Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå ω — любая точка вне действительной оси, а С − контур,

состоящий их двух кусков: один проходит над действительной осью от −∞ + iε äî +∞ + iε и замыкается по большому полукругу в верхней полуплоскости назад к −∞ + iε, а другой проходит под действительной осью от +∞ − iε äî −∞ − iε и замыкается по большому полукругу в нижней полуплоскости назад к +∞ − iε. Поскольку функция F(z)/P(z) обращается в нуль при |z| → ∞,

вкладом от больших полукругов можно пренебречь. С учетом (10.8.12) формула (10.8.13) принимает вид:

ãäå Q(ω) — полином (n − 1)-ой степени:

Говорят, что дисперсионное соотношение такого вида, где P(ω) è Q(ω) имеют соответственно порядок n и n − 1, имеет n вычитаний.

Если можно положить Р = 1, то Q = 0, и дисперсионное соотношение называется безвычитательным.

Если теперь устремить ω к действительной оси сверху, то из

(10.8.14) получаем:

Этот результат полезен, поскольку функции F±(E) можно

выразить через измеряемые сечения. Суммируя в формулах (10.8.9) и (10.8.10) по полному набору многочастичных промежуточных состояний b (включая интегрирование по импульсам частиц в состояниях b) и вновь используя трансляционную инвариантность, имеем:

Однако матричные элементы поглощения безмассового скалярного бозона В в реакции B + a ® b или его античастицы Вñ в реакции Bc + a ® b имеют соответственно вид

α→ α + B è α → α + Bc, функции F±(E) содержат также слагаемые, пропорциональные δ(E), возникающие от вклада одночастичного состояния

αв сумме по промежуточным состояниям β. Для поперечно поляризован-

ных фотонов или псевдоскалярных пионов в пределе mπ → 0 подобная

ситуация не возникает.

видим, что при Im w £ 0 функция FA(−w) совпадает с функцией FR(w), если не считать перемены местами J и J†. Иными словами,

FA(-w) = FRc (w) ïðè Im w £ 0 ,

где верхний индекс c указывает, что амплитуда описывает рассеяние античастицы Bc на мишени a. (Оставляем читателю показать, что это1

соотношение не нарушается при учете слагаемых от одновременных коммутаторов в (10.8.7) и (10.8.8).) Аналогично находим, что

FR (-w) = FAc (w) ïðè Im w ³ 0 ,

и что для действительных w

F± (−ω) = Fmc (ω) .

Используя эти соотношения в формуле (10.8.6) и вспоминая, что f(w) пропорциональна F(w), находим соотношение кросс-симметрии: для действительных w

Мы свободны в выборе P(w) в виде любого полинома достаточно высокого порядка, но тогда R(w) зависит не только от P(w), но и от значений F (w) в нулях P(w). Åñëè P(w) − действительный

полином n-ого порядка, единственными свободными параметрами в (10.8.16) являются n действительных коэффициентов в действительном полиноме (n − 1)-ого порядка R(w). Следовательно,

соотношение (10.8.16) содержит ровно n неизвестных действительных независимых констант, являющихся коэффициентами полинома R(w) при заданном P(w). По этой причине желательно

выбирать порядок n произвольного во всем остальном полинома P(w) как можно меньшим .

Можно попробовать взять P(w) = 1, но это не сработает.

Анализ, проведенный в разделе 3.7, показывает, что амплитуда рассеяния вперед должна расти как w или, возможно, как w ln2w. В этом случае, для того, чтобы f(w)/P(w) обращалась в нуль при w ® 0, достаточно взять P(w) в виде полинома второго порядка,

òàê ÷òî R(ω) линеен по ω. Выбирая для удобства P(E) = E2,

представим соотношение (10.8.24) в виде

ãäå a è b − неизвестные действительные константы. Из условия

кросс-симметрии (10.8.25) вытекает, что соответствующие константы в дисперсионном соотношении для амплитуды рассеяния анти- частиц fc(ω) равны

Если предположить, например, что сечения σα+B(E) è σα+ Bc (E) ведут себя при Е → ∞ как разные константы, умноженные на (ln

E)r, то из (10.8.26) будет следовать, что

так что действительная часть амплитуды рассеяния будет расти в ln ω раз быстрее мнимой части. Это неприемлемо: мы видели в разделе 3.7, что при ω → ∞ следует ожидать, что действительная

часть амплитуды рассеяния вперед много меньше мнимой части, и это подтверждается экспериментом. Мы приходим к выводу, что если σα+B(E) è σα+ Bc (E) действительно ведут себя при Е → ∞ êàê

константы, умноженные на (ln E)r, то эти константы должны быть равны. Поскольку мы рассматриваем предел высоких энергий, результат не зависит от предположения, что В − безмассовый бозон,

так что можно утверждать, что отношение сечений рассеяния любой частицы и ее античастицы на фиксированной мишени должно стремиться при высоких энергиях к единице. Этот результат есть несколько обобщенный вариант так называемой теоремы Померанчука 16. (Померанчук рассматривал только случай r = 0, хотя из результатов раздела 3.7 и из наблюдаемого поведения сечений следует, что значение r = 2 более предпочтительно.)

Хотя Померанчук получал свои оценки асимптотического поведения амплитуд рассеяния на основании аргументов, близких к изложенным в разделе 3.7, в наши дни поведение при высоких

634 Глава 10. Непертурбативные методы

энергиях обычно получают из теории полюсов Редже 17. Рассмотрение деталей этого вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону. Достаточно сказать, что для адронных процессов асимптотическое поведение f(ω) ïðè ω → ∞ представляется суммой слагаемых, пропорциональных ωα(0) , ãäå αn(t) — множество «ред-

жевских траекторий», каждая из которых соответствует обмену бесконечным семейством различных одноадронных состояний в процессе рассеяния. Ведущей траекторией (на самом деле, комплексом из многих траекторий) является «померон», для которого α(0) близко к единице. Именно эта траектория дает сечения, примерно постоянные при Е → ∞.

Согласно теореме Померанчука, померон одинаково связан с любым адроном и его античастицей. Для низших реджевских траекторий можно оценить значения αn(0), рассматривая спектр адронных

состояний. Необходимым, хотя и недостаточным условием 18 того, что при значении массы m возникнет мезонный резонанс со спином j, является равенство m2 тому значению t, при котором одна из траекторий αn(t) равна j. Кроме померона, ведущей траекторией в пион−

нуклонном рассеянии является та, на которой мы находим при массе m = 770 МэВ ρ-мезон с j = 1, при массе m = 1690 МэВ — g-мезон с j = 3, и при массе m = 2350 МэВ — мезон с j = 5. Экстраполируя эти значения α(t) к t = 0, можно оценить, что для этой траектории α(0) ≈ 0,5. Связь такой траектории с π+ è π− имеет разные знаки, так что для пион−нуклонного рассеяния следует ожидать, что f(ω) − fc(ω) ведет себя, грубо говоря, как ω1/2.

В случае рассеяния фотонов нет разницы между В и Вñ, так что в этом случае из формулы (10.8.27) следует b = 0, и соотношение (10.8.26) принимает вид:

Это и есть по-существу первоначальное соотношение Крамерса−

Кронига 13. Как мы увидим в разделе 13.5, для мишени с зарядом е и массой m константа a имеет известное значение Re f(0) = −e2/m.

Задачи

1.Рассмотрите нейтральное векторное поле vμ(x). Какие условия следует наложить на сумму Õ μν(k) вкладов одночастично не-

приводимых диаграмм с двумя внешними линиями векторного поля, чтобы поле было правильно перенормировано и описывало частицу с перенормированной массой m? Как следует для этого разделить в лагранжиане слагаемые, отвечающие свободному полю и взаимодействию?

2.Выведите обобщенное тождество Уорда, которому подчиняется электромагнитная вершинная функция заряженного скалярного поля.

3.Какой вид имеет наиболее общая форма матричного элемента áp2s2|Jμ(x)|p1s2ñ электромагнитного тока Jμ(x) между двумя од-

ночастичными состояниями спина 1/2, одинаковой четности и

разных масс m1 è m2? Как изменится результат, если четности разные? (Предполагается сохранение четности.)

4.Выведите спектральное представление Челлена−Лемана для

среднего по вакууму áT{Jμ(x) Jν(y)}ñ0, ãäå Jμ(x) − комплексный

сохраняющийся ток.

5.Выведите спектральное представление Челлена−Лемана для

среднего по вакууму áT{yn(x)`ym(y)}ñ0, ãäå y(x) − дираковское

ïîëå.

6.Не делая никаких предположений об асимптотическом поведении амплитуды рассеяния или сечения, покажите, что амплитуда рассеяния фотона на угол нуль не может удовлетворять дисперсионному соотношению без вычитаний.

7.Выведите спектральное представление Челлена−Лемана для

комплексного скалярного поля, используя методы теории дисперсионных соотношений.

8.С помощью теории дисперсионных соотношений и результатов раздела 8.7 вычислите в порядке е4 амплитуду рассеяния вперед фотонов на электронах в системе покоя электрона.

Список литературы

1.Furry, W.H., Phys. Rev., 51, 125 (1937).

2.Yukawa, H., Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 17, 48 (1935).

3.Lehmann, H., Symanzik, K., and Zimmerman, W., Nuovo Cimento, 1, 205 (1955).

4.Takahashi, Y., Nuovo Ñimento, Ser. 10, 6, 370 (1957).

5.Ward, J.C., Phys. Rev., 78, 182 (1950).

6.Schwinger, J., Phys. Rev. Lett., 3, 296 (1950).

7.Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

8.Rosenbluth, M.N., Phys. Rev., 79, 615 (1950).

9.Kä llen, G., Helv. Phys. Acta, 25, 417 (1952); Quantum Electrodynamics (Springer-Verlag, Berlin, 1972); Lehmann, H., Nuovo Cimento, 11, 342 (1954).

10.Howard, J.C. and Jouvet, B., Nuovo Cimento, 18, 466 (1960); Vaughan, M.J., Aaron, R., and Amado, R.D., Phys. Rev., 125, 1258 (1961); Weinberg, S., in: Proceedings of the 1962 HighEnergy Conference at CERN (CERN, Geneva, 1962), p. 683.

11.Stratonovich, R.I., Sov. Phys. Dokl., 2, 416 (1957); Hubbard, J.,

Phys. Rev. Lett., 3, 77 (1959).

12.Weinberg, S., Phys. Rev., 137, B672 (1965).

13.Kramers, H.A., Atti Congr. Intern. Fisici, Como (Nicolo Zanichelli, Bologna, 1927); reprinted in: Kramers, H.A., Collected Scientific Papers (North-Holland, Amsterdam, 1956); Kronig, R., Ned. Tyd. Nat. Kunde, 9, 402 (1942); Physica, 12, 543 (1946); Toll, J.S., The Dispersion Relation for Light and its Application to Problems Involving Electron Pairs (Princeton University Ph. D.

Thesis, 1952). Исторические обзоры см. в работах: Jackson, J.D., in Dispersion Relations, ed. by G.R.Screaton (Oliver and Boyd, Edinburgh, 1961); Goldberger, M.L., in Dispersion Relations and Elementary Particles, ed. by C. de Witt and R. Omnes (Hermann, Paris, 1960).

14.Gell-Mann, M., Goldberger, M.L., and Thirring, W., Phys. Rev., 95, 1612 (1954). Непертурбативное происхождение этого результата было показано в работе: Goldberger, M.L., Phys. Rev., 97, 508 (1955).

15.Goldberger, M.L., Phys. Rev., 99, 979 (1955).

16.Pomeranchuk, I.Ya., J. Expt. Theor. Phys. (USSR), 34, 725 (1958). Обобщение результатов этой работы см. в статье: Weinberg, S., Phys. Rev., 124, 2049 (1961).

17.См., например, книгу: Collins, P.D.B., An Introduction to Regge Theory and High Energy Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1977) (есть рус. пер.: Дж. Коллинз. Введение в теорию полюсов Редже. М.: Мир, 1980). Оригинальные работы: Regge, T., Nuovo Cimento, 14, 951 (1959); 18, 947 (1960).

18.График зависимости спина от квадрата массы называется диаграммой Чу–Фраучи. См. работу: Chew, G.F. and Frautschi, S.C.,

Phys. Rev. Lett., 8, 41 (1962).

11

Однопетлевые радиационные поправки

âквантовой электродинамике

Âэтой главе мы займемся некоторыми, ставшими уже классическими, однопетлевыми вычислениями в теории взаимодействия заряженных лептонов — массивных частиц спина 1/2 —

ñэлектромагнитным полем. Известны три сорта лептонов, отли- чающихся своим «ароматом»: электрон, мюон и самый тяжелый сравнительно недавно открытый тауон. Для определенности будем все заряженные частицы в наших расчетах называть электронами, хотя большая часть вычислений в равной степени применима к мюонам и тауонам.

После ряда общих соображений в разделе 11.1, мы перейдем к вычислению поляризации вакуума в разделе 11.2, аномального магнитного момента электрона в разделе 11.3 и собственной энергии электрона в разделе 11.4. Попутно мы введем ряд математиче- ских приемов, оказывающихся полезными при таких вычислениях, в том числе фейнмановскую параметризацию, виковский пово-

рот, а также размерную регуляризацию ′т Хофта–Вельтмана и бо-

лее ранний метод регуляризации Паули–Вилларса. Хотя при расчетах и появятся бесконечности, мы увидим, что окончательные результаты конечны, если их выразить через перенормированные массу и заряд. В следующей главе мы распространим полученные здесь результаты, касающиеся перенормировки, на случай общих теорий в произвольных порядках теории возмущений.