21.3. Пороговый характер самоорганизации и представление о теории катастроф

Пороговый характер самоорганизующихся процессов термодинамика связала с неустойчивостью: новая струк­тура есть результат неустойчивости и возникает из флук­туации. В «допороговом» состоянии флуктуации затухают и макроскопически не проявляются (например, в конвек­ционном потоке при малых Т они рассасываются за счет сил вязкого трения). Выше порога флуктуации уже не рассасываются, а усиливаются, достигают макроскопи­ческих значений и выводят систему на новый устойчивый режим, создают новую структуру, возникающую после неустойчивости. Математически это связано с нелиней­ностью уравнений, описывающих систему вдапи от равно­весия. Если линейное уравнение имеет одно стационарное решение, то нелинейное — несколько. Система может принимать любое из этих состояний, и переход из одного в другое стационарное состояние соответствует преодоле­нию порога.

Катастрофой называют скачкообразное изменение, которое может возникнуть в ответ на плавное изменение внешних условий. Для систем это означает потерю устой­чивости. Область математики, занимающаяся катастро­фами, названа теорией катастроф. Она является в неко­тором роде обобщением исследования функций на экстре­мум на случай многих переменных и опирается на теорию особенностей гладких отображений. Отображение поверх­ности на плоскость есть сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости.

Исследования особенностей таких отображений начал в 1955 г. Г.Уитни, ознакомившись с работами Пуанкаре и Ляпунова, а также советских ученых—Андронова, развив­шего теорию бифуркаций, и Понтрягина, который ввел понятие грубости — структурной устойчивости системы. Важность исследований в направлении, названном КЗи-маном теорией катастроф, оценил французский мате­матик Р.Тома. Он сформировал эту теорию и ее прило­жения. Сразу появились работы по применению теории катастроф к разным объектам (исследования биения серд­ца, физическая и геометрическая оптика, лингвистика, геология, эмбриология, гидродинамика, моделирование деятельности мозга и психических расстройств, восстаний в тюрьмах, поведения биржевых игроков, политики цен­зуры, теории элементарных частиц, исследования устой-

чивости конструкций и т.д.). Первые публикации по теории катастроф появились в 1970 г. Как говорит о них видный советский математик академик В.ИАрнольд, «в журналах типа "Ньюс уик" сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифферен­циального и интегрального исчислений. Утверждалось, что новая наука — теория катастроф — для человечества гораздо ценнее, чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универ­сальный метод исследования всех скачкообразных пере­ходов, разрывов, внезапных качественных изменений».

Большинство окружающих нас тел ограничено глад­кими поверхностями, но видимые контуры тел — это проекции ограничивающих поверхностей на сетчатку глаза. При этом могут возникать некоторые особенности: при проецировании сферы на плоскость в точках экватора образуется складка. На горизонтальной плоскости-проек­ции выделяется окружность, разделяющая сферу на внут­реннюю и внешнюю, при этом точки внутренней сферы имеют по два прообраза (от двух точек сферы), а точки внешней — ни одного, точки окружности—один прообраз. При подходе с внутренней стороны к окружности два прообраза сливаются в один — это и есть особенность складки (рис.43). Кроме того, Уитни нашел и другую особенность — сборку. Представление о ней можно полу­чить, рассматривая устойчивость бутылки из-под молока. Уитни показал, что сборка и складка—устойчивы. Покачав бутылку из-под молока, можете сами убедиться в этом.

Точке экстремума соответствует равенство нулю произ­водной при второй, отличной от нуля. В многомерном случае производные от функции U будут браться частные, и они должны быть равны нулю, а смешанные, т.е. вторые производные, отличны от нуля и det Щ = 0; если потен­циальная функция представлена в квадратичной форме, и в случае, например двух переменных, U = ЪЛ_и(с) х² функция будет напоминать рельефную карту: вершины гор и седла связаны хребтами, имеются озерные впадины и седло­образные долины. При диагонализации функции выде­ляются направления главных осей линий максимального градиента. Если представить рельеф заполненным водой, то она соберется в озера, расположенные в низких частях

212

долин. Минимум, притягивающий воду, получил название аттрактора, причем аттракторы разделяются хребтами, седлами, вершинами на различные бассейны притяжения.

Такая качественная рельефная картина изменится при наличии вырожденных точек, для которых одно или не­сколько значений det £/■■ = 0. Это условие получается при некоторых значениях управляющих параметров с_а. Если при изменении с_а система проходит через вырожденную точку, меняется вся топология, поэтому и говорят о катастрофе. При приближении к этой точке — границе перехода — критические точки рельефа начинают сближаться, а потом и вовсе сливаются. Множество точек с_а, отвечающих функции с det £/• ■ = 0, разбивают пространство управляющих параметров на области с разными рельефами.

При пересечении границы областей, являющихся гео­метрическим местом особенностей, происходят катаст­рофы состояний системы. Поэтому математики искали эти области и исследовали системы на устойчивость в их окрестностях. Арнольд провел классификацию таких осо­бенностей катастроф и получил удивительное совпадение с классификацией точечных групп, описывающих симмет­рию молекул, а также с правальными многогранниками в евклидовом пространстве (которыми представлял мир

Платон) и простыми группами Ли. Пока причины этих взаимосвязей до конца не выяснены.

Модели с функцией сборки встречаются в механике конструкций, при описании многих колебательных режи­мов, в динамике квантовых систем. Теория катастроф позволяет свести огромное многообразие сложных ситуа­ций к небольшому числу точно изученных схем. Мате­матические образы теории катастроф реализуются в волновых полях. Известны геометрические места точек, в которых происходит фокусировка волнового поля, назы­ваемые в оптике каустиками. При пересечении каустик происходит скачкообразное изменение состояния — меня­ется число лучей, приходящих в данную точку пространства. Для 1-2 переменных и не более 5 управляющих параметров существует семь типов элементарных катастроф. Все семь канонических катастроф имеют в каустиках свои образы. Теория катастроф, широко используемая в метео­рологии, аэро- и гидродинамике, оптике, теории коопе­ративных явлений, квантовой динамике и др., подводит стандартную и эффективную базу под описание качест­венных изменений в нелинейных уравнениях, описывающих далекие от равновесия системы.

21.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭВОЛЮЦИИ. ПОНЯТИЕ БИФУРКАЦИИ

Если теория катастроф описывает области устойчи­вости структур, то развитие этой статической картины во времени дается теорией бифуркаций. Нелинейная система имеет целый спектр решений, и нужно определить, какие из них «ответвляются» от известного решения при изме­нении параметра. Изменения управляющих параметров способны вызывать катастрофические (большие) скачки переменных состояний, и эти переходы осуществляются почти мгновенно (скачком). Состояние системы, описы­ваемой потенциалом U(x_{, с_а), задается точкой х_{, в которой потенциал имеет минимум. При изменении внешних усло­вий меняются управляющие параметры с, которые, в свою очередь влияют на изменения U(x, с). Глобальный минимум может стать метастабильным или исчезнуть, а система перейдет из одного локального минимума в другой.

Момент перехода определяется свойствами системы и уровнем флуктуации в ней. Выделяют два принципа: принципмаксимального промедления, определяемыйсуществованием устойчивого уровня, и принцип Макс­велла, определяющий состояние системы глобальным минимумом. Каждому из принципов соответствует мно­жество точек в пространстве управляющих параметров, в котором происходит переход из одного локального мини­мума в другой. Последовательность бифуркаций, возникаю­щая с ростом неравновесности в системе, меняется, и процесс пойдет по разным сценариям. Выше описано развитие турбулентности при движении жидкости по трубе в зависимости от числа Re (пропорционального скорости потока). Движение становится неустойчивым и при боль­ших Re характеризуется набором N колебаний с несоизме­римыми частотами w_v w₂,... w_n. Это квазипериодическое движение называют динамическим хаосом.

Приведем здесь данную физиком-теоретиком Л.П.Ка-дановым наглядную иллюстрацию перехода к хаосу, кото-

рую используют при рассмотрении биологических проблем. Пусть на изолированном острове выводятся летом насе­комые численностью х_; и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью *-₊₁. Рост попу­ляции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения я- + 1 = с *-(1 - х), а убыль — вторым. Параметр роста с (аналог числа Re в уравнениях гидро­динамики) , результаты расчета — на рис.44, где линии отражают численность популяции при больших значениях /. При с < 1 популяция с ростом У вымирает и исчезает, в области 1 < с < 3 — приближается к значению х = 1 - (1/с), которое получается при подстановке в уравнение вместо z-₊₁ и Xj их предельных значений; эта область стационар­ного состояния. В диапазоне 3 < с < 3,4 —две ветви решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения, откладывается много яиц. Перенасе­ленность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в следующем году, так что период колебаний численности — 2 года. Далее, при 3,4 < с < 3,54 имеем уже 4 ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8,16, 32,64... ветвей.

Итак, существует диапазон значений параметра с, когда поведение системы упорядоченно и периодично; проис­ходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем — химических, электрических, гидродинамических, механических и т.д. В 1978 г. М.Фейгенбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Движение становится апериодическим при больших значе­ниях п, {с_г - с) порядка drⁿ, где п = 4,66 для всех систем. Если выбрать соседние значения *• в 2" цикле, то разность между ними убывает с ростом п как а", где а = 2,5 и тоже является универсальным. Законы, Фейгенбаума подтверж-

213

дены на опытах в совершенно различных по своей природе системах. Иногда их называют (из-за удвоения) законами каскадов Фейгенбаума (рис.45). При с = 3,57 период уже стремится к бесконечности, движение становится аперио­дическим, поведение системы—хаотическим, происходит перекрытие различных решений. Все расчеты на ЭВМ делаются некорректными, зависящими от случайных про­цессов в самой вычислительной машине, решения для близких начальных условий оказываются далекими.

Сценарии перехода к хаосу могут быть и другими. Исследование сценариев связано с анализом свойств стран­ных аттракторов, к которым притягиваются точки (состо­яния системы) в многомерном фазовом пространстве. Введение понятия аттрактора — несомненная заслуга теории катастроф, как и пропаганда знаний об их бифур­кациях. Сейчас к этим терминам привыкли и фонемы речи, к примеру, называют аттракторами звукообразующей динамической системы.

Если популяция растет так, что отношение прироста численности к общей численности остается постоянным, то говорят, что закон роста линейный, а рост — экспотен-циальный. По приросте в 5% популяция увеличивает свою численность вдвое за 14 лет. Но для роста есть пределы, на что обратил внимание П.Ферхюльст еще в середине ХГХ в. Он заключил, что прирост должен бытьнелинейным. Уравнение Ферхюльста используют и для описания свойств турбулентного потока при приростах около 200%. В этой области происходят колебания, и становится невозможно достижение оптимальной численности. Когда он превысит 245%, происходит такое усложнение поведения систем, что возникает хаос. Это и обнаружил Э Лоренц для явлений в атмосфере.

Свойства аттракторов задаются набором траекто­рий в пространстве и переменных состояния, зависящих от времени, как от параметра. В обычном аттракторе эти траектории простые, среди них есть замкнутые, назы­ваемые предельными циклами. В странном — запутан­ные, не похожи ни на точки, ни на кривые, ни на поверх­ности; их представляют многослойными поверхностями.

Странность состоит в том, что, попав в область странного аттрактора, точка (выбранное наугад решение) будет «блуждать» там, и только через большой промежуток времени приблизится к какой-то его точке. И поведение системы, отвечающее такой точке, будет сильно зависеть от начальных условий. Итак, при медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затя­гивания потери устойчивости, описанное в 1973 г. Шиш­ковой (рис.46). В 1985 г. было показано, что это свойство имеет место во всех системах с медленно меняющимся параметром.

После прохождения параметра через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла, или мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрест­ности неустойчивого состояния некоторое время, за кото­рое параметр меняется на конечную величину. После этого система скачком переходит в момент бифуркации в автоко­лебательный режим (уже ставший жестким). Существо­вание аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми кривыми на них и устойчивость явлений уста­новлены в начале 60-х годах в работах С.Смейла, Д.А.Ано­сова, Я.Г.Синая. Независимо от этих работ Лоренц в 1963 г, описал наблюдавшийся им в численных экспериментах по моделированию конвекции в атмосфере аттрактор с раз­бегающимися фазовыми кривыми и указал на связь его с турбулентностью. Перепутывание частот при таком ре­жиме оказывается принципиальным, получается, что час­тоты определены законами динамики и, следовательно, детерминированы. Поэтому и хаос назван детерминиро­ванным.

Итак, в точке бифуркации поведение системы «разветв­ляется», становится неоднозначным. При достижении третьей бифуркации наступает состояние динамического хаоса, который скрывает внутреннюю упорядоченность. Проблема выяснения условий возникновения порядка из хаоса стала на повестку дня в грядущем столетии. По словам известного физика — теоретика Уилера, это — задача номер один современной науки.

21.5. СИНЕРГЕТИКА — НОВЫЙ НАУЧНЫЙ МЕТОД

Аналогию с фазовыми переходами отметили не­сколько ученых, работавших в квантовой электронике: немецкие ученые Грэхем и Хакен и итальянские — де Джиржио и Скулли в 1970 г. Если рассматривать излучение лазера и лампы накачки, то можно сказать, что оно претер­пело фазовый переход и изменило свои свойства — свет стал когерентным, более узким в спектральном отно­шении и усиленным по направлению испускания. Сначала такая аналогия казалась поверхностной, но с каждым параметром фазового перехода в парамагнетике удалось сопоставить соответствующий параметр квантовой гене­рации. Возражение, касающееся искусственности создания самого прибора, творящего эти превращения со светом, были сняты, когда открыли мазеры в космическом прост­ранстве, где генерация происходила естественным путем.

Коллективные процессы Хакен выделил во всехсамоорганизующихся системах: коллективно организу­ются — молекулы в узлах кристаллической решетки,

элементарные магнитные моменты (спины) в ферромагне­тике, вихри внутри жидкости, порождая видимую на макро­скопическом уровне структуру. Возбуждаясь в рабочем веществе лазера, атомы самосогласованно и коллективно испускают когерентное излучение. Итак, кооператив-ностъ — общая черта процессов самоорганизации. Кроме того, инверсная населенность, как и неравновесное состоя­ние в жидкостях, должна поддерживаться внешней средой, только в этом случае возникающие структуры будут устой­чивы. Система должна быть открытой. Устойчивые струк­туры возникают при обмене с внешней средой энергией (или веществом — для биологических систем), которые могут поддержать отклонение от равновесия. Этот внешний поток не только гасит рост энтропии, но может привести к ее понижению. И еще: для самоорганизующихся систем непре­менными атрибутами являются сложное движение, описы­ваемое нелинейными уравнениями, и пороговый характер возникновения.

214

Эти самоорганизующиеся системы и процесс самоорга­низации математически оформили следующим образом: сначала просто записали связь эффекта с его причиной в зависимости от времени, а потом исключили внешнее воздействие, предоставив систему самой себе. Хакенрасширил систему так, чтобы включенные в уравнения внешние силы стали силами внутренними, и описал меха­низм нарастания внутренних флуктуации с помощью введения стохастического члена. Так самоорганизация определяется характером взаимодействия случайных и необходимых факторов системы и ее среды. В дальнейшем он разработал теорию лазерной генерации как фазового перехода, а потом теорию гидродинамических неустой-чивостей как фазовых переходов. Для них удалось получить не только теоретическое подтверждение факта сущест­вования ячеек Бенара, но и описание положения шести­угольных цилиндров и их диаметров. И каждый раз в этой аналогии открывались более глубинные черты. Развива­емый методдал интересные результаты при рассмотрении фазового перехода — разрушения упругой конструкции (моста, например). Так стал работать новый метод — синергетический, основанный на идее синтеза.

Самоорганизация происходит при генерации в атом­ной системе. В кристалле твердотельного лазера имеются активные, возбужденные накачкой от внешнего источника атомы, которые работают как антенна и испускают цуг волн. При малой мощности накачки световые цуги испус­каются независимо друг от друга, и лазер работает, как обычная лампа, испуская некогерентный свет. Начиная с некоторого значения мощности накачки {порогового), все антенны начинают работать согласованно, атомы испус­кают свет в одной фазе, возникает гигантский цуг коге­рентного лазерного излучения, интенсивность излучения резко возрастает (на торцах кристалла — зеркала, отби­рающие цуги). Переход лазера в режим генерации соответ­ствует образованию ячеек Бенара. В сверхкритической области устанавливается стабильный режим лазера, тогда как у простой лампы—неустойчивый. Очевидно, что лазер является системой, находящейся вдали от равновесия. Имеет место кооперативное поведение атомов и излучения.

Основные свойства самоорганизующихся систем: открытость, нелинейность, диссипативность. Система должна находиться в состоянии, далеком от равновесия.

Открытость системы обеспечивается непрерывным потоком вещества, энергии или информации, получаемым из внешней среды на поддержание определенного состоя­ния. В таких системах флуктуации играют определяющую роль, могут привести к необратимому макроскопическому изменению состояния системы, разрушить созданный в ней порядок.

На нелинейные системы не распространяется принцип суперпозиции, т.е. возможно, чтобы совместные действия двух причин привели к результату, совершенно отличному от того, который был бы, если эти причины действовали по отдельности. Процессы в нелинейных системах носят пороговый характер — в состояниях, далеких от равно­весия, слабые возмущения могут усиливаться и радикально перестроить систему. Нелинейные системы, открытые и неравновесные, сами создают в среде неоднородности. Между средой и системой может установиться положи­тельная обратная связь (так, в реакции может вырабаты­ваться фермент, присутствие которого стимулирует выра­ботку его же самого). Важно найти эту петлю положи­тельной обратной связи, и в системе начнется режим самоорганизации. В химии — это автокатализ, в молеку­лярной биологии—основа жизни. Системы неравновесные необычно и «чутко» реагируют на внешнее воздействие и «учитывают» их в своем функционировании. Поэтому некоторые слабые воздействия могут оказать на эволюцию системы большее влияние, чем сильные, но не адекватные собственным тенденциям системы.

Диссипативность — качественно своеобразное макро­скопическое проявление процессов, происходящих на микроуровне. Она проявляется в разных формах—способ­ности «забывать» детали некоторых внешних воздействий; в «естественном отборе» среди многих микропроцессов для обеспечения основной тенденции развития; в когерент­ности микропроцессов, устанавливающей темп развития и пр. С ней связано понятие «параметра порядка», выде­ляющего только ведущие степени свободы из всех возмож­ных для системы. Уравнения для параметров порядка намного проще, и основная задача — найти параметры порядка системы при моделировании поведения системы.

Итак, переход от хаоса к порядку поддается матема­тическому моделированию, причем универсальных моде­лей такого перехода оказалось не так много. Они пригодны в разных областях естествознания, в истории, экономике, экологии и пр. История развития природы — история образования все более сложных форм. И они обеспечивают эволюцию природы на всех уровнях организации — вплоть до самых высших. Ферми и фон Нейман в 50-е годы увле­кались решением на ЭВМ задачи о возникновении тепло­вого хаоса в цепочке грузов с нелинейными пружинками. Ферми, Паста и Улам (ФПУ) получили неожиданный результат: такая система описывается уравнением КдФ. Так солитоны обрели второе рождение. Они ведут себя как частицы, и были найдены в разных средах. Ярким прило­жением солитонной теории стало явление самоиндукци-рованной прозрачности, которое привело к идее «опти­ческого телеграфа» — передачи светового солитона по стекловолокну.