Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика

времени t, пройденный телом в течение которого его ускорение возрастет с а1 = 5 м/с2 до а2 = 11 м/с2?

1.9

Скорости двух тел, движущихся вдоль оси Ox, изменяются со-

гласно уравнениям υ1 (t) = A1 + B1t + C1t 2 и υ2 (t) = A2 + B2t + C2t 2, где А1 = 2 м/с; В1 = 5 м/с2; А2 = 10 м/с; В2 = 1 м/с2; С1 = С2 = 0,3 м/с3. Определить ускорения а1 и а2 тел и момент времени t, когда первое тело

догонит второе, если их начальные координаты х1 = 0, х2 = 10 м.

1.10

Тело движется в течение времени t = 3 с согласно уравнению x (t) = A + Bt + Ct 2, где А = 1 м; В = 2 м/с; С = 3 м/с2. Определить среднюю скорость за первую половину пути υcp.1 и за третью секун-

ду движения υcp.2. .

1.11

Две точки движутся согласно уравнениям x1 (t) = A1 + B1t + C1t 2 + + D1t 3, x2 (t ) = A2 + B2t + C2t 2 + D2t 3, где В1 = 1 м/с; С1 = 2 м/с2; D1 = = 0,1 м/с3, где В2 = 2 м/с; С2 = 0,8 м/с2; D2 = 0,2 м/c3. Определить время t, скорости точек υ , когда их ускорения окажутся одинаковыми.

лить время t и ускорения точек в момент, когда скорость первой будет равна нулю.

1.13

Две точки движутся вдоль оси ОХ имея начальные координаты х1 0 = 0 м; х2 0 = 10 м. Скорость первой из них изменяется согласно уравнению υ1 (t) = Bt − Ct2 , где В = 8 м/с2; С = 1 м/с3, а скорость второй постоянна и равна υ2 = 12 м/с. Определить расстояние s между точками, когда их ускорения будут одинаковыми.

102 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

С1 = 4м/с3, С2 = 5м/с3. Определить скорости υ1 и υ2, ускорения а1 и а2 точек в момент времени t, когда их скорости будут одинаковыми.

1.16

С какой высоты h упало тело, если последний отрезок своего пути h = 1 м оно прошло за время t = 0,1 с?

1.17

Тело падает с высоты h = 1200 м. Какой путь s пройдет тело за последний интервал времени t = 1 с?

1.18

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 20 м/с. Определить скорость υ тела на высоте h = 15 м.

1.19

Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h = 8,6 м два раза с интервалом t = 3 с. Определить начальную скорость тела υ0.

1.20

Движение точки задано уравнениями x (t ) = A1t 3 и y (t ) = A2t, где А1 = 1 м/с3 А2 = 2 м/с. Определить скорость υ и полное ускорение a точки в момент времени t = 0,8 с.

1.21

Определить для момента времени t = 1 с модуль скорости υ и мо-

модулиGв моментG времениG t = 2 с, если радиус-вектор материальной точки r (t) = At2i + Btj + Ck , где А = 4 м/с2, В = 3 м/с, С = 2 м.

1.23

Записать уравнение траектории материальной точки у (х), радиусвектора r (t ), скорости υ(t ) и ускорения a (t ), если движение материальной точки в плоскости ХOУ определяется уравнениями x (t ) = At; y (t ) = At (1 + Bt ), где А и В — положительные постоянные.

1.24

С балкона бросили тело вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 5 м/с, которое через t = 2 с упало на землю. Определить высоту h балкона и скорость υ тела в конце своего полета.

1.25

Точка движется по прямой согласно уравнению х (t )=At + Bt 3, где А = 6 м/с, В = –0,125 м/с3. Определить среднюю скорость υcp точки в интервале времени от t1 = 2 с до t2 = 6 с.

1.26

Точка движется по окружности радиусом R = 4 м с начальной скоростью υ0 = 3 м/с и тангенциальным ускорением аτ = 1 м/с2. Для момента времениGt = 2 с определить длину пути s и модуль вектора перемещения r .

1.27

По окружности радиусом R = 5 м равномерно движется материальная точка со скоростью υ = 5м/с. Определить зависимость от времени пути s (t ) и модуля вектора перемещения dr(t) от времени t.

1.28

За время t = 6 с точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R = 0,8 мG. Определить в конце путиG вектор и модуль мгновенной скорости υ и среднюю скорость υcp .

1.29

Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением s (t ) = А + Bt + Ct 2, где А = 10 м, В = 2 м/с, С = 1 м/с2. Определить модули тангенциального аτ, нормального ап и полного a ускорений точки в момент времени t = 2с.

1.30

Определить скорость υ и тангенциальное ускорение аτ точки, движущейся по дуге окружности радиусом R = 10 м, в момент времени τ, когда нормальное ускорение точки аn = 4,9 м/с2, а векторы полного и нормального ускорений образуют угол ϕ = 60°.

1.31

Точка движется по траектории с радиусом кривизны R = 2 м согласно уравнения s (t ) = At 2, где А = 2 м/с2. Определить полное ускорение а и время t, когда нормальное ускорение аn точки равно тангенциальному аτ.

1.32

Диск радиусом R = 10 см, начинает вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с2. Определить тангенциальное аτ, нормальное ап и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

1.33

Угол вращения точек на ободе диска радиусом R = 20 см изменяется согласно уравнению ϕ(t ) = А + Bt + Ct 3, где А = 3 рад, В = –1 рад/с, С = 0,1 рад/с3. Определить тангенциальное aτ, нормальное аn и полное а ускорения точек для момента времени t = 10 с.

1.34

Маховик начинает вращаться равноускоренно и за промежуток времени t = 10 с достиг частоты вращения ν = 300 мин–1. Определить угловое ускорение ε маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

1.35

Велосипедное колесо, вращающееся с частотой ν = 5 с–1, остановилось через интервал времени t = 1 мин. Определить угловое ускорение ε и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.

1.36

Колесо автомашины, вращающееся равноускоренно, сделало N = 50 полных оборотов, изменив частоту вращения от v1 = 4 с–1 до v2 = 6 с–1. Определить угловое ускорение ε колеса.

1.37

Продольная подача резца токарного станка h = 0,5 мм за один оборот. Определить скорость резания υ, если за интервал времени t = 1 мин протачивается вал диаметром d = 60 мм на участке дли-

ной l = 120 мм.

1.38

Определить путь s, пройденный точкой за время t1 = 5 с после начала движения, тангенциальное аτ и полное а ускорения для момента времени t2 = 1 с, если нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м, задается уравнением an (t ) = A + Bt +

+Ct 2, где А = 1 м/с2, В = 6 м/с3, С = 9 м/с4.

1.39

Путь, пройденный телом по окружности радиусом R = 3 м, задается уравнением s (t ) = At 2 + Bt, где А = 0,4 м/с2, В = 0,1 м/с3. Определить нормальное аn, тангенциальное aτ и полное a ускорения, для момента времени t = 1 c после начала движения.

1.40

Определить радиус R вращающегося диска, если линейная скорость υ1 точки, находящейся на его ободе, в три раза больше, чем

1.41

Определить радиус R колеса, вращающегося с постоянным угловым ускорением ε = 3 рад/с2, если через t = 1 c после начала движения его точки на ободе колеса движутся с ускорением а = 7,5 м/с2.

1.42

Определить угловое ускорение ε колеса и число полных оборотов N, сделанных им за t = 2 мин, если частота вращения ν1 = 5 с–1 уменьшилась за это время в n = 4 раза.

1.43

Определить тангенциальное аτ, нормальное аn и полное а ускорения точек обода диска в момент времени t = 2 с после начала движения, если зависимость угла поворота диска, радиусом R = 10 см, задается уравнением ϕ(t ) = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 где В = 1 рад/с,

С= 1 рад/с2, D = 1 рад/с3.

1.44

Определить полное ускорение а точек на ободе диска в момент времени t = 2 с после начала движения, если в этот момент их линейная скорость υ = 0,4 м/с, а зависимость угла поворота радиуса диска задается уравнением ϕ(t) = At2 , где А = 1 рад/с2.

1.45

Точка движется со скоростью υ= 2 м/с и постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,5 м/с2. Определить полное ускорение а точки на участке криволинейной траектории с радиусом кривизны R = 3 м.

1.46

Тело, брошенное с вышки в горизонтальном направлении, через t = 2 с падает на землю на расстоянии s = 40 м от нее. Определить его начальную υ0 и конечную υ скорости.

1.47

Определить высоту h башни, с которой со скоростью υ0 = 20 м/с, брошен камень в горизонтальном направлении, и он упал на землю на расстоянии s = 2h от башни.

1.48

Самолет летит над целью на высоте h = 2940 м со скоростью υ = 360 км/ч. За какое время t до прохождения над целью и на каком

расстоянии s по горизонтали от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель?

1.49

Под каким углом αк горизонту брошен камень, если его дальность s полета в n = 4 раза больше максимальной высоты h траектории?

1.50

Снаряд, выпущенный из орудия под углом α= 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h спустя время t1 = 10 с и t2 = 50 с после выстрела. Определить его начальную скорость υ0 и высоту h.

1.51

Тело брошено со скоростью υ = 20 м/с под углом α = 30°. Определить нормальное an, тангенциальное aτ и полное a ускорение тела в момент времени t = 1,5 c после начала движения.

1.52

Определить радиус R кривизны траектории тела, брошенного горизонтально со скоростью υ0 = 15 м/с, через t = 2 c после начала движения.

1.53

Тело брошено с башни высотой h = 30 м в горизонтальном направлении с начальной скоростью υ0 = 10 м/с. Определить уравнение траектории у (х), скорость υ тела в момент падения на землю и угол ϕ, который вектор скорости образует с горизонтом.

1.54

Путь s, пройденный телом, задается уравнением s(t) = At + Bt2 , где А = 1 м/с; В = 0,5 м/с2. Определить полное ускорение a в момент времени t, когда равны модули тангенциального aτ и нормального ускорений аn при радиусе кривизны R = 1 м.

1.55

Уравнение движения точки задается уравнением s(t) = At + Bt3, где А = 1 м/с; В = 1м/с3. Определить радиус кривизны R траектории точки в момент, когда ускорения а = 10 м/с2, аn = 8 м/с2.

1.56

Уравнение движения точки х (t ) = Аt, у = Вaτ2, где А = 3 м/с; В = 1 м/с2, а радиус кривизны траектории R = 21 м. Определить угол α между полным и нормальным ускорениями точки в момент времени t = 2 с.

1.57

Уравнения движения точки х (t ) = Аt и у (t ) = Вt 2, где А = 6 м/с; В = 4 м/с2, а радиус кривизны траектории R = 10 м. Определить модули нормального an, тангенциального aτ, полного a ускорений точки в момент времени, когда она отстоит от начала координат на расстоянии L = 2 м.

1.58

Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением υ = At + Bt 2, где А = 3 см/с2 и В = 1 см/с3. Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 с после начала движения.

Глава 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Динамика изучает механическое движение тел с учетом действующих на них сил.

2.1. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

При изучении движения тел в пространстве важно выбрать такую систему отсчета, в которой бы перемещение тела в отсутствии действия на него сил происходило равномерно и прямолинейно.

Ньютон, обобщая результаты опытов и наблюдений, установил,

что существует система отсчета, в которой тело сколько угодно долго может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно и прямолинейно, если другое тело не выведет его из этого состояния.

Свойства тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью, а существование систем отсчета, в которых тело при отсутствии действия на него сил находится в покое или движется прямолинейно и равномерно — первым законом Ньютона или законом инерции. Система отсчета, в которой выполняется закон инерции, называется инерциальной.

Инерциальная система отсчета в своем составе имеет свободное тело, не взаимодействующее с другими телами (см. главу 1, п. 1.1). В природе свободных тел не существует. Однако, если в качестве свободного тела выбрать Солнце, то такая система отсчета будет инерциальной. Система отсчета, в которой свободное тело — Солнце, называется гелиоцентрической.

Система отсчета, связанная с Землей из-за взаимодействия ее с Солнцем и вращения вокруг своей оси, не является строго инерциальной. Для решения большинства задач динамики неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, не приводит к существенным ошибкам.

2.2. СИЛА, МАССА, ИМПУЛЬС ТЕЛА

Опыт показывает, что изменение кинематических характеристик тел происходит только в процессе их взаимодействия с другими те-

лами. МеройG взаимодействия тел является сила.

Сила F – это векторная величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате которого они приобретают ускорение или деформируются.

Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ему такое же ускорение, что и при отсутствии других сил (принцип

щей силы на координатные оси, равные алгебраической сумме соответствующих проекций ее составляющих сил.

Масса m — положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности тел в их поступательном прямолинейном движении.

В классической механике (механике Ньютона) масса аддитивна (масса m любой системы м. т. равна сумме масс всех точек этой системы), не зависит от скорости, температуры, агрегатного состояния, электрических и магнитных свойств тела. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг).

Для однородного тела

m = ρV .

Импульс (количество движения) тела — это векторная величина,

2.3. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА

Второй закон динамики впервые сформулировал Ньютон: геометрическое приращение количества движения тела, отнесенное к единице

Если последнееG равенство записать в виде dp = Fdt , в котором произведение Fdt называется импульсом силы, то второй закон Ньюто-

на читается как: изменение импульса тела равно импульсу, действую-

Из последнего равенства следует: ускорение тела прямо пропорционально действующей на тело силе, обратно пропорционально массе и совпадает по направлению с силой.