Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика

1. Векторная алгебра

21

Дано: v = 10 м/с; m = 1 кг.

Найти:

p.

Изменение какой-либо величины — это разность

конечной и начальной величины. Значит,

pG = pG

− pG .

2

1

Пусть тело находилось в точке 1 и, двигаясь по часовой

стрелке, оказалось в точке 2. Так как импульс по опре-

делению есть pG = mvG, то векторы pG

и vG сонаправлены.

Вектор скорости vG

, как вы скоро узнаете из курса ме-

ханики, направлен по касательной к траектории тела.

Поэтому в точке 1 вектор pG горизонтален, а в точке 2

вектор pG

1

вертикален. Построим разность векторов pG

2

1

и pG2 (правило вычитания векторов изложено на с. 15).

Так как pG

pG

, то по теореме Пифагора

1

2

p =

p2

+ p2 =

(mv)2 + (mv)2 =

2mv =

2 1 10 ≈ 14,1

кг м

.

1

2

с

Ответ: модуль изменения импульса тела

p ≈ 14,1

кг м

.

с

Задача 1.5

Вектор скорости тела меняется со временем по закону

vG(t) = 6t iG+ 4 Gj

− 12t 3 kG , м/с,

G

G

G

где t — время, а i ,

j , k — орты координатных осей. Найти зависи-

мость модуля скорости от времени v (t).

Дано: vG(t) = 6t iG + 4

Gj − 12t 3 kG , м/с.

Найти: v (t).

В данной задаче вектор vG выражен через проекции на координат-

ные оси и орты iG,

j, kG

координатных осей (см. с. 16). Сомножители

при ортах iG, Gj и kG

−это проекции вектора скорости на оси OX, OY, OZ,

22

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

v(t) =

vx2 + vy2 + vz2 = (6t)2 + (4)2 + 12t3 )2 = 36t2 + 16 + 144t6 , м/с.

Ответ: зависимость модуля скорости от времени

v(t) =

36t2 + 16 + 144t6 , м/с.

на тело, и осью OX в момент времени t = 1 с.

Дано: FG(t) = 4iG

+ 7tjG+ 2tkG , Н; t = 1 с.

Найти: α.

Найдем длину вектора FG . Как и в предыдущей задаче, запишем

компоненты вектора FG :

Fx = 4 H, Fy = 7t H, Fz = 2t H.

Используя формулу (1.11), получаем

cosα =

Fx

=

4

=

Fx2 + Fy2 + Fz2

42 + (7t )2 + (2t )2

=

4

=

4

.

16

16

+ 49t2 + 4t2

+ 53t2

В данную формулу подставим значение времени t = 1 с:

cos α =

4

=

4

≈ 0, 48 ,

16 + 53 12

69

αG= arccos 0,48 ≈ 61,3°.

Ответ: между силой F и осью OX угол α ≈ 61,3°.

1.7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

G

G

Скалярным произведением двух векторов a и b называется произ-

ведение их модулей на косинус угла между ними.

G

G

G G

G

G

Обозначения: a

b =

a b

= (a, b ).

Согласно определению

G

G

G

G

G

G

(1.14)

a b = | a

| | b

| cos( a,^ b ).

24

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

dФ = BG dSG

= B dS cosα,

(1.18)

где α — угол между вектором BG

и вектором нормали nG к данной по-

Примеры решения задач

Задача 1.7

G

G

G

Найти скалярное произведение a b , если длины векторов | a | = 2 м

G

и | b | = 1 м, а угол между ними α = 120°.

Дано: | aG| = 2 м; | bG

| = 1 м; α = 120°.

G

G

Найти: a

b .

По определению скалярного произведения

G

G

G

G

1

2

a

b

= | a

| | b | cosα = 2 1 cos120° = 2 1

(−

) = −1 м

.

2

G

G

2

Ответ: скалярное произведение a

b = −1 м .

F

2

Ответ: работа силы AF ≈ 14,1 Дж.

AN = N S cosα = mg S cosα = 1000 10 1000 cos90° =

= 1000 10 G1000 cos90° = 0 Дж (между векторами нормальной ре-

акции опоры N и перемещения угол α = 90°).

Ответ: работа, совершаемая силами тяги FG , трения FGтр , нормаль-

ной реакции опоры NG и тяжести mgG , A = 5 106

Дж, A = −106 Дж,

F

Fтр

AN = 0 Дж, Amg = 0 Дж соответственно.

Найти: Р.

G

G

Мощность P = F

v = F v cosα=

= 10 5 cos30° = 10 5

3

= 42

Вт.

2

FG

Ответ: развиваемая силой

Векторным произведением вектора aG (множимое) на непараллель-

ный с ним вектор bG

(множитель) называется третий вектор cG

(про-

изведение), который определяется следующим образом:

1) модуль | cG | численно равен площади параллелограмма (АОВL

на рис. 1.18), построенного на векторах aG

и b,

G

G

G

G

G

(1.20)

| c

| = | a

| | b

| sin( a1,^ a2);

2) линия, вдоль которой направлен

вектор cG

, перпендикулярна плоско-

сти упомянутого параллелограмма;

3) направление вектора cG выбира-

G

G

ется так, чтобы векторы a, b и

c со-

Рис. 1.18

ставляли правую систему, т. е. вектор

cG

направлен в такую сторону, из ко-

торой переход вращением от первого вектора — сомножителя aG ко

второму вектору-сомножителю bG

через наименьший угол виден про-

тив хода часовой стрелки.

G

G

G

G

G

G

].

Обозначения: c =

a

× b или

c

= [a, b

G G

G

G

G

[a, b

] = (aybz – azby) i

+ (azbx – axbz) j

+ (axby – aybx) k. (1.21)

1. Векторная алгебра

29

G

G G

(1.22)

M = [r, F]

На рисунке 1.19 век-

G

G

торы r

и F лежат в го-

G

G G

(1.23)

L

= [r, p]

На рисунке показано, что тело

движется по окружности против часо-

вой стрелки. Так как импульс pG

= mvG,

где m — масса тела, v — его скорость,

он, как и вектор vG, направлен по ка-

сательной к траектории. По правилу

векторного произведения двух векто-

Рис. 1.20

ров rG и pG результирующий вектор

LG

лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости перемножае-

мых векторов, и направлен на нас, так как векторы r,

G

G

p,

L состав-

ляют правую систему.

G

3. Изучая электромагнетизм, вы познакомитесь с силой Лоренца

G G

G

F

= q[v, B] , действующей на заряд q, движущийся со скоростью v в

Л

магнитном поле BG.

На рис. 1.21 положительно заряженная части-

ца с зарядом q движется вправо. Магнитное поле

BG

направлено на нас. Сила Лоренца FGЛ

лежит в

плоскости, перпендикулярной плоскости перемно-

G

G

Рис. 1.21

жаемых векторов v и

B, и направлена вниз. Мо-

дуль силы Лоренца FЛ = q v B sinα, где α — угол между вектора-

G

G

ми v

и B.

4. Сила Ампера FGA = I [ lG, BG] действует на проводник длиной l с то-

ком I, помещенный в поле с магнитной индукцией BG. Модуль силы

Ампера FA = I l B sinα, где α − угол

между направлением тока и век-

тором BG.

На рис. 1.22 ток I течет слева

Рис. 1.22

направо, магнитное полеG BG на-

правлено вверх. Вектор FА пер-