r ) = C+ ξ0+(k ) (r ) , (4.51)

где C , C+ – не равные нулю постоянные множители, выбираемые

обычно из условий нормировки. Для некритического реактора соотношения (4.51) не выполняются. В этом можно убедиться, рассматривая переход к соответствующему условно-критическому реактору. В одном случае это делается за счёт изменения числа

счёт изменения поглощения нейтронов (заменяя макросечения Σ(adk ) на сумму Σ(adk ) + υλ(0k ) ).

114

Коэффициенты Ai в формуле (4.46) определим, используя

начальное условие (4.38), которое запишем в виде (заменив индекс i на j):

Выражение (4.46) позволяет обобщить выводы, сделанные ранее (в главе 1) на базе простой модели реактора (без отражателя, в односкоростном диффузионном приближении). Учитывая свойства (4.45) и (4.50) собственных чисел, нетрудно установить, что при

реакторе ( λ0 = 0 ) не зависят от времени t, а в некритическом

расчёта ϑ0 в многогрупповом приближении имеем формулу (4.49).

Асимптотическая ценность нейтронов

Рассмотрим критический реактор с заданными свойствами, который до момента времени t = 0 работал на постоянной

115

мощности, однозначно связанной со скоростью деления ядер W0 . Пусть значению W0 соответствуют распределения потоков нейтронов φ0(k ) (r ) и сопряжённых функций φ0+(k ) (r ) , удовлетворяющих уравнениям (4.2), (4.3), (4.15), (4.16) и

будут иметь размерность см−2 с−1 , функции φ0+(k ) (r ) – размерность

с−1 (если скорость нейтронов брать в см сек−1 , сечения деления –

всм−1 , а объём – в см3 ).

Предположим, что в момент времени t = 0 в единичный объём,

Такое решение было получено ранее и записано в виде разложения (4.46). При этом коэффициенты Ai рассчитываются по формулам (4.52), в которых вместо функции φ(r ,0) берётся сумма (4.54).

116

можно говорить об асимптотической мощности и её изменении при помещении дополнительного числа нейтронов.

4.5. Применения соотношений теории возмущений

Соотношения (4.18), (4.19) позволяют оценить изменение реактивности (при известных значениях δ Σ(trk ) , δ Σ(adk ) и т.д.),

используя решения лишь двух примерно одинаковых по вычислительным затратам задач (4.2) – (4.4) и (4.10), (4.15), (4.16),

сформулированных для невозмущённого реактора. Время счёта при этом практически не зависит от числа возмущаемых параметров. Единственное требование состоит в том, чтобы каждое из возмущений было мало. В противном случае расчёты по формулам (4.18), (4.19) могут привести к заметным погрешностям в

определении δ Кэф .

Это иллюстрирует рис.4.3, на котором представлены

активной зоне реактора (через N5(0) обозначена концентрация

урана-235 в невозмущённом реакторе). Видно, что совпадение результатов расчёта по точной формуле (4.17) и формуле теории малых возмущений (4.18) имеет место в том случае, когда

величина δ N5 мала.

Рис.4.3. Сравнение результатов расчёта по формулам (4.17) и (4.18)

120