4.4. Закон всемирного тяготения

Многие не приняли теорию Ньютона как теорию дейст­вия на расстоянии. Гюйгенс стал развивать теорию близко-действия, используя гидродинамическую модель вращаю­щейся жидкости, наподобие вихрей Декарта. Лейбниц также придерживался вихревой модели, которая была наглядна в объяснении воздействия тел. Но простой меха-

51

ции. Была предпринята попытка проверки закона тяготения на Земле, и критерием стала форма Земли, По вихревой модели наша планета должна была быть вытянута у полю­сов, а по теории Ньютона — сплюснута.

Были организованы специальные экспедиции в Перу и Лапландию (1735, 1736-1737 гг.) для уточнения фигуры Земли. Мопертюи руководил экспедицией на север, которая показала сплюснутость нашей планеты у полюса, а сам Мопертюи получил известность как «великий сплющива-тель», поскольку было установлено, что Земля сплюснута, и экваториальный радиус больше полярного на 21 км. В этой экспедиции принимал участие А.Клеро. После возвращения он обработал полученные результаты и опубликовал книгу «Теория фигуры Земли», построенную на основе гидро­статической модели эллипсоида вращения. Клеро пред­положил, что Земля ранее была жидкой, ее частицы взаимо­действовали друг с другом по закону всемирного тяготения, и вся масса медленно вращалась вокруг неподвижной оси. Эта работа имела огромное значение для геодезии и теории Земли. Тем самым теория тяготения Ньютона получила подтверждение на Земле. Это нанесло удар по взглядам ученых, которые считали, что все процессы физического мира можно представить наглядно.

Солнечную систему, согласно закону Ньютона, можно представить в виде гигантского механизма, в котором движением всех его элементов управляет сила притяжения. Однако, изучая движение конкретной планеты, например, Марса, нельзя не учитывать воздействие на координаты его орбиты других планет и их спутников, хотя оно и маю по сравнению с притяжением Солнца и сводится к так назы­ваемым возмущениям, или пертурбациям (лат. perturbatio «расстройство, смятение»). Английский астроном и гео­физик Э.Галлей, изучая материалы астрономических наблю­дений, обратил внимание на сходство орбит комет 1456, 1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около 76 лет). Он пришел к выводу, что во всех этих случаях была одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г. Однако из-за возмущающего действия Юпитера и Сатурна, комета Галлея несколько запоздала и появилась только в следующем, 1759 году почти в точном соответствии с расчетами Клеро — он ошибся только на 19 дней! Пред­сказание возвращения кометы стало первой убедительной победой теории Ньютона.

Клеро проверят теорию Ньютона и но движениям Луны. Он составил точные лунные таблицы и по своим разработ­кам написал книгу «Теория движения Луны», изданную в Петербурге в 1751 г. За теорию движения Луны и предска­зание появления кометы Галлея Клеро получил премию Петербургской Академии наук. Близость Луны к Земле позволяла провести измерения достаточно точно. Еще в 1693 г. Галлей заметил, что современные ему данные по орбите Луны расходятся с древними наблюдениями так, будто орбита уменьшается за столетие на 10". Объяснения этому явлению давали Эйлер и Лаплас (1787 г.), но они верны только отчасти. Эйлер связывал ускорение с тормо­жением в окружающей среде, а не с тяготением. По Лапласу, оно определяется малыми изменениями вытянутостиземной орбиты из-за планетных возмущений. Такие коле­бания существуют, они вызывают наступления ледников,

поскольку за десятки тысяч лет широта местности может измениться на 35°. Но кроме этого фактора есть еще ускорение Луны, вызванное приливами. Этот эффект кажущийся, по-тому что причина — замедление вращения Земли из-за приливного трения. Если дать оценку влияния за миллиард лет, то сутки удвоятся, а Луна удалится от Земли до 600 тыс. км.

Другим явлением, которое вроде бы позволило усом­ниться в пригодности закона тяготения Ньютона, было замеченное ранее некоторое ускорение Юпитера и замед­ление Сатурна (Кеплер, 1625 г. и Галлей, 1695 г.). Таков процесс должен был бы за долгие миллионы лет разрушит солнечную систему, но этого не произошло. Анализ планет­ных возмущений привел Лагранжа (1776 г.) и Лапласа (1784 г.) к так называемой теореме устойчивости солнеч­ной системы: взаимные возмущения планет, движущихся по почти круговым орбитам примерно в одной плоскости и в одну сторону, приводят лишь к почти периодическим колебаниям эксцентриситетов и наклонений вблизи нуля, тогда как расстояния до Солнца колеблются вблизи свои начальных значений. Или — большие оси эллипсов не испытывают вековых возмущений. И эта теорема была доказана Лапласом совершенно строго для первых членов ряда возмущений. Взаимные возмущения Юпитера и Са­турна существуют, и их величина колеблется с периодом в 900 лет. За 450 лет накопления возмущений эта величина составляет меньше одного градуса.

Самым убедительным подтверждением ньютонова закона тяготения явилось открытие «на кончике пера» еще одной планеты, названной Нептуном. В марте 1781 г. У.Гершель открыл новую планету Уран. Для нее были вычислены элементы орбиты и составлены таблицы дви­жения по закону Ньютона. Но через некоторое время заметили, что Уран в своем движении отклоняется от рассчитанного: за 3 года отклонение составило 2', при точности измерений в доли секунды. Молодой французский астроном-теоретик УЛеверье предположил, что это откло­нение вызвано влиянием неизвестной планеты, находя­щейся дальше Урана, и сделал расчет ее орбиты. Леверье сообщил о результатах в письме от 18 сентября 1846 г, берлинскому астроному Галле, который имел звездные карты, содержавшие слабые звезды. Галле сразу же обна­ружил в указанном месте слабую звездочку 8-й величины, которой на картах не было. На следующий день звездочка переместилась относительно ближайших звезд, а в более сильный телескоп удалось разглядеть маленький диск, Несомненно, это была новая планета солнечной системы, иредвычисленная по закону всемирного тяготения. При этом ее положение на небе отличалось от предсказанного расчетом Леверье всего на 52". В это же время молодой английский студент, впоследствии известный астроном, Дж.Адамс независимо от Леверье проделал нужные рас­четы, поэтому у математического предсказания два автора, но официально признан первый. Позже было обнаружено, что в зарисовках Галилеем видимого в его телескоп участка неба есть слабенькая звездочка, которую он не догадался принять за планету.

Открытие новой планеты «на кончике пера» явилось величайшим триумфом науки и, конечно, закона всемир-

52

ного тяготения. Границы солнечной системы расширились почти вдвое.

Планета солнечной системы, Плутон, была открыта 21 января 1930 г. Еще в 1915 г. ПЛовелл решал задачу об орбите новой планеты за Нептуном, которую назвал «плане­той X». Поиски ее были вызваны необъясняемыми непра­вильностями в движении Урана, а не Нептуна, как можно было подумать. Со времени первых наблюдений Нептуна не прошло еще и его «года» (на один оборот вокруг Солнца Нептун затрачивает 165 лет, ведь он удален от Солнца на 4,5 млрд км, или на 30 а.е.). Как уже указывалось, для Нептуна правило Боде-Тициуса не выполнялось, планета должна быть несколько дальше, и потому время ее обра­щения вокруг Солнца должно бы приближаться к 300 земных лет. Поэтому выделить смещение столь неяркой звездочки среди звезд было неимоверно трудно. Ловелл выделил все ошибки и неточности в расчетах движения Урана, но открыть новую планету не успел. Удача открытия Плутона выпала на долю молодого КТомбо. Ему было 23 года, когда он почти случайно обнаружил звездочку слабее 17-й величины на снимке среди тысяч других, так как расчеты Ловелла оказались неточными. Орбита новой планеты оказалась вытянутой столь сильно, что она заходит даже внутрь орбиты Нептуна, как и с 1979 по 1999 гг.

Смещение перигелия Меркурия, обнаруженное около ста лет назад, не удавалось объяснить. По Ньютону, если сила тяготения точно соответствует закону обратных квадратов, то эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, т.е. и ближайшая к Солнцу точка орбиты—перигелий — не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Не учитываемый ньютоновской теорией эффект составлял 43" в столетие, перигелий прецессировал, и орбита напоминала поворачивающийся эллипс. Само измерение столь малой величины с такой точностью представляет собой большое достижение (пог­решность менее 1%). Подозревали, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Возмущения от планет поддаются расчетам, но все иные отклонения требовали бы в законе иную степень. Появилось мнение, что закон всемирного тяготения неточен. Поправил закон Ньютона в 1915 г. А.Эйнштейн: смещение перигелия планеты Мерку­рий удалось объяснить только в рамках общей теории относительности (ОТО). Эти поправки для закона Ньютона могут играть роль только вблизи больших тяготеющих масс (например, черных дыр).

По ОТО, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную Ъ{ь/с)². Для Меркурия угол поворота перигелия за сто лет составляет 42,91". Эта величина соответствует обработке наблюдений Меркурия с 1765 по 1937 гг. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей и вблизи больших масс нужны иные законы (рис.5).

У.Гершель, открывший планету Уран и два ее спутника и измеривший звездный параллакс, хотел доказать, что острова во Вселенной существуют в самом деле, каждый из них состоит из миллионов звезд, которые удерживаются

вместе в динамической системе за счет взаимного притя­жения. Подобно Гюйгенсу и Ньютону, он считал, что все звезды имеют одинаковую светимость. В таком случае яркая звезда в паре со слабой должна находиться к нам ближе, чем слабая, и тогда ее смещение за год будет больше. За 1782-1784 гг. Гершель измерил угловые расстояния примерно 700 звезд, но смещения были не те, что он ожидал. И только в 1803 г. он понял, что открыл орбитальные движения звезд, которые образуют физические пары и компоненты которых движутся вокруг общего центра масс в соответствии с законом Ньютона. Значит, этот закон всемирный. На основе ньютонова закона тяготения У.Гер­шель, Кант и Ламберт стали объяснять видимые явления во Вселенной. У.Гершель открыл двойные звезды, составив к 1784 г. каталог из семисот двойных и кратных звезд. Он впервые применил закон всемирного тяготения вне пре­делов солнечной системы и установил наличие орбиталь­ного движения (вокруг общего центра тяжести) длядвойных звезд. Впоследствии эти звезды были названы визуально-двойными.

Кроме того, Гершель пришел к выводу, что звезды в некоторых парах имеют разную светимость, а таких пар, где яркость одной превышала яркость другой в сотни раз, оказалось множество, что не могло быть объяснено разной удаленностью звезд в каждой паре. По Гершелю, все наблю­даемые в телескоп звезды образуют вместе с Млечным Путем тот остров, к которому принадлежит и наше Солнце, а далекие «мировые острова» представляются нам туман­ностями, как считал еще Кант. Гершель считал, что плане­тарные туманности — это звездные системы в последней стадии гравитационного коллапса, и потому «звезды, их образующие в результате некоторых нарушений или утраты энергии, уже не могут больше поддерживать своего перво­начального положения... и, наконец, собираются вместе и вследствие соударений объединяются в новое тело». Это объясняло природу «новой» звезды, которую видел Тихо Браге в 1572 г. Гершель столкнулся в 1790 г. с новым явлением — «звездой примерно 8-й величины со слабо­светящейся атмосферой!» Это была планетарная туман­ность NGC 1514. И он нашел объяснение — это звезда, конденсирующаяся из облака светящегося вещества под действием гравитации. Так У.Гершель все более подчер­кивал единство Вселенной и роль в этом закона всемирного тяготения.

Таким образом, к триумфам закона всемирного тяго­тения можно отнести в Солнечной системе: предсказание возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем планеты Плутон, сплюснутость Земли у полюсов, траектории асте­роидов, полеты космических аппаратов и т.п.

Вне Солнечной системы — движение звезд в системе двойных звезд и звездных систем. Но и вне Солнечной системы использование закона тяготения привело к появ­лению ряда парадоксов (фотометрическому, космологи­ческому и др.), которые были разрешены только в ОТО.

В закон Ньютона входит универсальная гравитационная постоянная G, определенная в опытах Кавендиша. Знание ее позволило «взвесить» нашу планету. Средняя плот-

53

ного тяготения. Границы солнечной системы расширились почти вдвое.

Планета солнечной системы, Плутон, была открыта 21 января 1930 г. Еще в 1915 г. ПЛовелл решил задачу об орбите новой планеты за Нептуном, которую назвал «плане­той X». Поиски ее были вызваны необъясняемыми непра­вильностями в движении Урана, а не Нептуна, как можно было подумать. Со времени первых наблюдений Нептуна не прошло еще и его «года» (на один оборот вокруг Солнца Нептун затрачивает 165 лет, ведь он удален от Солнца на 4,5 млрд км, или на 30 а.е.). Как уже указывалось, для Нептуна правило Боде-Тициуса не выполнялось, планета должна быть несколько дальше, и потому время ее обра­щения вокруг Солнца должно бы приближаться к 300 земных лет. Поэтому выделить смещение столь неяркой звездочки среди звезд было неимоверно трудно. Ловелл выделил все ошибки и неточности в расчетах движения Урана, но открыть новую планету не успел. Удача открытия Плутона выпала на долю молодого КТомбо. Ему было 23 года, когда он почти случайно обнаружил звездочку слабее 17-й величины на снимке среди тысяч других, так как расчеты Ловелла оказались неточными. Орбита новой планеты оказалась вытянутой столь сильно, что она заходит даже внутрь орбиты Нептуна, как и с 1979 по 1999 гг.

Смещение перигелия Меркурия, обнаруженное около ста лет назад, не удавалось объяснить. По Ньютону, если сила тяготения точно соответствует закону обратных квадратов, то эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, т.е. и ближайшая к Солнцу точка орбиты—перигелий—не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Не учитываемый ньютоновской теорией эффект составлял 43" в столетие, перигелий прецессировап, и орбита напоминала поворачивающийся эллипс. Само измерение столь малой величины с такой точностью представляет собой большое достижение (пог­решность менее 1%). Подозревали, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Возмущения от планет поддаются расчетам, но все иные отклонения требовали бы в законе иную степень. Появилось мнение, что закон всемирного тяготения неточен. Поправил закон Ньютона в 1915 г. АЗйнштейн: смещение перигелия планеты Мерку­рий удалось объяснить только в рамках общей теории относительности (ОТО). Эти поправки для закона Ньютона могут играть роль только вблизи больших тяготеющих масс (например, черных дыр).

По ОТО, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную 3(v/c)². Для Меркурия угол поворота перигелия за сто лет составляет 42,91". Эта величина соответствует обработке наблюдений Меркурия с 1765 по 1937 гг. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей и вблизи больших масс нужны иные законы (рис.5).

У.Гершель, открывший планету Уран и два ее спутника и измеривший звездный параллакс, хотел доказать, что острова во Вселенной существуют в самом деле, каждый из них состоит из миллионов звезд, которые удерживаются

вместе в динамической системе за счет взаимного притя­жения. Подобно Гюйгенсу и Ньютону, он считат, что все звезды имеют одинаковую светимость. В таком случае яркая звезда в паре со слабой должна находиться к нам ближе, чем слабая, и тогда ее смещение за год будет больше. За 1782-1784 гг. Гершель измерил угловые расстояния примерно 700 звезд, но смещения были не те, что он ожидал. И только в 1803 г. он понял, что открыл орбитальные движения звезд, которые образуют физические пары и компоненты которых движутся вокруг общего центра масс в соответствии с законом Ньютона. Значит, этот закон всемирный. На основе ньютонова закона тяготения У.Гер­шель, Кант и Ламберт стали объяснять видимые явления во Вселенной. У.Гершель открыл двойные звезды, составив к 1784 г. каталог из семисот двойных и кратных звезд. Он впервые применил закон всемирного тяготения вне пре­делов солнечной системы и установил наличие орбиталь­ного движения (вокруг общего центра тяжести) длядвойных звезд. Впоследствии эти звезды были названы визуально-двойными.

Кроме того, Гершель пришел к выводу, что звезды в некоторых парах имеют разную светимость, а таких пар, где яркость одной превышала яркость другой в сотни раз, оказалось множество, что не могло быть объяснено разной удаленностью звезд в каждой паре. По Гершелю, все наблю­даемые в телескоп звезды образуют вместе с Млечным Путем тот остров, к которому принадлежит и наше Солнце, а далекие «мировые острова» представляются нам туман­ностями, как считал еще Кант. Гершель считал, что плане­тарные туманности — это звездные системы в последней стадии гравитационного коллапса, и потому «звезды, их образующие в результате некоторых нарушений или утраты энергии, уже не могут больше поддерживать своего перво­начального положения... и, наконец, собираются вместе и вследствие соударений объединяются в новое тело». Это объясняло природу «новой» звезды, которую видел Тихо Браге в 1572 г. Гершель столкнулся в 1790 г. с новым явлением — «звездой примерно 8-й величины со слабо­светящейся атмосферой!» Это была планетарная туман­ность NGC 1514. И он нашел объяснение — это звезда, конденсирующаяся из облака светящегося вещества под действием гравитации. Так У.Гершель все более подчер­кивал единство Вселенной и роль в этом закона всемирного тяготения.

Таким образом, к триумфам закона всемирного тяго­тения можно отнести в Солнечной системе: предсказание возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем планеты Плутон, сплюснутость Земли у полюсов, траектории асте­роидов, полеты космических аппаратов и т.п.

Вне Солнечной системы — движение звезд в системе двойных звезд и звездных систем. Но и вне Солнечной системы использование закона тяготения привело к появ­лению ряда парадоксов (фотометрическому, космологи­ческому и др.), которые были разрешены только в ОТО.

В закон Ньютона входит универсальная гравитационная постоянная G, определенная в опытах Кавендиша. Знание ее позволило «взвесить» нашу планету. Средняя плот-

53

ностъ Земли оказалась больше плотности вблизи ееповерхности, и пришлось признать, что Земля неоднородна, а ее плотность растет с глубиной. Это подтверждают и другие исследования, в частности сейсмические.

На земной поверхности ускорение свободного падения примерно постоянно. Оно отличается из-за сплюснутости у полюсов на 0,18% и из-за центробежных сил при пере­мещении от экватора к полюсу—на 0,34%. Уровень земных морей и океанов, испытывающий периодические изме­нения, связанные с лунными сутками, зависит от прилив­ного (или дифференциального) гравитационного притя­жения.

С ним же связаны и другие эффекты, которые (хотя и малы) заметны: так, .лунные сутки примерно на час длиннее, ось вращения Земли испытывает прецессию с периодом примерно 26 000 лет, большая ось лунной орбиты вращается

в прямом направлении (в направлении ее орбитальной движения) с периодом почти 9 лет, точки пересечет лунной орбиты с земной (узлы лунной орбиты) движута несколько назад вдоль орбиты с периодом 18,6 лет и т,д При этом приливообразующая сила Луны более чем i 2 раза больше, чем Солнца, поскольку эта сила пропор­циональна кубу расстояний (что следует из расчета! использованием закона тяготения Ньютона).

Точное и устойчивое решение задачи трех тел, как было показано позднее Лагранжем, возможно только в том случае, когда три тела лежат в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося вокруг центра масс данной системы с постоянной зтловой скоростью 2п/Т. Эти точки устойчивости определяют оптимальные условия работы космических станций.

4.5. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

_I

Закон всемирного тяготения определяет притяжение двух точечных масс. Для двух точечных неподвижных зарядов сила электростатического взаимодействия {закон Кулона) имеет такой же вид, как и в поле гравитации, только вместо масс будут стоять заряды qaQ. Знак зарядов может быть разным в отличие от масс, которые всегда положительны. Поэтому сила может быть притягиваю­щей (-) или отталкивающей (+).

Если тело не подвергается никакому воздействию, его состояние движения (скорость) остается постоянной. При взаимодействии двух тел сохраняется импульс Р = Mv. Инертная масса М определяется так, чтобы импульс при столкновении двух тел оставался неизменным. При упругом столкновении тел сохраняется еще одна величина — (1/2) Mv², или кинетическая энергия (раньше ее называли живой силой). Эта величина всегда положительна. При неупругих и прочих взаимодействиях изолированных двух тел сохра­няется сумма кинетической и потенциальной энергий, или полная энергия системы.

В изолированной системе сохраняется и момент им­пульса, который часто называют кинетическим моментом. Он равен векторному произведению расстояния г от оси вращения и импульсаMv.

Реакция вращающейся системы на внешнее воздействие проявляется вгироскопических эффектах. Земля —большой волчок, и ось ее вращения сохраняет свой наклон по отношению к горизонтали практически неизменным, но испытывает прецессию относительно вертикальной оси.

Потенциальную энергию считали равной «ушедшей» на время кинетической энергии. Выделим три случая:

а)в поле гравитации потенциальная энергия пропор­ циональна вертикальному смещению тела и его инертной массеЕ_и =Mgk. Более точным является выражениеG(mM I r), в которое входят расстояние до центра Земли г и универсальная постоянная G. По мере удаления от центра Земли потенциальная энергия начинает убывать скорее, и в знаменателе этой формулы будет стоять г¹. При малых перемещениях вблизи поверхности сохраняется Mgh;

б)потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату ее деформацииЕ_п = (1/2)kx²;

в) магнитная потенциальная энергия в грубом прибли­жении обратно пропорциональна первой степени рассто­яния между магнитами:Е„ „„„„ =К / х.

И. Mdl п

Наклон графика зависимости потенциальных энергий от расстояния отражает тенденции изменения.

Сила, которую развивает система при убывании ее потенциальной энергии, выражается через наклон кривой потенциальной энергии, взятой со знаком «минус»:F = -(дЕ I дх). Сила измеряется соответственно в Дж/м. В честь Ньютона эту единицу назвали ньютоном: 1 Дж/м= = 1Н.

Для указанных выше значений потенциальных энергий получим значения силы по записанной выше формуле. По­скольку для потенциальной энергии гравитации, равной Mgh, график — прямая с постоянным наклоном, то и сила гравитации равна Mg. Она представляет вес тела и направ­лена вертикально вниз. Дня сжатой пружины потенциальная энергия пропорциональна квадрату сжатия, поэтому сила пропорциональна величине сжатия и направлена в проти­воположную сторону: F = -kx. Для отталкивания цилинд­рических магнитов потенциальная энергия пропорцио­нальна обратной величине расстояния между полюсами магнитов, поэтому сила пропорциональна обратной вели­чине квадрата расстояния, т.е.1/х².

Работа есть скалярное произведение силы на пере­мещение, на протяжении которого она действует, можно записать: А = F - х. Но работа равна изменению потенци­альной энергии той системы, на которую сшта воздействует. А сила может увеличить и скорость тела (кинетическую энергию), и его потенциальную энергию, связанную с его положением. Отсюда иное определение силы:

Сила — это изменение потенциальной энергии сис­темы, отнесенное к тому расстоянию, на котором оно произошло, равно изменению импульса системы, отнесен­ному к тому времени, за которое оно произошло. Это понятие наглядно, оно сохранилось с древних времен, а в современной науке оно является производным от энергии, сохраняющейся величины.

В изолированных системах при движении сохраняется полная энергия системы. Кроме того, для поступательного

54

движения сохраняется импульс, а для вращательного — момент импульса. Поскольку последние две величины — векторные, и каждой из них соответствует по три сохра­няющихся компоненты импульса и момента импульса. Таким образом, при взаимодействиях в изолированных системах имеют место семь сохраняющихся величин.

Установленные связи между свойствами пространства и времени и законами сохранения содержались в скрытой форме в принципах классической механики Галилея-Ньютона. Галилей рассматривал пространство и время как реальности, существующие вне нашего сознания. Открытый им принцип относительности отражал однородность и изотропность пространства. У Ньютона пространство и врем абсолютны в том смысле, что свойства пространства не зависят от движущихся в нем тел и протекающих механи­ческих явлений, а свойства времени — от движущейся материи. Пространство и время не связаны между собой, они как бы арена, где происходят события. Однородность и изотропность пространства и времени необходимо сле­дуют из законов Ньютона.

Впоследствии оказалось, что законы Ньютона можно заменить единым постулатом — вариационным принци­пом, который был удобнее во многих отношениях, в част­ности, в том, что его можно использовать при форму­лировке сложных задач. В механике материальной точки этот постулат равноценен законам Ньютона. Схему, осно­ванную на законах Ньютона, иногда называют векторной механикой, поскольку она имеет дело с векторными вели­чинами, например, скоростью, силой, ускорением.

Аналитическая механика —другая схема построения механики, введенная Лейбницем и развивавшаяся Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном. Ее величинами были скаляры, и динамические соотношения получались через операции дифференцирования. Методы аналитической механики позволили решать более сложные задачи, причем оказалось, что их можно распространить на теорию поля или кван­товую механику, где ньютонова механика не применима. В аналитической механике для замкнутых систем сущест­вуют такие функции координат и скоростей образующих систему Л' материальных точек, которые при движении не меняются. Если в системе N материальных точек, то таких сохраняющихся величин, называемых интегралами дви­жения, будет N -1. Среди них есть такие, которые обладают свойством аддитивности. Это свойство можно охаракте­ризовать так: значение интеграла движения для системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Все эти три сохраняющихся величины (или семь скалярных) и являются интегралами движения.

Эстетически вернее было бы постулировать законы механики в аналитической форме, а потом показать, что в некоторых ограниченных простейших случаях можно получить законы Ньютона. Но векторная форма проще и нагляднее, поэтому решение — какой путь избрать при обучении — неоднозначно. В аналитической механике показывается, что состояние любой системы можно опи­сать введением функции Лагранжа, зависящей от координат и скоростей. И если известно, что в моменты времени t_i и t₂ система занимает определенные положения, характе-

ризуемые наборами координат, то среди возможных дви­жений между этими положениями реальным будет то, вдоль которого действие будет иметь минимум. Действиемназывается интеграл от функции Лагранжа от t_l до t₂: S=SL(q,q,t)dt

Для сложных систем, которые имеют N степенейсвободы, оказываются N сохраняющихся величин. Но не все они одинаково важны, некоторые имеют общее значение, связанное со свойствами симметрии пространства и вре­мени. С однородностью времени оказался связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства — закон сохранения импульса, с изотропией — закон сохра­нения момента импульса. Мы не имеем возможности получить здесь эти законы из свойств симметрии из-за необходимости использовать математический анализ.С этим, безусловно, увлекательным выводом можно позна­комиться в более специальной литературе. Но общий вывод аналитической механики приводит к мысли, что пере­численные законы сохранения потому и стали великими, что связаны и определяются свойствами симметрии прост­ранства и времени.

«Симметричное обозначает нечто, обладающее хоро­шим соотношением пропорций, а симметрия — тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», — писал Г.Вейль. При этом он ссылается не только на простран­ственные соотношения, но также синонимом симметрии считает гармонию, указывающую на акустические и музы­кальные приложения идеи симметрии. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Симмет­рия широко распространена в природе (вспомним причуд­ливую симметрию снежинок).

Зеркальная симметрия в геометрии относится к опера­циям отражения или вращения. Она была особо почитаема на древнем Востоке, что отражено в орнаментах и скульп­турах той эпохи. Западное искусство, напротив, смягчало и даже слегка нарушало строгую симметрию. Мелкие организмы, взвешенные в воде, имеют почти шарообразную форму. У организмов, живущих в морских глубинах и подверженных давлению тяжести, множество поворотов вокруг центра (т.е. вращательная способность) свелось к отдельным поворотам вокруг некоторой оси. Действие факторов филогенетической эволюции, стремившейся вызвать наследственное различие между правым и левым, тормозилось теми преимуществами, которые животное извлекало из зеркально-симметричного расположения своих органов. Этим можно объяснить, почему наши конеч­ности более подчиняются симметрии, чем внутренние органы. Возможно, это связано и с онтогенезом левого и правого, с плоскостью первого деления клетки.

Наибольшей симметрией обладают кристаллы, но не у всех из них наблюдается зеркальная симметрия. Сущест­вование оптически активных кристаллов, т.е. поворачи­вающих плоскость поляризации падающего на них света, долгое время казалось удивительным. Было установлено, что большинство соединений углерода в природе встре­чается и в той, и в другой форме. Расположение сердца и закручивание кишечника у человека почти всегда (99,98%)

55

левостороннее. В нашем теле у глюкозы правовращающая форма, у фруктозы — л ее о вращающая.

В пространстве различие между правым и левым свя­зано с ориентацией винта, т.е. структура пространства не позволяет отличить их иначе, как с помощью догово­ренности или произвольного выбора, на что указывал еще Лейбниц. В физике правое и левое — эквивалентны, а в мифологических представлениях символизируют соответ-

ственно добро и зло. Люди при встрече пожимают друг дру1у правую руку, в живописи правое создает иное настрое­ние, чем левое.

Понятие симметрии играет в жизни человека важную роль. Природа красива и требует для своего описания красивых уравнений. Возможность записать законы при­роды с помощью математического кода — величайшее открытие человечества.