Глава 5. Континуальная концепция описания природы

5.1. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПРИРОДЕ И ИХ

Современный мир полон волн: волны звука, распростра­няющиеся в воздухе и других веществах; переменный ток, используемый в быту и технике; волны механических колебаний в струнах или кристаллах кварца, используемые для стабилизации частот радиопередатчика или в часах; волнение и зыбь в озерах, прудах и океанах; волны земле­трясений, изучаемые сейсмологами; электромагнитные волны, которые образуют свет и передают информацию по теле- и радиоканалам; волны вероятности, используемые в мире квантов для предсказания поведения микрочастиц и более сложных форм вещества; волны гравитационные, которые хотят поймать из дальнего космоса, и т.д.

Механические колебания — это движения, которые (точно или почти точно) повторяются через определенные промежутки времени. Чаще всего они возникают при нарушении устойчивого состояния равновесия системы, при выведении системы из этого состояния равнодействующая сил не равна нулю. При этом одна из сил должна зависеть от времени, и система должна обладать избыточной энер­гией, Если трением пренебречь, за полное колебание выполняется закон сохранения и превращения энергии. Колебания могут происходить при наличии упругих сил, силы тяжести; электрические колебания (напряжений и сил токов) происходят в электрических цепях, вокруг которых колеблются напряженности электрического и магнитного полей. Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются общие закономерности. Система, соверша­ющая колебания, называется осциллятором.

Волны — это изменение состояния среды, распростра­няющееся в ней без переноса вещества и несущее с собой энергию и импульс. Энергия, импульс и скорость—важней­шие характеристики волн. Процесс распространения коле­баний (волна) может быть описан в общем виде математи­чески и применим ко многим системам. Основные свойства волн можно изучить на простых примерах и сформули­ровать общие положения, которые будут справедливы для любого типа волн.

Электромагнитные волны, приходящие на Землю от Солнца, в широком диапазоне длин волн несут энергию порядка 1 кВт/м^; эта энергия преобразуется зелеными растениями в химическую. При сжигании дерева или угля мы вновь высвобождаем эту энергию и используем ее. Наличие импульса у электромагнитных волн менее замет­но, но оно было даже измерено в 1912 г. П.НЛебедевым. Существуют даже проекты использования светового давле­ния на огромные паруса для передвижения в Солнечной

ОПИСАНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

системе. Морские волны бьются о берега, при штормах ворочают огромные камни и переворачивают гигантские корабли. Телецентр излучает волны мощностью в десятки тысяч ватт, матую долю которых улавливают наши теле­визоры. Во всех этих ситуациях волны переносят энергию любой величины от одной точки к другой. Волны распрост­раняются в пространстве с конечной скоростью, зависящей от среды их распространения: так, световые волны распро­страняются со скоростью 300 000 км/с, звуковые (в воз­духе) — 344 м/с.

На языке колебаний и волн наиболее ясно предстает единство природы. Гармонические колебания описываются функцией: А = Л₀ + A sin (kt + ф₀), где А₀, A, k, ф₀ — постоянные величины:А — амплитуда колебаний,(kt + фо) — фаза, А_й — центр гармонического колебания, k — круговая частота, (2я/А) = Т — период колебаний, (1/7) = v — частота. Если амплитуда убывает со временем, то колебания являются затухающими; если они происходят под действием внешней, периодически повторяющейся силы, их называют вынужденными; если же — за счет внутренних сил системы после выведения системы из состояния равновесия, то это — свободные колебания. Колебательные явления могут иметь разную природу, но обладают общими чертами и даже подчиняются общим закономерностям, что позволяет единым образом рассмат­ривать механические, электрические и другие колебания. Поэтому их классифицируют и по способу возбуждения, по зависимости какой-то изменяющейся величины от времени и пр. По способу возбуждения различают колебания собст­венные, вынужденные, параметрические и автоколебания, С точки зрения кинематики различают периодические и непериодические колебания.

Всякая система, совершающая колебания, обладает своим способом колебательного движения, которому соответствуют собственные колебания, а им, в свою оче­редь, собственные частоты. В любом колебании можно выделить собственные колебания системы. Если на систему подействовать периодически меняющейся силой, то сис­тема откликнется малыми колебаниями, частота которых будет совпадать с частотой вынуждающей силы. Если частота внешней силы совпадет с одной из собственных частот системы, то развивающиеся колебания будут иметь большую амплитуду. Явление резкого возрастания ампли­туды вынужденных колебаний при совпадении частот вынуждающей внешней силы с собственной частотой системы называется резонансом. Резонанс имеет место при

настройке радиоприемника на частоту передающей стан­ции. В нелинейных системах, содержащих источник энер­гии, могут возникать незатухающие колебания и без внеш­него воздействия — это автоколебания. А при внешнем воздействии в таких системах могут возникать автопара­метрические колебания. Любое повторяющееся движение можно рассматривать как результат сложения простых гармонических колебаний, а любое волновое движение — как сумму простых гармонических волн.

Этот тезис, доказанный (1822 г.) французским мате­матиком и физиком Ж.Б.Фурье, служит основой для изу­чения повторяющихся явлений в самых разных областях. Волновые свойства света и микрочастиц лежат в основе современной картины мира. Гармоническое колебание играет значительную роль при изучении колебаний, отли­чающихся от гармонических (особенно в акустике и оп­тике).

Гармонический осциллятор, определяемый колеба­ниями массы, прикрепленной одним концом к пружине, является самым простым примером гармонического дви­жения. Если сместить массу, а затем это воздействие устранить, то со стороны пружины на массу будет дейст­вовать возвращающая сила, направленная в сторону, противоположную силе, вызвавшей смещение (будем считать, что трение отсутствует). Для небольших смеще­ний х возвращающая сила F = -kx. Используя второй закон Ньютона, можно записать: F = MW=-kx, откуда ускорение pmm:W=-(k/M)x.

Это выражение — основной закон простого гармони­ческого колебания — ускорение материальной точки математического маятника пропорционально смещению. Под математическим маятником понимают маятник, состоящий из точечной массы, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. При малой амплитуде почти каждый колебательный процесс можно считать гармоническим.

Период колебаний маятника при малых амплитудах, как еще Галилей установил, определяется его длиной и не зависит от массы маятника. Период колебания маятников разной длины пропорционален квадратному корню из их

длин Т_м = 2% ^(L/g); пружины — обратно пропорционален

собственной частоте колебаний со = 1 / V(MA). Это свой­ство изохронности колебаний маятника использовалось в XVII в. для отсчета равных промежутков времени, но колебания затухали, приходилось маятник подталкивать, и не было автоматического счета числа колебаний. Гюйгенс применил маятник в своих часах в качестве регулятора и довел их до практического применения и коммерческого успеха. Восемнадцатое столетие даже получило наиме­нование века часов, хотя тогда они использовались, в основном для определения долготы места.

Монохроматической называется волна, возбуждаемая гармоническим источником. Если колебания происходят по гармоническому закону, то при распространении волны от источника до точки, отстоящей на расстоянии z, волна приходит с некоторым запаздыванием (связанным с конеч­ной скоростью распространения волны: x{t, z) = A cos {t-z/u), где и—скорость распространения волны). В плоской волне амплитуда одинакова везде, а в сферической — убывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Волновой фронт — это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени. Вол­новой фронт отделяет область пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той, где колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называют волновой поверхностью волны. В зависимости от волновой поверхности волны могут быть плоскими или сферическими. Выделяют и волны, которые распростра­няются по поверхности раздела двух сред. Если длина волны меньше глубины водоема, то каждая частица воды на поверхности и вблизи нее движется по эллипсу — комби­нация колебаний в продольном и поперечном направлениях. Вблизи дна — чисто продольное движение. Такие волны называютповерхностными.

Если тело участвует в нескольких волновых движениях, то эти движения складываются в одно. Волновое движение образуется, если колеблющихся частиц много, и они свя­заны между собой. Каждая из колеблющихся частиц испы­тывает влияние сил, стремящихся вернуть их в перво­начальное положение. Поэтому сами частицы или части пружины, например, больших перемещений не совершают, но вдоль пружины распространяется импульс. Если следить за перемещением импульса, проходящего расстояние ах за время dt, то можно ввести его скорость как v = dx/dt. При не очень больших возмущениях среды волновое движение подчиняется принципу суперпозиции, т.е. два импульса могут распространяться в разных направлениях совершенно независимо. Если два импульса проходят через пружину и друг через друга, смещение пружины оказывается равным сумме отдельных смещений. Импульсы, равные во всех отношениях, гасят друг друга в момент встречи (если имеют противоположные знаки) или складываются (при одина­ковом направлении распространения).

Бегущая волна образуется следующим образом. Пусть один конец пружины или струны закреплен и ни одна точка не испытывает смещений, а ко второму концу приложена сила, которая начинает в момент времени t = 0 поднимать и опускать его. При распространении этого воздействия на соседние участки по струне или пружине побежит волна со скоростью v = dx/dt. Расстояние х, которое данный участок волны проходит за время t, равно х = vt. Период 7 возбуждающего колебания будет и периодом волны, за время Тволна распространяется на расстояние, называемое длиной 00л ww. Тогда скорость волны v = (Л/Т) = Xv. Отсюда

и*-о*-(#/7).

Амплитуда волны меняется как: y(t) = y_Q cos (2%/Т) t. Из выражения для скорости волны получаем: t/T = х/Я. Тогда зависимость амплитуды волны от координаты в любой момент времени: у(х) =у₀ cos (2%/Я) х.

В поперечных волнах частицы перемещаются перпен­дикулярно направлению распространения волны. Таковы электромагнитные волны: направления электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распро­странения. Поперечные волны распространяются в твердых материалах, даже звук в твердых телах распространяется в виде поперечных волн. Из-за большой плотности среды скорость распространения звука в них выше, чем в газе. Смещение среды может также вызвать импульс, распрост­раняющийся перпендикулярно к смещению. Этот вид волн

57

соответствует деформации сдвига в твердых телах, но в них возможно распространение и волн типа сжатие-растяжение. Такой эффект мы наблюдали, когда резким боковымдвижением посылали импульс вдоль веревки.

В продольных волнах частицы перемещаются вдоль направления распространения волны «взад — вперед». Пример — распространение звука или волн сжатия — растяжения в самой пружине, и эти колебания происходят по гармоническому закону. В звуковых волнах плотность газа, где распространяется звуковая волна, меняется по синусоидальному закону. При забивании гвоздя молотком продольный импульс высокой плотности проносится вдоль гвоздя, загоняя его конец все глубже. Продольную волну можно легко изобразить, начертив сначала поперечную волну и затем повернув ее отдельные смещения на 90°, например, так, чтобы смещению вверх соответствовало смещение в продольной волне направо. Если проследить за направлением движения начерченных поперечной и про­дольной волн, равно как и за направлением движения отдельных частиц, то на основании следующего рисунка можно заключить, что в местах сгущения частицы движутся в направлении распространения волны, а в местах разре­жения — в противоположном. В газах и жидкостях возни­кают волны сжатия, но никогда — при сдвиге.

Стоячая волна возникает следующим образом. Если у струны закрепить оба конца, импульс будет отражаться от обоих концов и бегать по струне. Поскольку расстояния между импульсами одинаковы, то процесс на выбранном участке будет тоже повторяться. Если первоначальный импульс — синусоидальный и оба импульса равны по амплитуде, распространяются в разные стороны, и сме­щение в точке поворота меняет знак, можно получить также синусоидальную волну, форма которой между двумя закрепленными точками остается неизменной, а амплитуда меняется в зависимости от времени. Точки, в которых смещений нет, называют узлами стоячей волны. На струне длиной L можно возбудить стоячие волны, и, если ее длина такова, что узлы приходятся на точки закрепления струны: п {Л/2) = L, где п = 1,2,3... Точки максимального отклонения вниз или вверх, называются пучностями стоячей волны. На соседних участках колебания противоположны по фазе. Стоячие волны на струне можно представить и как резуль­тат сложения двух бегущих волн. При наложении друг на друга они создадут весьма устойчивую картину. Если мы уловим момент, когда бегущие волны будут в противофазе, то струна (или веревка) в этот момент будет совершенно прямой.

Понятие стоячих волн, зародившееся в науке о звуковых колебаниях, сыграло большую роль в других областях физики. Оно было распространено на другие колебательные системы, благодаря чему была решена задача теплового излучения, приведшая к созданию квантовой гипотезы. С использованием этой модели и волновой механики сумели описать строение атома. В современной теории атом рассматривается как система, обладающая опреде­ленными формами стоячих волн с характеристическими частотами. Вместо орбит в модели атома Бора теперь вводят замкнутые кольца стоячих волн. Чем дальше орбита, тем большее число пучностей должно войти в это кольцо.

По тому же принципу строятся модели для атомного яда Волны — это не просто участки струны, отклоняющиео вверх и вниз, и даже не колеблющиеся электроны, а т$ вероятности того, что частица находится в данном мест Волны на поверхности воды являются важным типи волн. Они давно привлекали исследователей, поскольк) сопровождают перемещение судов. Если создать возмуще ние на поверхности воды в глубоком бассейне, то возникну! волны. Частицы жидкости, находящиеся вблизи впадинн при создании возмущения будут стремиться заполнить« под действием тяжести, создавая волны в воде. Частит возникшей волны будут двигаться почти по окружности т.е. как бы совмещая свойства продольных и поперечин волн, но отличаясь от них обеих. С глубиной радиус» окружностей будут уменьшаться до нуля. Скорость распро странения волны С зависит от Л: для длинных волн -

пропорциональна VgA, для коротких—^о/Лр, а для средне длины —• от всех перечисленных параметров. Здесь р-плотность жидкости, а — коэффициент поверхностного натяжения. Значит, длинные волны вызваны силой тяже сти (g), а для коротких—силой поверхностного натяжения, Необычную волну —уединенную —наблюдал в 1834г. шотландский ученый Дж.Рассел. Баржу тянули по канату; после неожиданной остановки приведенная ею в движеши масса воды остановилась около носа баржи, а затем отор­валась от него. И это уединенное возмущение покатого по канал)' с большой скоростью, не меняя формы. Paces заметил, что не меняется и скорость С этой уединенно! волны, она зависит от глубины канала h и высоты водные:

С = yg(a + h),a<h. Кроме того, одна большая волна можа распадаться на несколько, и эти волны проходят одна чера другую, подобно малым волнам на поверхности. Многие ученые отнеслись критически к открытым Расселом свой­ствам уединенной волны.

Уравнение для описания длинных волн на воде вывели в 1895 г. датские ученые ДД.Кортевег и Г. де Фрис. Ош предположили, что при распространении волны выполнены условия, означающие много меньшую амплитуду волны и сравнению с глубиной бассейна: (aIn) «1, но длину волны много большую этой глубины: hi Л «1. Они рассматривали и(х, t) как отклонение от положения равновесия на поверх­ности воды (форма волны), зависящее от координаты!в времени t. Их уравнение, известное по имени авторов как уравнение КдФ, дифференциальное в частных производим du/dt+6и (du/dx) + cd-u/dx² = 0. Изучаемая характеристика» зависит от пространственной координаты х и времени I. Само уравнение прожило яркую жизнь, когда стали разра­батывать методы его решения на ЭВМ. Оно используется для ионно-звуковых волн в плазме, волн возбуждения в живой материи, описания дислокаций в кристалле, распро­странении сверхкоротких световых импульсов в опти­ческих средах и др.; на его основе были разработаны методы решения дифференциальных уравнений в частных произ­водных (так называемый метод обратной задачи рассея­ния). При исследовании сложения двух уединенных воля оказалось, что высокие уединенные волны движутся ско­рее. Поскольку после взаимодействия волн сохраняется форма волны и скорость, процесс напоминает упругое

58

столкновение двух частиц. Такую волну и назвали соли-тоном (от англ. solitary — уединенный). И солитоны, в самом деле, ведут себя как частицы. При соприкосновении таких волн большая замедляется и уменьшается, а малая — ускоряется и замедляется. И далее — по циклу, подобно упругим мячам.

Солитон — нелинейная уединенная волна, сохра­няющая свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными волнами, т.е. образование устойчивое. Результатом взаимодействия солитонов может быть лишь сдвиг фаз.

Модель гармонического осциллятора используется как в классической, так и в квантовой механике.

5.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ. РЕАКЦИЯ ОРГАНИЗМА НА ИНТЕНСИВНОСТЬ И ЧАСТОТЫ ЗВУКОВЫХ ВОЛН. МОДУЛЯЦИЯ ЗВУКА

Упругие волны, вызывающие у человека ощущение умноженные на 10, определяют децибельную шкалу интен-

звука, называют звуковыми. Принято различать тоны или сивности звука, названную в честь Генриха Белла. Интен-

музыкальные звуки; шумы; звуковые удары. Гармони- сивность звука в децибелах fi = 10 lg (I/I₀) и обозначается

ческий процесс называют чистым или простым тоном, а дБ. Тогда порог слышимости составляет 0 дБ, а концерт

ангармонический — сложным тоном. Сложный тон раскла- рок-музыки — 120 дБ. Санитарная норма соответствует

дывают на простые, при этом наименьшая частота — 30-40 дБ.

основной тон, а обертоны или гармоники имеют частоты, Шумовая болезнь проявляется в повышенном артери-

кратные основному. Набор частот с указанием интен- альном давлении, быстрой утомляемости, плохом сне и

сивностей компонент называется акустическим спектром, ослабевании слуха. Тембр звука при одинаковых громкости

Шум—это звук, отличающийся сложной неповторяющейся и высоте тона определяется спектральным составом звука,

временной зависимостью. Например, вибрации машин, испускаемого разными источниками. Звуковые волны

скрип, шорох, согласные звуки речи. Звуковой удар — это распространяются в воздухе со скоростью 330 м/с при

кратковременное звуковое воздействие: взрыв, хлопок и нормальных условиях, причем их скорость не зависит от

др. частоты.

Колеблющаяся плоская пластинка возбуждает в среде Человеческое ухо способно воспринимать только часть

бегущую волну с амплитудой х₀ и частотой (о/2я, которая звуковых колебаний, которые, попадая на барабанную

будет распространяться от источника. Эта волна звуковая, перепонку, возбуждают нервную реакцию. Для оценки

и пластинка передает слою воздуха массой Am некоторую интенсивности звука удобнее использовать звуковое дав-

энергию. ление, возникающее в среде при прохождении звука.

Максимальная кинетическая энергия этого слоя Интенсивность звука / связана с давлением р, плот-

1,1 1 ностью среды р и скоростью звука с соотношением:

-Д»К₍; =-Ьт<₀>х1ЬЕ = -(рА&_Х)а>-х*,р -ПЛОТНОСТЬ СЛОЯ j _{= р2/(2р fi)2}_ g^^ _{звука определяется частотой коле}.

воздуха. Но при простом гармоническом движении средняя баний, она тем выше, чем больше частота. Интервалу волн

потенциальная энергия равна средней кинетической, то это от 20 м до 1,6 см, воспринимаемых ухом, соответствует

выражение описывает запас энергии в слое площадью Л и диапазон частот между 16 и 20 000 Гц, соответственно.

толщиной Ах. Пусть колебания начинаются при t = 0 и Диапазон звуковых частот и соответствующих им длин волн

распространяются в воздухе со скоростью и = Ах/At, где (Гц/м) приведен ниже.

hx—расстояние, на которое распространится возмущение _{т т} ......

., _п . Нижний предел слышимых звуков 16/21,5

за время М Разделив выражение для энергии на Ах, полу- _ „„,-,,„,

Самая низкая нота рояля 27,5/12,4

чим: — = -рА—(о-х1,Р = -рА(о¹х;и,Р — мощность, излу- Фон сети переменного тока 60/5,7

чаема^'кол²еблющейся пластинкой в направлении х. Тогда ^{Нижшй n}fA^eJ1 Д™ Радиоприемников 100/3,4

мощность, приходящаяся на единицу площади, даст интен- вреднее «фа» для настройки оркестра 440/78 • 10~^

сивность любой бегущей волны, т.е. и звука. Получим это ^еР^{хнее <<си>>} lUWoo ■ 1U^

выражение для интенсивности звука, разделив обе части ^{Самая высокая нота} Р^ояля 4186/8,2 • 10

полученного выражения для мощности на А. Указанные пределы слышимости относятся к молодым

,т , I , , _Тт - людям. С возрастом диапазон сокращается, мужчины

Итак, i = -pwx;,u. Интенсивность звуковой волны ^rt * ^{rt F}^ ' ^J

2 начинают утрачивать чувствительность к высоким нотам

пропорциональна квадрату амплитуды и определяется как _{раньше] чем женЩ}ины. В среднем возрасте они уже не

скорость потока энергии через единичное поперечное воспринимают звуки выше 12 000 Гц. Обычно поете 50 лет

сечение. В системе СИ интенсивность измеряется в Вт/м². _верхняя часть спектра звуков оказывается недоступна.

Наименьшая интенсивность звука, которую слышит чело- Обращает на себя внимание тот факт, что воспринимаемый

веческое ухо, порядка/₀ = 10 ^: Вт/м , ее называют порогом нами диапазон звуков шире того, который используется для

слышимости. р_{ечи или пения} (Ю0-1000 Гц). Но когда высокие звуки

Реактивный самолет, набирающий высоту недалеко от урезаны (как правило, в недорогих акустических системах),

человека, создает интенсивность звука в 10 раз, а поезд _{то те}р_ЯЮТСЯ яркость и красота звучания. Если урезаны

метро - в 10¹⁰ раз большую. Болевой порог интенсив- _{низкие часТ}оты, звук кажется монотонным, хотя высота

ности — 10¹² /₀, это значение может достигаться на кон- _тона воспринимается верно,

59

цертах рок-музыки. Приведенные показатели степени, _с хуц _в. начались попытки определения скорости звука.

Еще Ф.Бэкон (1620 г.) указал на возможность опре­деления скорости звука путем сравнения промежутков времени между вспышкой света и звуком при выстреле. Ньютон, давший в своих «Началах» значение скорости звука 350 м/с, писал: «Когда по жидкости (имея в виду упругие жидкости, т.е. газы) распространяются сотрясения, то ее отдельные частички, совершая взад и вперед весьма малые колебания, ускоряются и замедляются по закону качания маятника». Его расчет показал, что скорость звука пропор­циональна корню из давления газа, деленного на его плот­ность, т.е. равнялась 290 м/с. С.Пуассон (1781-1840) ввел поправочный коэффициент из теплоемкостей при посто­янных объеме — c_v и давлении с_р. Скорость по формуле Ньютона должна быть умножена на ^c_p/c_v. Для воздуха c_p/c_v — V3/2, тогда скорость звука получалась 345,55 м/с. Отсюда и приложение — измеряя скорость звука в газе, можно определить отношение c_p/c_v и тем самым узнать, состоит ли молекула из одного или нескольких атомов. Надо отметить, что именно таким путем была установлена одноатомность благородных газов.

Скорость распространения упругих продольных волн совпадает со скоростью распространения импульса, сооб­щенного одному концу упругого стержня. Для продольных волн в стальной проволоке с плотностью 8 г/см³ и модулем упругости 2,06 ■ 10¹² дин/м² получим скорость распростра­нения 5 ■ 100 м/с. При этом она не зависит ни от амплитуды, ни от частоты колебаний, пока упругие деформации под­чиняются закону Гука.

Громким пением какой-либо ноты над открытым музы­кальным инструментом можно возбудить стоячую волну основной моды в струне, частота которой соответствует взятой высоте тона, и затем услышать, как струна зву­чанием отзывается на голос, пока в ней не затухла стоячая волна.

Замечательную связь между числами и законами музы­кальной гармонии открыл еще Пифагор (ок. 571-497 гг. до н.э.). Он использовал монохорд—струну, закрепленную на одном конце и перекинутую через острие ножа так, что к ней можно было подвешивать гири, создавая различные натяжения. В те времена было известно и об ощущениях, вызываемых разными комбинациями тонов: одни были

приятными, другие—диссонирующими. Пифагор доказал, что особенно гармоничные сочетания создают струны с одинаковым натяжением, длины которых находятся« отношении 2:1, два таких тона отличаются на интервал! одну октаву. Интервал 3:2 получил название квинты. Ов отметил, что приятные сочетания связаны с простымв числами, характеризующими отношение длин.

Таким образом, высота тона закрепленной струни связана с ее длиной. Для одной и той же струны, колеб­лющейся с 1, 2, 3... пучностями, частоты колебаний нахо­дятся в пропорции 1:2:3... Уменьшение длины струны в 2 раза приводит к повышению тона рождаемого ею звука на октаву и т.д. На основании подобных закономерностей Пифагор разработал теорию музыкальной гаммы и гармо­нии. Пифагор и его последователи — пифагорейцы -верили, что в основе природы лежат математические закономерности. По законам гармонии строилась и ш космологическая система.

Понятие о стоячих волнах ввел в 1701 г. Совер. Идею» выделении в любом сложном колебании основного и гармо­ник выдвинул Г.Гельмгольц (1862 г.). Звучание любого инструмента определяется пропорциями гармоник. Из-за гармоник звук флейты отличен от звука скрипки, хотя колебания воздуха в трубе, флейте или органе одни и те же. Правда, колокольчики не образуют простой ряд целых чисел, поэтому их звучание не столь мелодично. Еще из опытов с маятниками поняли, что сущность музыкального звука в его периодичности. Галилей заметил, что груз резонирует на действие периодической силы, когда ее частота совпадет с собственной частотой маятника, опре­деляемой его длиной. Он соорудил простую систему -погрузил бокал почти по самый край в сосуд с водой и, слегка ударяя по краю, извлекал из бокала звуки различной тональности. Вокруг бокала появлялась радиальная рябь, Галилей отметил, что при изменении высоты тона на октаву рябь усиливается. Чтобы сделать количественную оценку, он сопоставил массу единице длины и подсчитал, что частота тона зависит от корня квадратного из «размера» струны. Впоследствии Галилей сформулировал правило да определения частот колебаний струн, сделанных из разных материалов.

5.3. СВОЙСТВА ВОЛН: ДИСПЕРСИЯ, ДИФРАКЦИЯ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ

Волны могут отражаться (звук от стены, свет от зеркала, водяные волны от преграды) и преломляться (когда ход луча изгибается из-за попадания в среду с другой скоростью распространения). Для понимания волновых свойств необходимо расстаться с представлением об одно­мерной волне и перейти к более реальным волнам — плоским и трехмерным, встречаемым в природе. Звук в воздухе распространяется во все стороны от сферического источника. При опускании в воду плоской доски, когда один ее конец погружен и приводится в движение в верти­кальном направлении, получаются волны, бегущие по поверхности (двухмерные плоские волны). Электромаг­нитные волны, сохраняющие движение электрической и магнитной компонент в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны, тоже являются плос­кими.

60

Дисперсией называется зависимость показателя пре­ломления п света от частоты колебаний v (или длины волны К). Ньютон отметил, что разложение белого света в спектр — проявление дисперсии. Направив разложенный на составляющие свет на вторую призму, он получил вновь белый свет, значит, белый свет есть набор цветов с раз­ным п. Показатель преломления п связан со скоростью 1 распространения света в этой среде:

п = c/V, ип_ф = с/Уф, п_кр = c/V_Kfi, (п_ф/п_кр) = (У_кр/У_ф).

Поскольку V. < V_Kt), п_ф > п _ь для той же среды, то и

кр

Пл,У\

Таким образом, в одном и том же веществе скорости света для разных частот различны, различны и показателе преломления п, причем п зависит от v. На основе явления дисперсии света построена наука — спектроскопии и приборы: спектроскоп и спектрограф.

_I

Явление дифракции возникает, если плоская волна длиной волны X попадает на преграду со щелью шириной s, (лат.dijfractus «разломанный»).

Явление интерференции (или сложение когерентных волн) происходит, если щелей на пути волны несколько или при распространении волны от нескольких источников. Рассмотрим два источника. При размере щели s > X никаких искажений практически не наблюдается. Если s < X, наблю­дается картина, существенно зависящая от того, в какой фазе каждая из волн подошла к щели. Явление интер­ференции наблюдается и для поперечных, и для продольных волн.

Принцип Гюйгенса, объясняющий явление отражения, преломления и двойного лучепреломления света с позиций волновой теории, сформулирован в «Трактате о свете» (1678 г.). Суть принципа в следующем. Когда волновой фронт проходит через отверстия, каждый элемент фронта ведет себя так, как если бы стал источником излучения.

Приняв существование эфира (исходя из аналогии с распространением звука: среда нужна, но свет распростра­няется и без воздуха, значит, среда должна быть невесомой, разреженной, проникающей во все поры и в то же время жесткой и упругой), Гюйгенс за механизм распространения выбрал аналогию с пламенем. Каждая точка пламени сообщает движение частицам окружающего эфира, т.е. создает собственную волну, а каждая частичка эфира, которой достигла волна, становится, в свою очередь, центром новой волны. Так движение и распространяется от точки к точке через вторичные сферические волны, как распространяется пожар. Поэтому каждая точка волнового фронта становится источником новых волн, огибающая которых станет волновым фронтом в следующий момент и так далее. Для наблюдения интерференционных эффектов не обязательно иметь отдельные источники света.

Как объясняет принцип Гюйгенса и принцип супер­позиции картину интерференции? Если две щели являются источниками волн, то какова картина интерференции в точке Р, не погасят ли волны друг друга? Волна 2 должна пройти до этой точки большее расстояние, чем волна 1, и разность хода получится (L₂ - Lj). Если в (L₂ - L_{) точно укладывается целое число X, то в точке Р одновременно окажутся максимумы обеих волн (волны придут в фазе), и амплитуды возрастут. Это условие конструктивной интер­ференции запишется так: (L₂-L_l)/X = N,rj\eN = 0,1,2,3...Если же разность хода составляет нецелое число полуволн, то максимумы одной волны окажутся в точке Р смещен­ными на (Х/2) относительно максимумов другой волны, т.е. окажутся в противофазе. Условием этого является ра­венство: (L₂ -Lj)/X = N+ (1/2), где N = 0,1,2,3... Вточках, где разность фаз волн находится между этими значениями, будет промежуточная картина.

Волновую природу света впервые показал экспери­ментально английский ученый, врач по профессии, человек с очень разносторонними интересами, известный как египтолог, расшифровавший древние иероглифы, перво­классный музыкант Томас Юнг.

Юнг стал заниматься волновыми движениями в связи с изучением человеческого голоса (периодических изме-

нений усиления и ослабления звука, воспринимаемого ухом). В 1801-1803 гг. Юнг представил Королевскому обществу материалы своих исследований по свету и звуку. Они содержали его формулировку принципа интерфе­ренции: для получения интерференции нужно, чтобы обе волны были из одного источника (должен быть одинаковый период), чтобы они прошли различный путь до исследуемой точки и, попав в эту точку, шли почти параллельно. Юнг продемонстрировал эффект интерференции, проколов булавкой два отверстия в прозрачном экране и направив на него свет от Солнца, проходящий через маленькое отверстие в окне: темные полосы отмечали провалы волн, светлые — сложение максимумов волн. Ему же принад­лежит и термин «физическая оптика». Из полученной в опыте интерференционной картины Юнг первым (и с удивительной точностью) измерил длины волн всех цветов, составляющих белый свет. Так, он получил 1/36 000 дюйма (0,7 мкм) для красного цвета и 1/60 000 дюйма (0,42 мкм) — для крайнего фиолетового.

Интерференция волн с близкими частотами, распро­страняющимися с одной скоростью и в одном направлении, приводит к биениям. Явление биений свойственно также обоим видам волн. В точках, где фазы одинаковы, результи­рующая амплитуда максимальна, а где противоположны — минимальна. Сумма волн есть синусоидальная волна с колеблющейся амплитудой, причем изменение амплитуды происходит по гармоническому закону, а частота биений равна разности частот отдельных волн. Чтобы получить биения для звуковых волн, можно провести простой опыт с двумя аналогичными музыкальными, например, струн­ными, инструментами. Возьмите две струны, звучащие на одной ноте, и, чуть-чуть изменив высоту тона одной из них, услышите, как быстро возрастает и уменьшается интен­сивность звучания, как бы пульсирует. Если пульсация происходит медленно, попробуйте подсчитать количество биений в секунду.

Если между щелями расстояния небольшие — порядка 1/300 мм вместо 1 мм, то при демонстрации полос интерфе­ренции получается широкая дифракционная картина. Такая система щелей называется дифракционной решеткой. Пучок белого света при попадании на нее разбрасывается достаточно широко, так что по обеим сторонам от узкой белой центральной полосы становятся видны широкие цветные полосы — спектры. Зная длину волны X, можно определить и частоту, которая равна скорости волны, деленной на X. Изучением и измерением спектров зани­мается специальная наука — спектроскопия. С ее помощью был определен состав и земной атмосферы, и небесных тел. Длины волн измеряются с точностью до 10"¹⁰, а смещения— с еще большей точностью. Исключительная узость спект­ральных линий, строгая закономерность распределения их по шкале частот и смещение спектральных линий в элект­рическом и магнитном полях дали много сведений остроении атомов и привели к разнообразным моделям строения атома.

Явление поляризации, свойственное только попереч­ным волнам, состоит в следующем: луч света, проходя через два кристалла исландского шпата, подвергался двойному лучепреломлению в зависимости от взаимной ориентации осей кристаллов.

61

В начале ХЕК в. французский физик Э.Малюс обнаружил, что поляризованным оказывается луч света, отраженный от поверхности воды под углом 52° 45'. Позднее оказалось, что двойное лучепреломление всегда возникает при отра­жении луча от поверхности, только угол зависит от коэф­фициента преломления вещества. Он объяснил явление полярностью световых корпускул, ориентирующихся в кристалле или при отражении (закон Малюса). Законо­мерности поляризации были изучены до 1815 г., но были объяснены О.Френелем в свете волновых представлений только через семь лет, когда пришлось отказаться отньютоновых корпускул и признать свет поперечной волной. Продольные волны не поляризуются. Обычно направление поляризации связывают с направлением вектора Е, плос­кость поляризации — это плоскость, содержащая вектор Е и направление распространения волны. Тогда вектор Н будет перпендикулярным плоскости поляризации. Если направление Е остается у электромагнитной волны неиз­менным, волна называетсяплоско- илилинейно-поля­ризованной.

Большинство источников испускает некогерентный и неполяризованный свет, когда направление вектора Е непрерывно меняется в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Но при пропускании неполя-ризованного света через поляризатор можно сделать его

поляризованным. В качестве поляризатора может служить экран из ряда тонких параллельных проволочек для микро­волнового излучения или фильтр из кристаллической пластинки (турмалина, исландского шпата, кварца или пленки кристаллов герапатита, нанесенной на стекло), Известно, что неполяризованный солнечный свет приоб­ретает поляризацию при отражении от поверхностей воды, песка, дороги и т.д. При этом, если ось поляроида перпен­дикулярна плоскости поляризации отраженного света, отражение гаснет. Среди применений поляризованного света: гашение зеркальных бликов при фотографировании, предупреждение ослепления водителя встречным транс­портом, регулировка освещенности и др. Сегодня механизм возникновения поперечных волн и связанного с ним явле­ния поляризации совершенно ясны.

После создания теории электромагнитного поля Макс­веллом и установления электромагнитной природы све­товых волн Герцем, излучаемый каждым атомом свет строго поляризован. Но направления векторов поляризация света от всех атомов определяются чисто случайными причинами и не имеют определенной ориентации в про­странстве. И световой луч можно уподобить нити, состо­ящей из множества свитых волнистых волокон. Для поля­ризации луча надо привести этот хаос в порядок, что и делают те или иные поляризационные фильтры.

5.4. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА, ЕГО ИССЛЕДОВАНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ НАУКИ. КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В АСТРОФИЗИКЕ

В 1842 г. австрийский физик и астроном КДоплер обнаружил зависимость частоты волнового импульса от скорости при движении источника волн относительно наблюдателя, названную эффектом Доплера. Многие не раз сталкивались с ним, когда слышали, как меняется звук предупреждающего свистка проносящегося мимо плат­формы поезда. Но эффект Доплера можно не только«слышать», но и «видеть», хотя бы в ванне или пруду. Периодически погружая палец в воду, чтобьг на поверх­ности образовались волны, равномерно перемещайте его в одном направлении. Следуя друг за другом, гребни волн будут сгущаться в направлении движения пальца и станут более разреженными с другой стороны. Значит, длина волны в направлении вперед станет меньше обычной, в направлении назад — больше (рис.6)..

Пусть в системе отсчета источника звуковые волны имеют частоту v, тогда за время t источник испустит vt волн. Выберем интервал времени от 0 до t. Волна, испущенная в t = 0, пройдет за это время расстояние ut, где и — скорость волны. К моменту испускания последней из волн источник пройдет расстояние vt. Все волны займут в пространстве область длиной (ut -vt),ac точки зрения наблюдателя их длина будет равна:

k = (ut-vt)/vt = (u-v)/v.

Тогда изменится и частота звука, слышимого наблю­дателем:

v=и/к = vu/(u - v) = ми/(и - v) =v/[l-(v/u)].

Здесь наблюдатель движется к источнику, частота звука увеличивается. При удалении источника от наблюдателя меняется знаки, и отрицательный знак в знаменателе

становится положительным, и частота понижается. Эффект Доплера имеет место для всех типов волн — звуковых в атмосфере, упругих в твердом теле, волн на воде, световых волн. Измерение доплеровского смещения в спектра! позволяет с большой точностью, не возмущая измерением движение, определить скорости движущихся объектов.

Первое подтверждение эффекта Доплера было полу­чено для акустических волн в опьгтах голландского физии с группой музыкантов на железной дороге (1845 г.). Част! группы разместилась на платформе, двигавшейся с извест­ной скоростью вдоль перрона, где находились остальные, воспринимая их музыку. Затем музыканты поменяли ролями. Данные, полученные от непосредственных впечат­лений участников опьгта, хорошо укладывались в формулу Доплера.

Французский физик А.Физо предложил (1848 г.) исш» зовать эффект Доплера для измерения радиальной сосгт пяющей скорости звезд по смещению спектральных линий (поэтому многие называют его эффектом Доплера-Физо). Он заметил, что в линейчатых спектрах можно измеряв смещение (отсюда термин — доплеровское смещение). В1867 г. английский астроном У.Хеггинс обнаружил смеще­ние водородной линии в спектре Сириуса по сравнению с той же линией в спектре, полученном в лаборатории, i заключил, что скорость звезды относительно Земли равна 66,6 км/с, а по отношению к Солнцу — 47,3 км/с.

Но пока эти результаты еще не доказывали приме­нимость эффекта Доплера к свету. Нужно было найти объект, скорость которого можно было бы измерить да проверки и другим способом. В качестве такого объекта

62

было выбрано Солнце — его скорость вращения опре-делялась по движению солнечных пятен. В 1871г. немецкий астроном Г.Фогель измерил доплеровские смещения для двух точек солнечного экватора, находящихся на краях диска, и определил их линейную скорость — 2 км/с, что совпадало с результатом, полученным другим методом. Затем были определены скорости вращения планет, колец Сатурна, звезд вокруг своей оси, ядер и хвостов комет.

Академик ААБелопольский считал, что нужно про­вести проверку в земных условиях, поскольку неизвестны условия излучения в космосе. В 1894 г. он разработал установку, состоявшую из двух колес, к каждому из них в виде лопастей прикреплялись 8 плоских зеркал. Зеркала обоих колес были строго параллельны и вращались с постоянной скоростью. Съемки проводились при непод­вижных зеркалах и при вращающихся с частотой 32-44 об./с (это соответствовало перемещению изображения 240-330м/с, или общему смещению от скорости 500-700 м/с). Обработка результатов дала хорошее совпадение по числу оборотов колес и доплеровскому смещению. Опыт длился всего 1 ч., но он был наиболее убедительным в применении эффекта Доплера к свету. Впоследствии метод Белополь-ского усовершенствовал другой петербургский академик Б.Б.Голицын.

Эффект Доплера, как основной в оптике движущихся сред, сыграл решающую роль в экспериментальном обосно­вании специальной теории относительности. Физо поставил классический эксперимент (1851 г.) по определе­нию увлечения эфира движущейся Землей. Он заставил интерферировать два луча света, один из которых проходил столб воды в направлении течения, а другой—против. Если эфир увлекается, то интерференционные полосы должны смещаться по отношению к тому положению, которое соответствовало неподвижной воде. К тому же результату пришли Э.Кеттлер (1871 г.) и Майкельсон и Морли(1886 г.) — эфир движется вместе с Землей. За 5 лет ранее Майкельсон пытался обнаружить «эфирный ветер» при движении Земли в эфире, посылая световые лучи по вза­имно перпендикулярным путям и заставляя их интер­ферировать. Хотя линейная скорость Земли (29,7 км/с) много меньше скорости света, и установка позволяла засечь и в 100 раз меньший эффект, опыт дал отрицательный результат. Опыты, показывавшие увлечение эфира, проти­воречили объяснению явления аберрации (лат. aberratio «отклонение, заблуждение»), требовавшей неподвижности эфира. Это противоречие было разрешено отказом от эфира и созданием теории относительности.

Когда картина мира стала меняться на квантовую, в 1922 г. один из ее создателей австрийский физик-теоретик Э.Шредингердал обобщение формулы Доплера для частоты на случай больших скоростей, но пока эти малые изменения частоты при переходе атома с одной боровскои орбиты на другую на опыте не обнаружили.

Метод для измерений скоростей звезд и галактик, основанный на эффекте Доплера, получил в астрономии наиболее впечатляющее применение.

Спектры галактик слабы, измерения достаточно труд­ны. В1912 г. американский астроном В.Слайфер с помощью мощного спектрографа измерил доплеровский сдвиг в спектре самой яркой из галактик — Туманности Андро­меды. За два года он измерил лучевые скорости 13 спи­ральных галактик, причем скорости большинства из них были направлены в сторону от Солнца, а нескольких — превосходили все измеренные ранее. Это означало, что галактики удаляются от нашей солнечной системы с фантас­тически большими скоростями — до 1800 км/с. К 1925 г. Слайфер измерил лучевые скорости еще 45 спиральных галактик, и все они, кроме нескольких ближайших, удаля­лись от Солнца, а скорость их удаления почему-то явно возрастала по мере уменьшения их яркости, как будто они разбегались от Млечного Пути во всех направлениях, и по мере удаления скорость убегания росла. Но это нарушало бы однородное распределение галактик в пространстве, поэтому пришлось считать, что это однородное расширение, но тогда их лучевая скорость (проекция скорости на луч зрения) должна быть пропорциональна расстоянию до них.^: Так, если галактика выглядит в 100 раз слабее, значит, расположена в 10 раз дальше. Галактики из списка Слайфера имели лучевую скорость 18000 км/с, а расположенные в 10 раз дальше —180000 км/с.

Для формулирования закона пришлось искать возмож­ность определения расстояния до галактик независимым образом. Параллакс для ближних звезд можно измерить по методу, предложенному еще Фалесом (см. рис.3), для далеких—искать некий индикатор расстояний. Американс­кий астроном Г.Левитт обратила внимание на четкую зависимость периода цефеид от яркости. Цефеиды — наиболее яркие звезды в Малом Магеллановом Облаке — небольшой галактике, частично заходящей в Млечный Путь. Название получили от типичной цефеиды — дельта звезды созвездия Цефея. Датский астроном Э.Герцшпрунг сразу оценил идею Левитт и откалибровал выведенную ею зависимость период-яркость в период-светимость, что позволило ему определить расстояние до этой галактики в 200 тыс. световых лет. Он убедился, что за пределами Млечного Пути есть другие галактики, другие «островные вселенные», как выражался Кант. Хаббл с помощью 100-дюй­мового телескопа обнаружил цефеиды в нескольких галак­тиках и смог оценить расстояние до них. После полученных Хьюмасоном с большой точностью красных смещений и его оценок Хаббл в 1929 г. вывел прямую линию на графике зави­симости скоростей далеких галактик от расстояния до них.

Итак, скорости удаления галактик возрастают про­порционально расстоянию до них.

Расширение Вселенной — самое грандиозное изизвестных в настоящее время явлений природы. Если допустить, что оно и раньше происходило теми же темпами, то можно оценить, когда же началось расширение. Этот промежуток времени составляет 13-20 млрд лет. Таким образом, смещение спектральных линий из-за эффекта Доплера привело к новой картине расширяющейся Все­ленной.

63