Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика
.pdf2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной |
31 |
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цель этого раздела — исследование поведения функции y = y (x)
вокрестности точки x.
2.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Функция y = y (x) называется дифференцируемой в точке x, если при-
ращение функции y можно представить в виде |
|
||||
|
|
|
|
y = А x + о ( x), |
(2.1) |
где А не зависит от x, но при этом зависит от x, а о ( |
x) − бес- |
||||
конечно малая величина более высокого порядка, чем |
y, т. е. |
||||
|
о( |
x) |
|
||
lim |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
x |
|
||
Главная, линейная по x, часть приращения функции называется
дифференциалом функции в точке x и обозначается |
|
||||||||||||
|
dy = А |
x. |
|
|
|
(2.2) |
|||||||
Найдем А, учитывая, что А не должно зависеть от |
x; при этом |
||||||||||||
пусть приращение x стремится к нулю. |
|
|
|
|
|||||||||
А = |
|
y |
− |
o( |
|
x) |
|
; |
|
|
(2.3) |
||
|
x |
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim A = A ; |
|
|
|
(2.4) |
||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
o( x) |
|
y |
|
|
|||||
А = lim |
|
|
− |
|
|
|
|
= lim |
|
. |
(2.5) |
||
x |
|
|
x |
|
x |
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||
Производной функции y = y (x) в точке x называется предел отноше-
ния приращения функции |
y к приращению аргумента |
x при стрем- |
|||||
лении последнего к нулю lim |
|
y (при условии, что он существует). |
|||||
Принято обозначать |
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = y′ (x) = lim |
y |
= lim |
y (x + |
x) − y (x) |
. |
(2.6) |
|
x |
|
|
|||||
x |
→0 |
x→0 |
x |
|
|||
32 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно суще-
ствование производной y′ (x) . При этом |
|
dy = y′ dx. |
(2.7) |
Поэтому процесс нахождения производной также называют диф-
ференцированием. |
|
|
|
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ |
|
||
Как видно из рис. 2.1, тангенс угла наклона секущей АВ |
|
||
tgϕ = BC = |
y = |
y(x + x) − y(x) . |
(2.8) |
AC |
x |
x |
|
|
|
При x →0 секущая АВ стре- |
|
|
|
мится к положению касатель- |
|
|
|
ной АD; тогда tgϕ = y ′(x), где |
|
|
|
ϕ — угол наклона касательной |
|
|
|
к графику функции в точке x. |
|
|
|
Значение y′ (x0 ) позволяет |
|
|
|
записать уравнение касательной |
|
|
|
к кривой y = y (x) в точке x0: |
|
|
|
y – y0 = y′ (x0 ) (x – x0), |
(2.9) |
|
Рис. 2.1 |
|
а также уравнение нормали: |
||
|
|
|
|
||
|
y – y0 = – |
|
1 |
(x – x0), при y′ (x0 ) ≠ 0 |
(2.10) |
|
|
y′ (x0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
При |
y′ (x) > 0 в точке x функция является возрастающей, а при |
||||
y′ (x) <0 — убывающей. |
|
|
|
||
|
2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА |
|
|||
Как было получено, приращение функции |
|
||||
|
|
|
y = dy + о ( x). |
(2.11) |
|
При |
x → 0, y dy. |
|
|
|
|
Таким образом, линейное приращение функции можно оценивать по дифференциалу dy.
2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной |
33 |
Вернемся к рис. 2.1: y = ВС; о ( x) = DВ; dy = DС.
Как видно, дифференциал функции графически изображается приращением ординаты касательной.
2.4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие производной введено Г. Лейбницем (Германия) и И. Ньютоном (Великобритания) в конце XVII века практически одновременно. Лейбниц решал геометрическую задачу о проведении касательной к плоской кривой. Ньютон же рассматривал движение точки и ввел понятие скорости в данный момент времени. Так как значение
производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной, можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.
Замечания
1. Для независимой переменной x по определению dx = x.
2.Наряду с обозначением y ′ используют запись y ′= dydx .
3.В физике для производной по времени приняты следующие
обозначения:
x = x (t); x = dxdt .
2.5.ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
ИОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Для нахождения производных пользуются таблицей производных элементарных функций.
Таблица производных элементарных функций
Функция |
Производная |
|
Функция |
|
|
|
|
Производная |
|
|||||||||
С (посто- |
|
0 |
|
(1) |
loga x |
|
1 |
|
loga e = |
|
1 |
|
|
(11) |
||||
янная) |
|
|
|
x |
|
|
|
x ln 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
|
(2) |
lg x |
|
1 |
lg e ≈ |
0, 4343 |
|
(12) |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x n |
n x n–1 |
(3) |
sin x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
(13) |
||||||
|
1 |
|
− |
1 |
|
(4) |
cos x |
|
|
|
|
–sin x |
|
|
|
(14) |
||
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция |
Производная |
|
Функция |
Производная |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
− |
|
n |
(5) |
tg x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(15) |
|||||
|
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
xn |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
(6) |
ctg x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
(16) |
|||||||||
|
|
|
|
2 x |
sin |
2 |
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
x |
|
1 |
|
|
|
(7) |
arcsin x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(17) |
||||||
|
n n xn−1 |
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
е х |
|
|
|
е х |
(8) |
arccos x |
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
(18) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а х |
|
а х ln а |
(9) |
arctg x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(19) |
|||||||||
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln x |
1 |
|
|
|
(10) |
arcctg x |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
(20) |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|||||||||||||||
Существуют следующие основные правила дифференцирования (здесь С — постоянная, а u и v — функции от x, имеющие производные):
|
|
|
|
(C)′ = 0 |
|
(2.12) |
||
(u + v)′ = u′ + v′ |
(2.13) |
|||||||
|
|
(Cu)′ = Cu′ |
|
(2.14) |
||||
(uv)′ = u′v + uv′ |
(2.15) |
|||||||
u |
′ |
|
′ |
|
|
|
||
|
u v − uv′ |
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
(2.16) |
|
|
v |
2 |
|||||
v |
|
|
|
|
||||
Приведем примеры нахождения производных.
Пример 1. Найти производную от функции y = 5x3 − 2x2 + 3x − 4 .
Основываясь на формуле (2.13), имеем y′ = (5x3 )′ − (2x2 )′ + (3x)′ − (4)′ .
Далее, применяя формулы (2.12) и (2.14), получаем y′ = 5(x3 )′ − 2(x2 )′ + 3(x)′ .
2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной |
35 |
Наконец, пользуясь формулой (3) из таблицы, приходим к окончательному результату
y′ = 5 3x2 − 2 2x + 3 1, или y′ = 15x2 − 4x + 3 .
Пример 2. Дано: y = x3 cos x . Найти: y′ .
По правилу дифференцирования произведения функций (2.15) получаем
y′ = x3 (− sin x) + 3x2 cos x , или y′ = − x3 sin x + 3x2 cos x . Здесь применялись формулы (3) и (14) из таблицы.
2.6. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы дифференцирования позволяют находить производные от функций только в самых простых случаях. Знания этих правил и формул недостаточно для дифференцирования функций более сложного вида, таких,
например, как y (t) = 16t2 + 9 или y (t) = 3 cos2πt. В подобных случаях пользуются более общими формулами дифференцирования, основанными на теореме о производной функции от функции.
Пусть y есть функция от u: y = f (u), где u в свою очередь функция от аргумента x: u = ϕ(x); в таком случае говорят, что y есть функция от функции. Очевидно, можно записать y = f (ϕ(x)). Если существу-
u |
( |
u |
) |
x |
= ϕ′ |
( |
x |
) |
, то существует и производ- |
ют производные f ′ = f ′ |
|
|
и u′ |
|
|
||||
ная от y по x, причем имеет место равенство |
|||||||||
|
|
|
|
y′ = |
f ′ u′ . |
|
(2.17) |
||
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
Индексы указывают, по какой переменной производится дифференцирование. Покажем, как пользоваться формулой (2.17).
Пример 1. Найти y′ , если y = (x2 + 5x + 7)8 .
Полагая u = x2 + 5x + 7, имеем y = u8. По формуле (3) y′ = 8u7 (2x + 5), или, окончательно y′ = 8(x2 + 5x + 7)7 (2x + 5) .
Пример 2. Найти y′ , если y = ln (x3 + 7x + 2).
Принимая в данном случае за u = x3 + 7x + 2 и пользуясь форму-
лой (10), получаем y′ = |
3x2 + 7 |
|
|
. |
|
x3 + 7x + 2 |
||
36 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Многие физические величины определяются как производныеG по времени от других физических величинG . Например, скорость v —
первая производная радиус-вектора r по времени t. Обозначается это
следующим образом: |
|
|
||||
|
vG = |
drG |
или vG = rG′ = rG . |
(2.18) |
||
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
t |
|
|
Ускорение aG |
|
|
|
|
||
— первая производная скорости vG |
по времени t |
|||||
|
aG = |
dvG |
|
или aG = vG′ = vG . |
(2.19) |
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
Сила тока I — первая производная заряда q по времени t (или, что то
же самое, скорость изменения заряда) |
|
|
||
I = |
dq |
или I = q′ = q . |
(2.20) |
|
|
||||
|
dt |
t |
|
|
|
|
|
||
Электродвижущая сила индукции ε— взятая со знаком «минус» пер-
вая производная магнитного потока Ф по времени |
|
||
ε = − |
dФ |
или ε = –Фt′ = − Ф . |
(2.21) |
|
|||
|
dt |
|
|
Вопросы и задания для самопроверки
1.Дайте определение дифференциала функции в точке.
2.Дайте определение производной функции.
3.Поясните геометрический смысл производной и дифференциала.
4.Поясните механический смысл производной.
5.Пользуясь таблицей производных и основными правилами дифференцирования (формулами 2.12–2.19), найдите производные от следующих функций:
1)y = 9x2 − 2x + 3,
2)y = 6x3 + 3x − 4,
3)y = 5x + ln x + 3sin x,
4)y = 7 ln x3 − 2 cos x,
5)y = x3 ln x,
6)y = x2 sin x,
7)y = tgx3 cos x,
2. Дифференциальное исчисление функции действительной переменной |
37 |
8)y = 16x2 + 9 ,
9)y = 3 cos 2πx.
6.Приведите примеры физических величин, которые являются производными от других физических величин по времени.
Примеры решения задач
Задача 2.1
Радиус-векторG материальнойG точки меняется со временем по закону rG (t) = 2t 2 i G+ 3t Gj + 4 k , м. Найти: 1) зависимость скорости точки от времени v (t), 2) зависимость модуля скоростиG от времени v (t), 3) зависимость ускорения точки от времени a (t), 4) зависимость модуля ускорения от времени a (t), 5) значения скорости и ускорения в
момент времени t = 1 с от начала движения. |
|
Дано: rG (t) = 2t 2 iG + 3t Gj + 4 kG, м; t = 1 c. |
|
Найти: vG (t), v (t), aG(t) , a (t ) , v, a. |
|
1. Скорость vG — первая производная радиус-вектора rG по време- |
|
ни. Поэтому для нахождения зависимости vG (t) достаточно продиф- |
|
ференцировать по времени заданную зависимость rG = rG(t) : |
|
vG(t) = drdtG = (2t2iG+ 3tjG+ 4kG)′t = 4tiG+ 3Gj + 0kG = 4tiG+ 3Gj , м/c. |
(1) |
2. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора как корень
из суммы квадратов компонент вектора. Для модуля скорости |
|
v = vx2 + vy2 + vz2 . |
|
Из уравнения (1) имеем vx = 4t м/c, vy = 3 м/c, vz = 0 м/c. |
|
Получаем |
|
v (t) = (4t )2 + 32 + 02 = 16t2 + 9 , м/с |
(2) |
3. Так как ускорением aG является первая производная скорости vG |
||||
по времени, то для получения зависимости aG |
от t необходимо про- |
|||
дифференцировать по времени полученную выше зависимость vG |
||||
(t) — выражение (1). Тогда |
|
|
||
aG = |
dvG |
= (4tiG+ 3Gj )′t = 4iG+ 0 Gj = 4iG |
, м/с2. |
(3) |
|
||||
|
dt |
|
|
|
38 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
4. Модуль ускорения определяется соотношением a = ax2 + ay2 + az2 . Как видно из зависимости (3), ax = 4 м/c2, ay = 0 м/c2, az = 0 м/c2. По-
этому |
|
a = 42 + 02 + 02 = 4 м/с2. |
(4) |
5. Значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от начала движения легко получить, подставив значение времени t = 1 с в
выражения (2) и (4). Тогда v (1) = 5 м/c, a (1) = 4 м/c2. |
|
Ответ: зависимость скорости точки от времени vG(t) = 4tiG+ 3Gj, м/c; |
|
зависимость модуля скорости от времени v (t) = |
16t2 + 9 , м/с; за- |
висимость ускорения точки от времени aG(t) = 4iG |
, м/с2; зависимость |
модуля ускорения от времени a (t ) = 4 м/с2; значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от начала движения: v (1) = 5 м/c, a (1) = 4 м/c2.
Задача 2.2
Заряд на обкладках конденсатора меняется согласно уравнению q (t) = 0,03 cos2πt, Кл. Найти силу тока I в цепи в момент времени t = 6 с.
Дано: q (t) = 0,03 cos2πt, Кл; t = 6 с. Найти: I (6).
Сила тока I — это первая производная заряда q по времени t. Исходя из этого определения, получим зависимость тока в цепи от времени I (t). Для этого продифференцируем заданную зависимость q (t) по времени.
I (t) = dqdt = (0,03 cos2πt )t′ = −0,03 2π sin 2πt , А
(здесь А — Ампер, единица измерения силы тока).
Теперь в полученное выражение подставим значение времени t = 6 с.
I (6) = −0,03 2π sin 2π 6 = −0,03 2π sin12π = 0 A.
(так как sin12π = sin0 = 0) Ответ: I (6) = 0 А.
3. Интегральное исчисление |
39 |
Задача 2.3
Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со време-
нем по закону Ф(t) = 4 sin π t , Вб. Найти модуль эдс индукции ε, воз- |
|
|
2 |
никающей в рамке в момент времени t = 8 с. |
|
Дано: Ф(t) = 4 sin |
π t , Вб; t = 8 с. |
Найти: Ф (8). |
2 |
|
|
Согласно закону электромагнитной индукции эдс, возникающая в рамке, определяется выражением
ε(t) = − dФ . dt
Поэтому сначала найдем зависимость эдс от времени, дифферен-
цируя по времени заданную зависимость Ф (t) |
|
|||||||
|
4 sin |
π |
|
′ |
π |
cos |
π |
t , В |
ε (t) = − |
2 |
t |
= −4 |
2 |
2 |
|||
|
|
t |
|
|
||||
В полученную зависимость ε(t) подставляем t = 8 с и получаем
π |
8 |
|
|
ε (8) = −2π cos |
2 |
= −2π cos (4π) = −2π 1 = −6,28 В. |
|
|
|
|
|
Ответ: модуль эдс индукции ε (8) = 6,28 В.
3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной y = f (x) называется такая функция F (x), производная от которой равна f (x) (или, что то же самое, дифференциал от которой равен f (x) dx):
F ′(x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. |
(3.1) |
Первообразных функций для данной — бесконечное множество; разность между двумя первообразными функциями F1 (x) и F2 (x) — ве-
40 |
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ |
личина постоянная. Графики всех функций F1 (x), F2 (x), F3 (x), …, первообразных для данной, представляют собой одну и ту же кривую и получаются один из другого в результате параллельного сдвига кривой в направлении оси ординат в ту или иную сторону (рис. 3.1).
3.2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Общее выражение F (x) + const для всех первообразных функций от данной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) или от дифференциала f (x) dx. Обозначение:
F(x) + const = ∫ f (x)dx. |
(3.2) |
(∫ — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение).
3.3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенным интегралом функции y = f (x) в пределах от а до b, заданной в замкнутом интервале [а, b] (при этом может быть а < b (случай А) или а > b (случай Б)), называется число, получаемое следующим образом:
1) интервал [а, b] разбивается на n «элементарных интервалов» произвольными числами x1, x2, …, xn–1, выбранными так, что
a = x0 <x1 <x2 <… <xi <…<xn-1 <xn = b
или
a = x0 > x1 > x2 >… > xi >…> xn-1 > xn = b.
2) внутри (или на границе) каждого элементарного интервала [xi–1, xi] выбирается произвольно одно число ξI (рис. 3.2):
xi–1 ≤ ξI ≤ xi
или
xi–1 ≥ ξI ≥ xi;