Физика. Механика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

C (B − B )

a1x (t) = a2 x (t) = 2B1

+ 6C1t1. = 2

.pdf

Скачиваний:

1027

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

4.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 449 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.4. Ускорение							81
G	2 G		G			2
Дано: r (t) = At	i + B sin(πt) j			; А = 1 м/с ; В = 5 м; t = 5 с.
Найти: υ.
Из условия задачи следует, что r (t) = At2 , r (t) = B sin(πt) , r (t) = 0,
				x		y	z
и, следовательно, материальная точка движется в плоскости OXY.
Определим проекции вектора скорости.
υx =		dx	= 2At,	υ y =	dy	= πB cos(πt) ,
υx =		dt	= 2At,	υ y =	dt	= πB cos(πt) ,
		dt			dt

Найдем модуль вектора скорости (см. 1.8.).

			υ = υ2x		+ υ2y = 4A2t2 + π2 B2 cos2 (πt) .
Ответ: модуль вектора скорости
υ =	4A2t2 + π2 B2 cos2 (πt) = 18, 7 м/с.
Задача 1.2.
Координаты двух материальных точек x (t) = A t + B t2								+ C t3	,
x (t) = A t + B t2			+ C	t3 ,	1	1	1	1
x (t) = A t + B t2			+ C	t3 ,	где B1 = 4 м/c2, C1=–3 м/c3, B2= –2м/c2, C2 = 1
2	2	2	2

м/c3. Определить проекции ускорения точек на ось Х и момент вре-

мени t1, когда их ускорения равны.

Дано: x (t) = A t + B t2 + C t3

;

x (t) = A t + B t2

+ C

t3 ;

= 4 м/c2,

C1 = –3 м/c3, B2= –2м/c2, C2 = 1 м/c3.

Найти: t1 , a1x (t1 ),

a2 x (t1 ).

По формуле (1.11) находим ускорения

(t) =

d 2 x

= 2B + 6C t,

(t) =

d 2 x

= 2B + 6C

(1)

dt2

2 x

В момент времени t1 по условию задачи a1x (t1 ) = a2 x (t1 ),

2B1 + 6C1t1 = 2B2 + 6C2t1.

Из последнего равенства находим

B1 − B2

3(C2 − C1 )

Из уравнений (1) определим ускорение точек в момент време-

82						Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Ответ:
t =	B1 − B2		= 0,	5 c; a	= a	= 2	B	+	C1 (B1 − B2 )	= −1 м/с2.

1	3(C2	− C1 )		1x	2 x		1
									C2 − C1

Задача 1.3.

Точка движется по окружности радиусом R = 3 м по закону s = = At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2. Определить для момента времени t = 1 c послеGначала движения модули векторов нормального aGn , касательного aτ и полного aG ускорений.

Дано: s = At 2 + Bt; A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с2, R = 3 м, t = 1 c.

Найти: aτ , an , a.

Модуль скорости (см. 1.6.)

υ (t) =

dS (t)

= 2At + B .

Модуль вектора касательного ускорения

aτ =

dυ(t)

= 2A .

Модуль вектора нормального ускорения

υ2 (t)

(2At + B)2

Модуль полного ускорения

a = a2

+ a

2 = 4A2 +

2( At + B)4

Ответ: aτ = 2A = 0,8 м/с2, an

(2At + B)2

= 0, 27 м/с2,

a =

4A2 +

2( At + B)4

= 0,84

м/с2.

1.5. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

Движение называется равномерным и прямолинейным,G если точка движется по прямой линии с постоянной скоростью υ .

Рассмотрим движение материальной точки с постоянной скоростью. Пусть в начальныйG момент времени t = 0, координата точки х = х0, а скорость υ совпадает с направлением оси Ох (рис. 1.8).

1.6. Кинематика равнопеременного прямолинейного движения								83
Найдем координату х и путь s,					G		G	Х
пройденный точкой за интервал вре-					υ		υ


мени t. Воспользуемся определением
мени t. Воспользуемся определением			0	x0		s x
скорости υx =	dx		0	x0		s x
скорости υx =	dx	и запишем переме-				Рис. 1.8

щение точки по оси OХ за малый интервал dt.

dx = υx dt ,

где υx — проекция вектора скорости υ на ось ОХ. Проинтегрируем левую и правую часть последнего равенства в

пределах изменения переменных x и t

∫x dx = ∫t υx dt ,

x0 0

x − x0 = υxt ,

x= x0 + υxt .

Вобщем случае с учетом того, что движение возможно и против

оси OХ

x = x0 ± υt .

При прямолинейном равномерном движении пройденный точкой путь s равен модулю ее перемещения

s = x − x0 = υt .

1.6.КИНЕМАТИКА РАВНОПЕРЕМЕННОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

Движение называется равнопеременным и прямолинейным,G если тело перемещается по прямой линии с постоянным ускорением a . Равнопеременное прямолинейное движение может быть равноускоренным, когда вектор ускорения совпадает с вектором мгновенной скорости (рис. 1.9а) и равнозамедленным, когда ему противоположен (рис. 1.9б).

ПустьG в начальный момент времени координата точки x = х0, скорость υ0 совпадает с направлением оси ОХ.

84	Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

			a			a		Для определения коор-
								динаты x и пути пройден-
	υ0		υ		υ0	υ		ного точкой с момента на-
0	x0		x	X	0 x0	x	X	чала ее движения спроек-
			а)			б)		тируем векторы скорости и
				Рис. 1.10				ускорения на ось OХ. При
								равноускоренном движе-
нии ax		= a , υ0 x		= υ0 , а равнозамедленном ax = −a υ0 x = υ0 , где υ0 , a —

модули векторов начальной скорости и ускорения. Путь, пройденный точкой за время t

s = ∫t	υx	dt ,	(1.19)
s = ∫t	υx	dt ,	(1.19)
0

где	υx	— модуль проекции вектора скорости на ось OХ находится
где	υx	— модуль проекции вектора скорости на ось OХ находится
из	соотношения dυx = ax dt		(см. 1.11) интегрированием его левой и
правой части в пределах изменения переменных υx и t
		υx	t
		∫	dυx = ∫ ax dt,
		υox	0

υx − υ0 x = axt ,

υx = υ0 x + axt .

Подставим в соотношение (1.19) значение скорости υx для равноускоренного движения и учтем, что ах = а, υ0 x = υ0

s =	x − x0	= ∫t	(υ0 + a t)dt =				υ0t +	a t2	,
								a t2

0							2
где						a t2
		x = x		+ υ	t +	a t2	.		(1.20)
		x = x		+ υ	t +		.		(1.20)
			0	0		2
						2

Для равнозамедленного движения проекция скорости υ на ось ОХ

икоордината точки определяются по следующим формулам:

υx = υ0 − axt ,

x = x	+ υ	t −	at2	.	(1.21)

0	0		2

1.7. Кинематика равнопеременного движения

Путь

при t < υ0 ,

− x

s =

при t > υ0

(x − x

) + x − x

где x

= x + υ0 .

1.7. КИНЕМАТИКА РАВНОПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Движение называется

равнопеременным, если тело

перемещается с постоянным

υ0x

вектором ускорения.

υ0y

υ0

Примером равнопере-

υy α ax

менного движения являет-

ся движение тела, брошен-

ного со скоростью υ0 под

υ0x

углом ϕ к горизонту.

Рис. 1.10

Движение тела происхо-

дит в гравитационном поле G

Земли с постоянным ускорением свободного падения g . Для определения положения тела в пространстве разложим его движение на равномерное прямолинейное по оси OХ со скоростью υ0 x = υ0 cos ϕ и равнопеременное по оси OY с ускорением свободного падения g и

начальной скоростью υ0 y		= υ0 sin ϕ .
В момент времени t координаты тела
	x = υ0t cos ϕ,
				gt			(1.22)
				gt	2		(1.22)
	y = υ0t sin ϕ −					,
	y = υ0t sin ϕ −			G2		,
		G	G	G2
вектор скорости		υ = υx i + υ y		j ,			(1.23)
модуль вектора скорости
υ =	υ2x + υ2y	=	υ02 cos2 ϕ + (υ0 sin ϕ − gt)2 ,				(1.24)
где υx = υ0 cos ϕ,	υ y = υ0 sin ϕ − gt .

86 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Уравнение траектории найдем путем исключения параметра t из

равенств (1.22)
y = x tgϕ −	gx2
		.	(1.25)
	2υ02 cos2 ϕ

Вектор ускорения свободного падения в любой точке траектории можно разложить на его касательную аτ и нормальную аn составляю-

щие (рис. 1.10.).
Модуль касательного ускорения
aτ = g cos α = g	υ y	=	g (υ0 sin ϕ − gt)
					,	(1.26)
			υ02 cos2 ϕ + (υ0		,	(1.26)
	υ		υ02 cos2 ϕ + (υ0	sin ϕ − gt)2		G
			G			G
где α — угол между векторами скорости υ				и ускорения g в задан-
ной точке траектории.
Модуль нормального ускорения
	an =		g2 − aτ2 .			(1.27)

Из сравнения уравнения параболы y(x) = ax2 + bx + c и равенства (1.25) следует, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе.

1.8. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Z			Рассмотрим движение м. т. по окруж-
Z			ности радиусом R с постоянной линейной
G			ности радиусом R с постоянной линейной
G			скоростью υ вокруг неподвижной оси Z
ω			(рис. 1.11).
G			(рис. 1.11).
dφ	R		Положение точки зададим радиус-век-
R dφ	G	G	тором rG , исходящим из точки О оси Z. За
	dr	G	малый интервал времени dt точка совер-
G	G	υ	малый интервал времени dt точка совер-
G	G

Gм. т.

βбудем характеризовать вектором dϕ и оп-r r dϕ

Рис. 1.11

ределим его направление правилом правого винта (если вращать правый винт по направлению движения точки, то поступательное движение винта совпадает

1.8. Кинематика равномерного вращательного движения

свектором dϕ ). Модуль вектора dϕ равен углу поворотаG точки за интервал времени dt . Линейное перемещение вектора r за время dt равно

dr = Rdϕ = r sin βdϕ ,			G
	G	и вектором		R = r sin β .
где β — угол между вектором r			dϕ ,
Вектор перемещения
G		G G		(1.28)
dr	= [dϕ r ] .

Последнее равенство справедливо для бесконечно малого угла dϕ.

Вектор линейной скорости движения точки
			G	G		G	G	GG
			G	dr	dϕ		G	GG
			υ =		=		r =	[ωr ],	(1.29)
			υ =		=		r =	[ωr ],	(1.29)
G		G		dt	dt
G		dϕ
где ω =			— вектор угловой скорости.
где ω =		dt	— вектор угловой скорости.
		dt			G
Вектор угловой скорости ω совпадает с направлением вектора
G	G		G
dϕ ) (ω ↑↑ dϕ) .

Согласно правилу векторного умножения векторов модуль векто-

ра линейной скорости

υ = ω r sin β = ω R .

(1.30)

Вектор линейного ускорения

G G

dυ

dω

a =

[ω r

] =

+ ω

= [ε

r ]+ [ω υ] = aτ + an , (1.31)

где εG =

dω

— вектор углового ускорения, aGτ

= [εG rG]

— вектор каса-

тельного ускорения, an =

[ω υ] — вектор нормального ускорения.

Направление вектора углового ускорения

εG совпадает с направ-

лением вектораGω

( εG

↑↑ ω ), если угловая скорость возрастает, и про-

тивоположно ( ε ↑↓ ω ), если она уменьшается.

Модули векторов

aGτ

= ε r sin β = ε R ,

aGn

= ω2 R .

Модуль полного

ускорения

a =

aτ2 + an2

= R

ε2 + ω4

(1.32)

Угловой путь м. т., движущейся по окружности за время dt

88	Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

dϕ = ωdt .

Интегрируя последнее равенство в пределах изменения угла и времени, найдем угловой путь (ϕ − ϕ0 ) точки за интервал времени t при начальном угле ϕ0

ϕ	t
∫ dϕ = ∫ωdt,
ϕ0	0

ϕ − ϕ0 = ∫t ωdt .

При постоянной угловой скорости ω угловой путь и угол поворота определятся из равенств

ϕ − ϕ0 = ωt ,

ϕ = ϕ0 + ωt .

(1.33)

При равноускоренном вращении точки по окружности для t = 0, ω(t = 0) = ω0 ε = const , угловая скорость определяется из соотноше-

ния

ω = ω0 + εt ,

которое получается интегрированием равенства dω = εdt в пределах изменения угловой скорости и времени

ωt

∫dω = ∫ εdt ,

ω0

ω − ω0 = εt .

Для равноускоренного вращения за время t угловой путь и угол поворота определяются из соотношений

dϕ = ωdt ,

dϕ = (ω0 + εt)dt ,

ϕ	t
∫ dϕ = ∫(ω0 + εt)dt ,
ϕ0	0
ϕ − ϕ0	= ω0t +	εt2	,
ϕ − ϕ0	= ω0t +	2	,
		2

1.8. Кинематика равномерного вращательного движения				89
ϕ = ϕ0	+ ω0t +	εt2	.	(1.34)
		2
Для равнозамедленного вращения

ω = ω0 − εt ,
ϕ − ϕ0	= ω0t −	εt2	,	(1.35)
		2

ϕ = ϕ0	+ ω0t −	εt2	.
		2

Согласно определению угловая скорость измеряется в рад/с, угловое ускорение — рад/с2.

Примеры решения задач

Задача 1.4.

Материальная точка движется без начальной скорости υ0 = 0 вдоль прямой с ускорением a = k t , где k = const. Определить в момент времени t1 = 10 c скорость точки υ1 и пройденный ею путь s1, если известно, что за это время ускорение достигает значения a1 = 5 м/с2.

Дано: υ0 = 0 ; t1=10 c; а1=5 м/с2. Найти: υ1, s1.

Движение материальной точки ускоренное и прямолинейное. Из

определения ускорения a =						dυ				найдем скорость в момент време-
определения ускорения a =						dt				найдем скорость в момент време-
ни t						dt
ни t
				t1				t1							kt2				a t
				υ1 = ∫ a(t)dt = ∫ ktdt =											1		=		1 1		,	(1)
				υ1 = ∫ a(t)dt = ∫ ktdt =										2			=		2		,	(1)
	a1			0				0						2					2
где k =	a1	.
где k =		.
	t
1
Пройденный точкой путь
				t1		t1	kt2						kt3					a t2
				s = ∫ υdt =		∫					dt =			1		=			1 1	.		(2)
				s = ∫ υdt =		∫	2				dt =			6		=			6	.		(2)
				0	0		2							6					6
Ответ: υ =			a t	= 25 м/с,	s =				a t2
			1 1							1 1		= 83,3 м.
												= 83,3 м.
1			2							6
			2							6

90 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Задача 1.5.

Материальная точка начинает движение по окружности радиусом

R = 29 см с постоянным касательным ускорением aτ = 0, 5 м/с2. Опре-

делить пройденный путь s, угловую скорость ω, угловое ускорение ε

и время t, при котором вектор ускорения aG

образует с вектором ско-

рости υ угол α = 30°.

Дано: R = 29 см = 0,29 м; aτ = 0,5 м/с2;

aτ

α = 30°; υ0

= 0 .

a α

Найти: t, s, ω, ε.

Из определения касательного ускорения

aτ

dυ

найдем скорость точки

υ = ∫ aτ dt = aτ t .

Нормальное ускорение в момент времени t

υ2

aτ

2t2

Укажем на рисунке направление векторов aGτ , aGn , aG , угол α, и

найдем

tgα =

a 2t2

aτ

R aτ

t =

Rtgα

aτ

Путь, пройденный точкой (см. 1.6)

aτ t2

Rtgα

s = ∫ υdt =

∫ aτ tdt =

Угловая скорость 0

aτ t

aτ tgα

ω =

Угловое ускорение

dω

aτ

ε =

dt R

Ответ: t =

Rtgα

aτ tgα

aτ

= 0,58 c,

ω =

= 1

рад/с, ε =

= 1, 73

рад/с ,

aτ

s =

aτ Rtgα

= 0, 43 м.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 449 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>