Глава 4. Мироздание в свете механистической парадигмы.

ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ

4.1. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ МАКРОМИРА. МОДЕЛЬ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Движением называется любое изменение материи; это — основное, неотъемлемое и всеобщее свойство мате­рии; оно так же многообразно, как и явления природы. Существуют различные виды движения — механическое, тепловое, химическое и т.д. Под механическим движением понимается изменение положения тел относительно друг друга за время наблюдения. Характер движения зависит от того, относительно какого тела рассматривается движение. Движущееся тело имеет некоторые размеры в прост­ранстве, но и пространство, в котором происходит дви­жение, обладает протяженностью.

Процесс абстрагирования позволяет отвлечься от несу­щественных для данного движения свойств тел — изме­нения строения, внутреннего состояния и др. Если размеры тела много меньше размеров той области пространства, где оно происходит, а его форма несущественна, то тело можно считать материальной точкой. Используется и другая абстрактная модель — система материальных точек, соответствующая протяженным телам. Если важна связь точек между собой, то получаем модель абсолютно твер­дого тела; если же точки слегка подвижны в этой системе, удобнее модель упругого тела. Оказалось, что движение происходит в микро-, макро- и мегамире по раапичающимся законам. Эти законы изучаются наукой — механикой: квантовой, теоретической и релятивистской, соответст­венно.

Механика изучает перемещение материальных точек или тел, т.е. изменение их положения с течением времени. Механика макроскопических тел, движущихся со скорос­тями, много меньшими скорости света, называется класси­ческой, она состоит из кинематики и кинетики. В кине­матике игнорируются причины двюкения. Основу кине­матики составляет геометрия (координаты) и время; вводятся понятия траектории, скорости, ускорения, сис­темы отсчета, угловой скорости и углового ускорения. Она возникла из практики пользования простыми механизмами (рычагом, наклонной плоскостью и пр.). При этом законы равновесия изучались путем рассмотрения того, что при­водит к нарушению равновесия. Система Коперника (1543 г.) — чисто кинематическая.

Кинетика — это статика и динамика.Статика развивалась в связи с расчетом равновесия архитектурных

конструкций: балок, плит и т.п., которые подпирались в нескольких точках или подвешивались. Основные понятия статики сложились еще в древности из наблюдений, практи­ческого опыта и геометрических методов. Это — сила, пара сил, центр тяжести, момент силы, условие равновесия. Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механи­ческого взаимодействия тел, которое может происходить как через прямой контакт, так и через пространство.Статика принадлежала к тем наукам, которые в античности подвергались наибольшей математизации. Архимед — подлинный создатель статики и гидростатики, его статика построена по образцу геометрии Евклида. При этом задачу стремились свести к схеме неподвижного и уравновешен­ного рычага. Леонардо да Винчи, опираясь на свои опыты с полиспастами и другими сочетаниями подвижных и непод­вижных блоков, пытался сформулировать правила соотно­шения сил и скоростей перемещения грузов и точки при­ложения силы тяги, т.е. некий вариант «золотого правила механики». BXVI в. эти исследования продолжилиТарталья, Бенедетти и Кардано. В статику вошел принцип моментов сил. С.Стевин, изучая равновесие на наклонной плоскости, использовал разложение сил на составляющие или закон параллелограмма сил. Ему принадлежит и изящнейшее доказательство закона Архимеда о плавании тел. Галилей обосновал закон рычага, опираясь фактически на принцип возможных перемещений.

Динамика использует понятия кинематики и статики, добавляя к ним понятия массы, момента инерции, коли­чества движения или импульса, работы силы, кинети­ческой энергии, момента количества движения или момента импульса. Основные представления динамики сложились и развиваются на базе многовекового опыта человечества, производственной практики и наблюдений за движением тел, а также в процессе поставленных специально экспериментов.

Чтобы понять, как будет двигаться тело под действием приложенных сил, нужно найти закон движения. Галилей в начале XVII в. сформулировал законы падения тел и качания маятника. У него появились прямые ссылки на эмпири­ческую основу механики, фактически он обосновал дина­мику в своем главном произведении «Беседы...» (1638 г.) Как выразился Галилей, — «Кто не знаком с законами

47

движения, тот не может понять природы». И.Ньютон придал динамике законченную форму, его «Начала...» появились в 1687 г. и содержали закон всемирного тяготения и три закона движения. Первая книга «Начал» Ньютона начи­нается с определений исходных понятий и в первую оче­редь — массы. «Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее». У него масса — это «количество материи» в теле. Далее даются определения количества движенияmv, прило­женной и центростремительной силы, абсолютного и относительного времени и пространства, места тела иабсолютного и относительного движений. Затем следуют три закона движения: 1) закон инерции; 2) A(mv) = FAt; 3) закон равенства действия и противодействия. Ньютон указывает, что на основании этих трех законов Рен, Уоллис и Гюйгенс, «величайшие геометры нашего времени», вы­вели законы удара и отражения тел, «причем выводы их во всем, касающемся этих законов, между собой согласны». Ньютон показывает, используя мысленный эксперимент и ссылаясь на реальный опыт, что третий закон годится не только для столкновения тел, но и для притяжения.

Основой динамики являются причинные законы, в макромире это — законы Ньютона. Хотя Галилей уже исследовал понятие изменяющейся скорости и объяснил, что такое ускорение, Ньютон определил ускорение как изменение скорости в единицу времени, как вторую произ­водную от радиус-вектора, проведенного к материальной точке. Основной закон динамики—это дифференциальное уравнение второго порядка для координат точки как функции времени; интегрирование этого уравнения дает и скорость, и пройденный путь. В отсутствии сил имеет место закон инерции, ускорение равно нулю.

Первый закон утверждает, что в отсутствии сил тела не меняют своего движения, т.е. при отсутствии дейст­вующих на тело сил существует система отсчета, где это тело покоится. Если оно покоится в одной системе отсчета, то существует множество систем отсчета, где это телодвижется с постоянной скоростью. Такие системы и назы­ваются инерциалъными, и в них выполняется первый закон Ньютона. Это закон инерции, фактически сформулиро­ванный Галилеем; с ним связано существование инерци-альных систем отсчета. Для всех инерциальных систем существует принцип относительности, согласно которому во всех инерциальных системах законы физики одинаковы. Существует как частный случай — принцип относитель­ности Галилея, сформулированный им еще в 1636 г. Он утверждает, что никакими механическими опытами в такой системе нельзя определить, движется ли система равно­мерно и прямолинейно или покоится. Инерциальные сис­темы отсчета — это абстрактные системы. Так, Землядвижется по эллипсу вокруг Солнца, да и само Солнце движется по криволинейной траектории вокруг центра Галактики и т.д. Было установлено, что система отсчета, центр которой находится в центре Солнца, а оси координат направлены на выделенные звезды, является инерциальной. Эту систему называют гелиоцентрической. Любая система отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно гелиоцентрической системы, будет инерци­альной.

Второй -закон утверждает, что произведение мага равна:[АВ\ sina. и

тела на ускорение равно действующей силе. Поскольку щ произведения вектор

и ускорение — векторы, то утверждается одинаково! либо точку между в»

направление для обоих. Динамическое воздействие на тел квадратные скобки, л

других тел приводит к изменению его скорости, т.е.iМомент импульс

ускорению. Статическое воздействие силы приводит! дению импульса

деформации твердых тел, к сжатию газов и т.п. Второ! может иметь те.^ /.

закон Ньютона выражает принцип причинности в класс» определяется выражй

ческой механике: по начальному состоянию (положение!

скорость тела) и действующей силе можно определит!

состояние тела в любой последующий момент времени.

Для решения задач механики важны меры движенш

{импульс, момент импульса и кинетическая энергия) i

меры действия силы {импульс силы и работа). Соотщ

шения между этими мерами составляют общие теореми

механики. Из них и вытекают фундаментальные закот

сохранения.

Динамическое свойство тел, описываемых первым законом, называется инертностью. Физической велич» ной, характеризующей инертность тела, является его мат, По Ньютону, масса — это количество вещества в теле. Для определения массы тела, ее нужно сравнить с массой тела, принятого за эталон. И при этом следует отвлечься от всех других воздействий тел, т.е. считать систему двух тел изолированной. Для системы материальных точек вводят понятие центра масс системы. Он движется как матери­альная точка, масса которой равна массе всей системы $ на которую действует результирующая всех внешних сап, приложенных к системе. В динамике Ньютона масса не меняется с изменением скорости, что выполняется при движении со скоростями, много меньшими, чем скорость света. Поскольку произведение массы на скорость есть импульс Р, второй закон может быть переформулировав (и этим пользовался сам Ньютон) — сила равна изменению импульса в единицу времени; в изолированной системе импульс не меняется (сохраняется).

Третий закон связывает равенством действие ипротиводействие. Он утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению. Это означает, что сапы возникают попарно, и на каждое дейст­вие возникает противодействие. Характер взаимодействия не оговаривается, силы могут действовать на расстоянии между телами — быть гравитационными, электромагнит­ными или контактными.

Примером контактных сил, т.е. действующих при сопри­косновении тел, являются силы реакции. Эти силы дейст­вуют перпендикулярно к поверхности контакта между телами. Примером контактных сил, направленных по поверхности соприкосновения, служат силы трения.

Момент силы и момент импульса широко исполь­зуются при изучении вращений тел. Они определены через операцию, называемую векторным произведением. В отли­чие от скалярного произведения двух векторов, величина которого равна (АВ) = АВ cos а, векторное произведение учитывает и направление, определяемое по правилу правой руки, когда пальцы согнуты в направлении от первого вектора А ко второму В, тогда большой палец укажет направление самого произведения, величина которого

равна: [АВ] sin а. Обычно для обозначения скалярного произведения векторов используют либо круглые скобки, либо точку между векторами, а для векторного — либо квадратные скобки, либо крестик.

Момент импульса тела по величине равен произве­дению импульса тела на расстояние до оси вращения, его может иметь тело даже при движении по прямой. Он определяется выражением:

L = [г mv].

Понятие момента силы используется для сап, способ­ных вызвать вращение тел. Если сила F приложена к точке Л, расположенной на расстоянии г от оси вращения, а вектор силы перпендикулярен линии АВ, создается момент силы г х F. Когда же направление приложенной силы проходит через центр вращения, она не создает момента силы. Пример: приложенная к ручке двери сила приводит дверь во вращение относительно линии косяка или дверных петель, но вращения не будет в случае прило­жения силы вдоль линии петель. Вращение вызывает только перпендикулярная составляющая силы, и момент силы есть векторное произведение: Т = [rF] = rF sin ср, здесь, ср — угол между векторамиг иF.

При отсутствии действия внешних сил (система изоли­рована) действует закон сохранения импульса для поступа­тельного движения и момента импульса для вращения.

Момент силы и момент импульса связаны по второму закону Ньютона:T = dL / it.

Значение построения механики Ньютона становится ощутимо при сопоставлении «Начал» с «Вопросами» в его «Оптике», где он говорит о силах инерции, создающих сопротивление движению. В законах движения Ньютона нет идеи сохранения количества движения (как в механике Декарта), по его словам, «причины таких принципов дви­жения» он «оставляет для дальнейшего исследования». Поскольку в природе существует строгий порядок, мир не мог возникнуть из хаоса, но создан «по замыслу разумного существа». «Но, будучи раз созданным, мир может сущест­вовать по этим законам многие века».

Использование законов Ньютона для решения инже­нерных задач было весьма громоздко, а в решении таких задач уже нуждалась развивающаяся техника. Поэтому в следующем столетии ньютонова динамика интенсивно-углублялась, разрабатывалась и совершенствовалась. Судь­ба закона всемирного тяготения сложилась иначе.

4.2. МАССА ИНЕРТНАЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Галилей на опытах с использованием наклонной плос­кости открыл явление падения всех тел на Земле с одина­ковым ускорением. Масса m связана с весом тела, но вес зависит от массы того тела, к которому притягивается масса т. Поэтому вес не может служить коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, и вводят понятие инертной массы М, которая характеризует «неже­лание» тела сдвинуться с места. Масса не зависит от направления движения (это многократно проверялось экспериментально) и с точностью до Ю^-9 является ска­лярной (лат. scalaris «ступенчатый») величиной. (В отличие от векторной величины, каждое значение скалярной вели­чины можно выразить одним, действительным, числом, а совокупность значений изобразить на линейной шкале — таковы длина, площадь, время и т.д.)

Широко известна легенда об открытии Ньютоном закона всемирного тяготения. Но не есть ли движение Луны — явление аналогичное падению хотя бы яблока? Ньютон записал уравнение движения под действием силы тяжести и проверил решение в виде эллиптичных траек­торий для большого класса начальных условий и не очень больших скоростей. Говоря математическим языком, он доказал не теорему единственности такого решения (это впоследствии сделал И.Бернулли), а подтвердил предло­женную Гуком гипотезу обратно пропорциональной зависи­мости силы тяготения от квадрата расстояний. На камень внутри Земли внешние слои не действуют или поле внутри однородной сферы равно нулю, поэтому однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре.

Ньютон связал понятия массы и веса тела. Размышляя о движении Луны, он предположил, что Луна падает на Землю так же, как камень или яблоко, но с ускорением во столько

раз меньшим, во сколько квадрат земного радиуса меньше квадрата расстояния между центрами Земли и Луны. «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения отклоняется от прямо­линейного движения и удерживается на орбите». Гипотеза зависимости притяжения между точечными массами от квадрата расстояний возникла из геометрической аналогии. Так как расстояниег от Земли до Луны составляет60 земных радиусов R, а Т = 27,3 сут. = 2,36 • 10 с, Ньютон оценил отношение ускорений Луны и камня как 1/3600. В самом деле, ускорение свободного падения тела у поверх­ности # = 9,8 м/с², а центростремительное ускорение Луны:

- = 0.0027»;/с

_{1кг1Т)² _ (2/г6(Ш2,361{)'')² _ (1.02)^: /- ~ 60« ~ 60

т.е. g примерно в 60² раз больше ускорения Луны W. Следовательно, сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко (или камень), находящееся на орбите Луны, уменьшится в 3600 раз, что и соответствует отношению квадратов расстояний. Значит, сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, и гипотеза Ньютона верна.

При таких расчетах Ньютон считал, что небесные тела взаимодействуют так, как будто вся их масса сосредо­точена в центре. Доказать это строго он сумел только через 20 лет, но для этого ему пришлось создать инте­гральное исчисление. Если же интересоваться силой,которая действует внутри Земли или другого тела с распре­деленной массой, то зависимость от расстояния будет иной.

Чтобы проверить выводы Галилея, Ньютон провел серию опытов с маятниками и убедился, что свинцовый и деревянный шары падают с одинаковыми ускорениями. Значит, Земля в этом случае одинаково действует на оба шара. Но если действие измерять не ускорением, а силой, с которой приходится удерживать шары в равновесии на весах, то ее влияние на свинцовый шар будет больше, чем

49

на деревянный. Такое влияние Земли на каждый шар (или каждое тело) можно выражать тяжестью, измеренной на весах путем сравнения с тяжестью тела, принятой заединицу. Развивая мысль Галилея, Ньютон вводит понятие силы F = MW как меру действия одного тела на другое, отождествляя вес с силой действия, оказываемого на него Землей.

Далее Ньютон указывает, что, если бы вокруг Земли вращалось несколько лун, то все они двигались бы под действием аналогичной силы, и их движение определялось бы законами Кеплера. (Его предсказание подтвердилось через два с половиной столетия, когда были запущены искусственные спутники Земли.) Впоследствии Ньютон перешел к изучению других планет и планетных систем (это определение он вводит после открытия спутников у Юпи­тера и Сатурна), считая, что силы тяготения должны иметь одну природу — и у поверхности Земли, и в космосе.

По Копернику, пространство однородно и изотропно, в нем нет выделенных направлений и точек. В пространстве работает евклидова геометрия, и физическим действием обладают только те точки, в которых сосредоточена мате­рия. Поэтому на Земле тела падают в направлении не геометрического центра мира (у него — это центр Солнца), а материального центра Земли. Это утверждение справед­ливо и для других небесных тел — в этом коперниканский принцип универсальной гравитации как функции массы тел.

Признание идей материального единства тира — результат коперниканской революции. Если нет различия между земным и небесным, и законы едины для всей Вселенной, то их можно изучать и на Земле. Квадрат расстояния в знаменателе отражает евклидову метрику пространства. То есть, в трехмерном пространстве поверх­ность сферы пропорциональна квадрату радиуса.

Инертная масса определена динамически: прикла­дывается известная сила, измеряется ускорение, и изформулы F = MW выводится масса М. В законе тяготения масса определяется статически: измеряют силу взаимо­действия между двумя телами, расположенными на опре­деленном расстоянии.

Галилей пришел к выводу о пропорциональности грави­тационной т и инертной М масс, сбрасывая тела с высоты. В то время он не мог бы обнаружить это, поэтому он использовал наклонную плоскость, как бы замедлил верти­кальную составляющую. Нетрудно заметить, что металли­ческий шарик скатывается с нее с возрастающей скоростью,

Пусть бросили вниз одновременно два тела, отлича­ющиеся весом, — m_xg и mg. По второму закону Ньютона, их ускорения соответственно определяются из соотно­шений: F₁ = M_xW_xnF₂ =М₂ W₂. Сала, действующая на каждое тело, равна его весу: m_xg = M_xW_xvl m₂g = M₂W₂. Ускорение каждого тела при падении равно:W_x =(т_х / M_x)g иW₂ = (т₂ / M₂)g. Эксперимент Галилея показал, что все тела при отсутствии сопротивления падают с одинаковым ускорением, т.е. отношение ускорений равно единице, или {W_x I W₂) = (т_х I М_х) (М₂ / т₂) = 1. Это возможно только при пропорциональности инертной и гравитационной масс.

Последние эксперименты подтверждают равенство т = М с точностью до 10"¹¹. Опыты венгерского физика барона Лоранда фон Этвеша (1848-1919) показали универ­сальный характер пропорциональности гравитационной и инертной масс, т.е. при соответствующем выборе единиц измерения коэффициент пропорциональности можно сде­лать равным единице. Универсальность означает пропор­циональность масс для всех веществ, поэтому они изме­ряются в граммах.

Теория Ньютона не объясняет причину этой пропорци­ональности, она следует из опытов Галилея: все тела падают с одинаковым ускорением в поле тяжести Земли. Эйнштейн истолкован этот эффект как истинную природу тяготения и положил его в основу общей теории относительности, возведя равенство инертной и гравитационной масс в принцип эквивалентности.

Масса отражает то, что сохраняется при превращении тел из одного агрегатного состояния в другое. В совре­менной физике этот закон уточняется и показано, что масса эквивалентна другому физическому свойству энергии. Поэтому соответствующий закон сохранения относится к массе-энергии.

4.3. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА. ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА И ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Вокруг Солнца вращается девять крупных планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон. Последние три планеты не видны невоору­женным глазом, и они были открыты недавно — в 1783, 1846 и 1930 гг. соответственно. Недавно было сообщение об открытии десятой планеты, еще не получившей имени, которая находится между Нептуном и Плутоном. Все планеты шарообразны, они светят отраженным светом Солнца. Земля расположена от Солнца на расстоянии 149,6 млн км, принимаемом за 1 а.е., а самая далекая из этих планет, Плутон, — на расстоянии в 30 а.е. Таковы размеры солнечной системы. Солнце — одна из огромного числа звезд, которые украшают небосвод. Свет от Солнца доходит до нас за 8,3 с.

И.Кеалер — великий немецкий астроном и математик, открыл три закона движения планет. Первые два были получены на основе исследования движения Марса по

наблюдениям Тихо Браге и опубликованы в 1609 г. Он установил, что орбита Марса — не окружность, а эллипс, i одном из фокусов которого находится Солнце. Такая же закономерность оказалась и для движения других планет, только вытянутость эллипса отличалась. Наиболее вытя­нутую орбиту имеет Меркурий (его эксцентриситет 0,21) и Плутон (е = 0,25). Это — первый закон Кеплера.

Второй закон: каждая планета движется по своей орбите так, что ее радиус-вектор описывает за равные промежутки времени равные площади. Это значит, что чем ближе планета к Солнцу, тем больше скорость движения по орбите.

Так, Марс вблизи перигелия движется со скоростью 26,5 км/с, а вблизи афелия—22 км/с. У комет орбиты более вытянуты, чем у планет, поэтому их скорости меняются от 500 до 1 км/с. У Земли эксцентриситет очень мал (0,017), поэтому орбита Земли — почти окружность, по которой

ИГШ илиже к Солнцу и движется несколько ||,1стрее, чем в июле, когда расстояние на 2,5 млн км дальше, чем 149,6 млн км. В книге «Новая астрономия» (1607 г.) он излагает первые два закона: «апанеты движутся по эллип­сам, в одном из фокусов которого находится Солнце» и «каждая планета движется в плоскости,, проходящей через центр Солнца, причем линия, соединяющая Солнце с пла­нетой, за равные промежутки времени проходит равные площади» (рис.4).

Третий закон движения планет Кеплер установил через 10 лет. Он гласит: отношение кубов больших полуосей орбит двух планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца. Большая полуось—это половина максимального расстояния между двумя точками эллипса. Этот закон позволил оценить размеры солнечной системы. Для круговых орбит это означало, чтоR^ IR₂³ =Т^ I Т₂².

Ньютон использовал эти законы, выведенные из наблю­дений и вычислений, при формулировке закона всемирного тяготения. Он сумел показать, что только в случае, если силы, действующие между тяготеющими телами, пропор­циональны закону обратных квадратов, то все три закона Кеплера выполняются.

Третий закон (1618 г.) — - квадраты периодов обраще­ния планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит» — соответствовал представлениям Кеплера о гармонии и физической причинности, выражая связь между мгновенными значениями меняющихся вели­чин. Так в XVII столетии фактически был сделан первый шаг к математическому анализу. Кеплер понимал, что открытые им численные закономерности могут стать основой новой небесной механики, но не знал действи­тельной причины именно такого движения планет: считая очевидным, что сила, действующая на планеты, должна меняться по закону обратных квадратов, он исходил из внешней аналогии со светом, интенсивность которого меняется как 1/V². Законы Кеплера подходят и для окруж­ностей, поскольку орбиты очень мало вытянуты (рис.25). Вращение — одно из основных видов движения в поле тяготения, и ему также соответствует определенная энер­гия. При равномерном движении по окружности скорость равна длине окружности 2кг, деленной на период Т, т.е. на время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии получим:

Е,

/и У² m\2m-П')~

2

к. вр "

По Ньютону, источник центростремительной саны для небесных тел — гравитация. Приравнивая эти две силы, можно получить важные соотношения между периодом 7

= -Ак'тг / 'Г². Разделив обе части на-от, получим: GM / г² = = 4тт²г / Т². Перенесем зависимость от г в левую часть: GM I г⁵ = 4тг² / Т² и избавимся от дробей: 4rtV.= GMT². Отсюда:г* = (GM / 4k²) Т².

Таким образом, мы пришли к третьему закону Кеаяера для движения планет: г³ ~ Т² — кубы радиусов (или больших полуосей) орбит относятся как квадраты периодов.

Получив в свое распоряжение завещанные ему Т.Браге уникальные материалы наблюдений, Кеплер приступил к их обработке и в 1627 г. издал результаты 22-летнего титанического труда — так называемые «рудольфовы» таблицы (в честь императора Рудольфа II), служившие человечеству почти 200 лет. В процессе работы над табли­цами Кеплер обнаружил некоторые закономерности в движении планет (сначала для Марса), приведшие его к открытию законов, получивших его имя. Второй закон Кеплера следует непосредственно из закона сохранения момента импульса. Момент импульса планеты дается выражениемL = rmV_n, т.е. L/2m = (1/2) г V_n, но последняя величина равна площади, покрываемой за 1 с. Следова­тельно, она равна скорости, с которой покрывает площадь прямая, соединяющая Солнце и планету, или dAIdt,L/2v = = dA/ dt. Но по закону сохранения момента импульса левая часть этого равенства является постоянной, т.е. dA / dt = = const.

Итак, закон тяготения связан с законами Кеплера, полученными из наблюдений за движением планет. Закон тяготения и законы Кеплера пригодны для движений под действием тяготения в задаче двух тел, где одно является центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу али окружности.

Гравитация служит источником центростремительной силы для планет, поэтому условием для отрыва ракеты от Земли может служить равенство кинетической и потенци­альной энергий гравитации.

Условием движения спутника по круговой орбите является равенство силы тяготения и центростреми­тельной силы. Это правило входит в законы планетных движений: квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей (радиусов). Если речь идет о притяжении тала Землей, то g = Got₃ / r₃² и F = Ст_ът / R², где G — универ­сальная гравитационная постоянная.

В 1798 г. английский физик и химик Генри Кавендиш (1731-1810) измерил G с помощью точных крутильных весов (притяжение двух тел измерялось по углу закру­чивания нити, который регистрировался с помощью отра­женного светового луча) и получил значение 6,67 ■ 10-¹¹НМ7КГ².

низм закона очаровал П.Мопертюи, он говорил всем, что Ньютон просто описал факт притяжения, а не объяснял его. Сторонником и пропагандистом теории тяготения Ньютона стал Вольтер. В 1738 г. он издал популярную книгу «Эле­менты учения Ньютона», сыгравшую большую роль в изме­нении общественного и научного мировоззрения во Фран-