Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
1025
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
4.42 Mб
Скачать

1.8. Кинематика равномерного вращательного движения

91

Задача 1.6.

 

Тело брошено горизонтально со скоро-

Y

стью υ0 = 15 м/с с высоты h = 10 м. Опреде-

 

G

υ0

лить скорость υ , касательное aτ, нормаль-

ное an и полное ускорения a, радиус кривиз-

 

ны R траектории в момент падения тела.

h

Дано: υ0 = 15 м/с; h = 10 м; g = 9,8 м/с2

i

Найти: υ, aτ, an, a, R.

Движение тела происходит в плоско-

0 j

сти ХОY.

 

По оси ОХ тело движется равномерно с

 

постоянной скоростью υx = υ0 . По оси ОY

 

тело движется с ускорением свободного па-

дения g. В точке падения вектор и модуль скорости

G G G G G

υ = υx i + υ y j = υ0i gtj , υ = υ02 + g2t2 .

 

υx

 

an

φ

X

g

aτ

 

υy

 

υ

где t — время падения тела, υy = –gt.

Время падения определим из уравнения движения тела вдоль оси ОУ

y = h gt22 .

Когда у = 0, h =

gt

2

, t =

2h

.

2

 

g

 

 

 

 

Модуль вектора скорости

υ= υ02 + 2gh .

Влюбой точке траектории полное ускорение падающего тела

aG = gG .

Модули составляющих полного ускорения aτ = g sin ϕ , an = g cos ϕ ,

где ϕ — угол между направлениями векторов υK и υG0 ,

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

 

 

 

 

 

cos ϕ =

υ

0

;

sin ϕ =

 

υ y

 

=

gt

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ

 

υ

 

υ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда a

 

= g

gt

=

 

g2t

= g

 

 

 

 

2gh

 

,

 

a

 

 

= g

υ

0

=

gυ

0

.

τ

υ

 

υ

 

 

υ02

+ 2gh

 

n

 

υ

υ02 + 2gh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Радиус кривизны траектории в точке падения тела найдем из определения нормального ускорения

 

 

 

 

 

 

 

 

υ2

 

 

(υ02 + 2gh)3/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R = an

=

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g υ0

 

 

Ответ: υ =

υ2

+ 2gh = 20, 6

м/с, a

 

= g

 

2gh

= 6,8 м/с2,

τ

υ02 + 2gh

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

gυ

 

 

= 7,3 м/с2, R =

(υ2

+ 2gh)3/ 2

 

=

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

= 58,1м.

 

υ02

+ 2gh

 

g υ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

Тело брошено вертикально вверх со ско-

 

 

 

 

 

 

 

ростью υ0. Определить максимальную высо-

y = h

 

 

υy

0

 

 

 

 

 

 

ту подъема тела h и скорость υ при его па-

 

 

 

 

 

 

gG

дении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

G

 

 

Дано: υ0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти: h, υ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ0

 

y = 0

 

Тело движется прямолинейно с ускоре-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нием свободного падения g. Для равнопере-

 

υG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

менного прямолинейного движения и вы-

бранного направления оси и начала координат зависимость координаты и проекции скорости от времени запишем в виде

 

 

gt2

 

 

y(t) = υ0t

 

 

 

 

2

 

(1)

 

 

 

 

gt

 

 

υ y (t) = υ0

(th ) = 0 , где th

В точке максимального подъема тела y = h, а υ y

время подъема тела. Тогда, υy (th) = υ0 gth = 0 и th =

υ0

.

 

 

 

 

 

g

1.8. Кинематика равномерного вращательного движения

 

 

 

93

Из уравнения (1) при t = th максимальная высота подъема тела

 

 

h = υ

t

h

gth2

 

= υ

 

υ0

g

 

υ02

 

=

υ02

.

 

 

 

g

 

g2

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

0

2

 

 

2g

Время полета tпол определяется из равенства y (tпол)=0,

 

 

υ0tпол

gt

2

 

= 0,

tпол =

2υ

0 .

 

 

 

 

 

пол

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекции скорости на ось ОУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υC = υ0 gtпол ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ C = υ0 g

2υ0

= −υ0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

G

где знак минус указывает направление скорости υ , противополож-

ное оси ОУ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: h =

υ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

, υ = υ0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы и задания для самопроверки

1.От каких кинематических характеристик зависит форма траектории движения м. т.?

2.Запишите зависимость координат от времени м. т., движущейся по прямой линии, параболе.

3.Для тела, брошенного со скоростью υ0 под углом α к горизонту, определите зависимость его модуля перемещения от времени полета.

4.Выведите соотношения между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения материальной точки.

5.От каких кинематических характеристик зависит радиус кривизны траектории?

6.Определите линейный и угловой путь точки, совершившей n

оборотов по окружности радиуса R, с постоянной угловой скоростью ω.

94 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Система отсчета состоит из тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов.

Материальная точка — макроскопическое тело, размерами которого пренебрегают в соответствии с условиями задачи.

Траектория движения материальной точки — совокупность всех ее

последовательных положений в пространстве.

Вектор перемещения rG

= rG

rG

— изменение радиус-вектора в за-

 

2

1

 

данной системе отсчета.

Путь s — длина участка траектории материальной точки за неко-

торый интервал времени t.

 

 

 

 

 

 

 

 

Мгновенная скорость

 

rG

 

 

 

drG

 

G

 

 

 

 

 

υ = lim

 

 

=

 

 

 

 

 

 

t

dt

 

t0

 

 

 

 

 

— векторная величина, характеризующая быстроту изменения

радиус-вектора rG .

 

 

 

 

 

 

 

 

Ускорение

 

G

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

aG = lim

 

υ

=

dυ

 

 

 

t

 

 

t0

 

 

 

 

dt

 

— векторная величина, характеризующая быстроту изменения

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

вектора скорости υ .

 

 

 

 

 

 

 

 

Касательное (тангенциальное) ускорение

 

aτ =

dυ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

— составляющая полного ускорения, определяющая изменение

скорости по модулю и направлена по касательной к траектории.

Нормальное ускорение G

G

G

 

 

 

 

an = [ω × υ]

— составляющая полного ускорения, направленная к центру кривизны траектории.

РавномерноеG прямолинейное движение — движение с постоянной скоростью υ .

Равнопеременное прямолинейноеG движение — движение с постоянным ускорением a .

Обозначения, используемые в главе 1

95

Криволинейное движение — движение по криволинейнойG траектории с изменяющимисяG векторами касательного aτ и нормального ускорений an .

Вращательное движение — движение м. т. поGокружности, характеризующеесяG векторами угловой скорости ω и углового ускорения ε , модуль которых связан с линейной скоростью м. т. соотношениями

ω =

 

υ

, ε =

dυ

 

 

 

.

 

R

dt R

Вектор угловой скорости

 

G

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dϕ

 

 

 

ω =

 

 

 

 

dt

 

 

 

определяет скорость изменения угла поворота точки.

Вектор углового ускорения

G

G

dω

ε =

 

dt

G

определяет изменение угловой скорости ω .

Угловой путь м. т.

ϕ − ϕ0 = ω0t ± εt2 ,

2

где ϕ0 и ω0 – угол и угловая скорость при t = 0. Знак плюс соответствует равноускоренному вращению, а минус равнозамедленному.

 

ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЛАВЕ 1

x, y, z – координаты

iG, Gj, kG

– орты координат

rG

– радиус-вектор

C– кривизна траектории

R – радиус кривизны

rG – вектор перемещения

96

Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

G

– вектор мгновенной скорости

υ

G

 

υcp

– вектор средней скорости

s– путь

aG

 

– вектор ускорения

aG

 

– вектор среднего ускорения

cp

 

aGτ

 

– вектор касательного ускорения

aGn

G

– вектор нормального ускорения

G

– единичные вектора

τ, n

gGG

– ускорение свободного падения

dGϕ

– угловой вектор

ω

 

– вектор угловой скорости

εG

 

– вектор углового ускорения

ТЕСТЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА

Т1.1. Если уравнение движения точки rG = At2iG+ B sin (πt) Gj , где А = 1 м/c2, В = 1 м, то ее модуль скорости через 1 с после начала дви-

жения равен

 

 

 

 

 

1) 3,5 м/с

2) 2,5 м/с 3) 3,0м/с

4) 4,0 м/с

5) 3,7м/с

 

 

G

= At

2 G

G

Т1.2. Если уравнение движения точки r

i

+ B sin (πt) j , где

А = 1 м/c2, В = 1 м, то модуль её ускорения в момент времени 1 с от

начала движения равен

 

1) 2,0 м/с2 2) 1,4 м/с2 3) 3,7 м/с2 4) 5,1 м/с2

5) 1,7 м/с2

Т1.3. Если уравнение движения точки х (t) = 4 + 6t — 3t 2 м, то мо-

дуль её ускорения равен

 

 

 

1) –3 м/с2 2) 4 м/с2

3) 6 м/с2

4) 3 м/с2

5) –6 м/с2

Т1.4. Если уравнение движения точки х (t) = 4 + 6t — 3t 2 м, то её

перемещение за время 2 с от начала движения равно

 

1) 4 м

2) 2 м

3) 0

4) 10 м

5) 6 м

Т1.5. Если уравнение движения точки х (t) = 4 + 6t — 3t 2 м, то путь,

пройденный точкой за 2 с, равен

 

 

1) 7 м

2) 4 м

3) 6 м

4) 3 м

5) 12 м

Тесты для электронного экзамена

97

Т1.6. Если автомобиль первую половину пути двигался со скоростью 60 км/ч, а вторую 120 км/ч, то средняя скорость равна 1) 90 км/ч 2) 80 км/ч 3) 70 км/ч 4) 85 км/ч 5) 60 км/ч

Т1.7. Если автомобиль первую половину времени двигался со скоростью 60 км/ч, а вторую 120 км/ч, то средняя скорость на всём участке пути равна 1) 90 км/ч 2) 80 км/ч 3) 70 км/ч 4) 85 км/ч 5) 60 км/ч

Т1.8. Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с, то средняя скорость движения за все время движения

до падения тела

в точку броска равна

 

 

1) 14м/с

2)

10 м/с

3) 7м/с

4) 6 м/с

5) 5м/с

Т1.9. Если тело, двигаясь равноускоренно, достигает скорости

40 м/с, то средняя скорость на всём пути равна

 

1) 20 м/с

2) 30 м/с

3) 40 м/с

4) 10 м/с

5) 15 м/с

Т1.10. Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с, то среднее ускорение движения за время до падения тела

в точку броска равно

 

 

 

 

 

1)

0 м/с2

2) 9,8 м/с2

3) 4,9 м/с2

4) 3.5 м/с2

5) 5.0 м/с2

G

 

 

 

 

G

G

G

 

Т1.11.Еслителодвижетсявпространствесускорением a

= 2i

+ 3 j +

4k,

то его модуль равен

 

 

 

 

 

1)

9,0 м/с2

2) 5,4 м/с2

3) 5,0 м/с2

4) 3,6 м/с2

5) 4,5 м/с2

 

Т1.12. Если зависимость пути, пройденного телом по окружности радиусом 3 м задаётся уравнением s = At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с, то касательное ускорение равно

1) 0,41 м/с2 2) 0,80 м/с2 3) 0,84 м/с2 4) 0,27 м/с2 5) 0,35 м/с2 Т1.13. Если зависимость пути, пройденного телом по окружно-

сти радиусом 3 м задаётся уравнением s = At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с, то его нормальное ускорение через 1 с после начала движения равно 1) 0,41 м/с2 2) 0,80 м/с2 3) 0,84 м/с2 4) 0,27 м/с2 5) 0,35 м/с2

Т1.14. Если зависимость пути, пройденного телом по окружности радиусом 3 м задаётся уравнением s = At 2 + Bt, где A = 0,4 м/с2, B = 0,1 м/с, то модуль ускорения через 1 с после начала движения равен 1) 0,41 м/с2 2) 0,80 м/с2 3) 0,084 м/с2 4) 0,27 м/с2 5) 0,35 м/с2

98 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Т1.15. Если тело, двигаясь равномерно и прямолинейно, за 2 с переместилось из точки с координатой 12 м в точку с координатой 24 м,

то скорость тела равна

 

 

 

1) 12 м/с

2) 6 м/с

3) 18 м/с

4) 9 м/с

5) 24 м/с

Т1.16. Если координаты тел, движущихся по прямой линии навстречу друг другу, изменяются со временем х1 = A Вt, х2 = С + Dt, где А = 68 м, B = 6 м/с, С = –12м, D = 4 м/с, то они встретятся в мо-

мент времени, равный

 

 

 

1) 8 с

2) 10 с

3) 12 с

4) 6 с

5) 4 с

Т1.17. Если координаты тел, движущихся по прямой линии навстречу друг другу, изменяются со временем х1 = A Вt, х2 = С + Dt, где А = 68 м, B = 6 м/с, С = –12м, D = 4 м/c, то координата их встре-

чи равна

 

 

 

 

 

1) 8 м

2) 32 м

3) 44

м

4) 10 м

5) 20 м

Т1.18. Из пункта А движутся

два автомобиля. Если один в началь-

ный момент времени уже имеет скорость 60 км/ч и сохраняет равномерное движение, а второй начинает движение с ускорением 2 м/с2,

то второй автомобиль догонит первый за время

 

 

1) 8 с

2) 17 с

3) 30 с

4) 60 с

5)

10 с

Т1.19. Из пункта А движутся два автомобиля. Один в

начальный

момент времени уже имеет скорость 60 км/ч и движется равномерно, а второй движется с ускорением 2 м/с2, то путь пройденный им,

когда он поравняется с первым, равен

 

 

1) 64 м

2) 278 м

3) 900 м

4) 360 м

5) 1000 м

Т1.20. Если автомобиль при экстренном торможении за 2 с уменьшил скорость с 72 км/ч до 36 км/ч, то за это время он прошел путь

равный

 

 

 

 

 

 

1)

30 м

2)

18 м

3) 108 м

4) 40 м

5)

50 м

 

Т1.21. Если автомобиль при торможении за 2 с уменьшил скорость

от 72 км/ч до

36 км/ч, то его путь до полной остановки равен

1)

30 м

2)

18 м

3) 108 м

4) 40 м

5)

50 м

 

Т1.22. Если координата точки х (t) =10 + 6t – 6t 2, то скорость бу-

дет равна нулю через время

 

 

 

1)

0,5 с

2)

0,2 с

3) 0,3 с

4) 0,6 с

5)

1,2 с

 

Т1.23. Если угол поворота колеса задается уравнением ϕ = At, где

А = 0,5 рад/с2, то его угловая скорость равна

 

 

1)

0,5 рад/с

2)

0,2 рад/с

3) 0,3 рад/с

4) 0,4 рад/с

5)

1,2 рад/с

Тесты для электронного экзамена

99

Т1.24. Если угол поворота колеса вагона при торможении изменяется согласно уравнению ϕ = 8t 1,5t2 , то его угловая скорость через 1 с после начала торможения равна 1) 6,5 рад/с 2) 5,0 рад/с 3) 1,5 рад/с 4) 6,0 рад/с 5) 7,5 рад/с

Т1.25. Если угол поворота колеса диаметром 0,5 м задаётся уравнением ϕ = At, где А = 0,5 рад/с, то линейная скорость точек на его ободе равна 1) 1 м/с 2) 0,5 м/с 3) 0,25 м/с 4) 0,4 м/с 5) 1,5 м/с

Т1.26. Если угол поворота колеса вагона при торможении изменяется согласно уравнению ϕ = 8t 1,5t2 , то модуль его углового ус-

корения равен

 

 

1) 1,5 рад/с2 2) 3 рад/с2 3) 3 м/с2

4) 1 м/с2

5) 2,5 рад/с2

Т1.27. Если угол поворота колеса вагона диаметром 0,5 м изменяется по закону ϕ = 8t 1,5t2 , то модуль вектора касательного ускорения точки обода колеса равен 1) 1,5 м/с2 2) 1,2 м/с2 3) 0,75 м/с2 4) 0,5 м/с2 5) 3 м/с2

Т1.28. Если угол поворота колеса вагона диаметром 0,5 м изменяется по закону ϕ = 8t 1,5t2 , то нормальное ускорение точек обода

колеса в момент времени 1с равно

 

1) 0,25 м/с2 2) 0,5 м/с2 3) 0,3 м/с2 4) 3 м/с2

5) 5 м/с2

Т1.29. Если угол поворота колеса вагона диаметром 0,5 м изменяется по закону ϕ = 8t – 1,5t 2, то ускорение точек обода колеса в момент времени 1с равно 1) 0,31 м/с2 2) 0,45 м/с2 3) 0,84 м/с2 4) 3,01 м/с2 5) 6,25 м/с2

Т1.30. Если автомобиль движется по закругленному участку дороги и его путь определяется уравнением s = A + Bt + Ct 3, где А = 10 м, В = 13 м/с, С = 0,1 м/с3, то его путевая скорость в момент времени 1 с равна 1) 8,0 м/с 2) 23,3 м/с 3) 13,3 м/с 4) 10,3 м/с 5) 6,3 м/с

Т1.31. Если автомобиль движется по закругленному участку дороги, имеющему радиус кривизны 100 м, и путь определяется уравнением s = A + Bt + Ct 3, где А = 10 м, В = 13м/с2, С = 0,1 м/с3, то его

ускорение в момент времени 1 с равно

 

1) 13,3 м/с2 2) 13,8 м/с2 3) 1,8м/с2

4) 15,1 м/с2 5) 15,7м/с2

Т1.32. Если поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиусом 1 км и проходит путь 1 км, имея начальную скорость 54 км/ч, а конечную 18 км/ч, то его полное ускорение в начале дуги равно 1) 0,2 м/с2 2) 0,4 м/с2 3) 0,15 м/с2 4) 0,31 м/с2 5) 0,33 м/с2

100

Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1.1

Определить среднюю путевую скорость υср движения студента на всем пути, если он проехал половину всего пути на велосипеде со скоростью υ1 = 16 км/ч, вторую половину оставшегося времени со скоростью υ2 = 16 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью υ3 = 5 км/ч.

1.2

Определить модуль средней скорости м. т. за промежуток времени t = 2A от начала её движения, если скорость υ(t) = A + Bt + Ct 2. А = 1 м/с, В = 2 м/c2, С = 3м/с3.

1.3

Определить глубину h колодца, если при падении камня его удар о поверхность воды доносится через t = 5 c от начала падения. Скорость звука υ = 330 м/с.

1.4

Определить в интервале времени, от t1 = 1 c до t2 = 4 c среднюю путевую скорость υср и среднее ускорение аср тела, если зависимость пройденного им пути от времени задается уравнением s = Bt + Ct 2 + Dt 3. В = 3 м/с, С = 2 м/с2, D = 1 м/с3.

1.5

Через какое время после начала движения тела его ускорение

а= 2 м/с2, если зависимость пройденного им пути задается уравнением s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3, где С = 0,1 м/с2.

1.6

Определить ускорение а тела, движущегося равноускоренно с начальной скоростью υ0, если за время t = 2 c оно прошло путь s = 16 м,

аего скорость в конце пути υ = 3 υ0.

1.7

За какое время t от начала движения и какое расстояние s пройдет тело, когда его ускорение а = 27 м/с2, а его скорость изменяется согласно уравнению υx (t) = A + Bt + Ct2 , где А = 1 м/с; В = 3 м/с2;

С= 6 м/с3.

1.8

Тело движется согласно уравнению x (t) = A + Bt + Ct 2 + Dt 3, где

В = 2 м/с; С = 1 м/с2; D = 0,5 м/с3. Определить путь s и промежуток