Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика
.pdf3.2. Работа силы. Мощность |
|
|
|
|
151 |
||
A |
|
|
S cosπ = − F S ; |
G G |
|
π |
= 0 ; |
= (F |
, S) = F |
Amg = (mg, S) = mgS cos |
2 |
||||
Fтр |
тр |
тр |
тр |
|
|
|
|
|
|
A = (NG, SG) = NS cos π = 0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(3.4) |
||
|
|
|
N |
2 |
|
|
|
Согласно формуле (3.2) работа AF |
|
|
|
||||
> 0 , если угол α < π/2; AF = 0 |
|||||||
при α = π/2. При значениях π/2 < α ≤ π работа силы FG |
отрицатель- |
||||||
на ( AF |
< 0 ). Работа силы трения отрицательна, поскольку α = π и |
||||||
cos π = –1. Силы тяжести и реакции работы не совершают, так как направлены под прямым углом к перемещению (α = π/2).
В системе СИ единицей измерения работы является джоуль (Дж). Один джоуль — работа силы в 1 Н при перемещении тела на расстояние 1 м в направлении действия силы. Размерность этой величины: 1 Дж = 1 Н · 1 м = 1 кг · м2 · с–2.
Внесистемные единицы работы: 1 кал = 1 калория = 4,1868 Дж;
1Вт · ч = 1 Ватт · час = 3600 Дж.
Сработой от нескольких до сотен джоулей человек имеет дело в повседневной практике. Поднимая рукой равномерно стакан массой m = 200 г на высоту h = 1 м мускульная сила совершает работу
А= mgh = 0,2 · 9,8 · 1 = 1,96 (Дж); опуская равномерно ящик массой m = 25 кг на расстояние h = 1 м работа мускульной силы — А = –mgh = = –25 · 9,8 · 1 = –245 (Дж).
Вопросы и задания для самопроверки
1.Дайте определение работы, совершаемой постоянной силой.
Вчем состоит физический смысл работы силы?
2.Назовите три условия, необходимые для совершения силой работы, отличной от нуля.
3.При каких условиях работа силы положительна, отрицательна, равна нулю?
4.Представьте работу силы в виде произведения модулей силы и перемещения, а также через проекции векторов силы и перемещения на оси координат.
5.Зависит ли работа, совершаемая силой над телом, от выбора системы отсчета?
6.Совершает ли работу центростремительная сила при перемещении тела по криволинейной траектории?
152 |
Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
7.Может ли сила реакции опоры совершать работу? Рассмотрите движение тела по горизонтальной поверхности, по поверхности, расположенной под углом к горизонту, и вдоль вертикальной оси вверх и вниз.
8.Почему работа силы трения при перемещении тела по неподвижной горизонтальной плоскости отрицательна?
9.Равную ли работу совершает сила тяжести тела, свободно падающего с некоторой высоты, за одинаковые промежутки времени?
10.Дайте графическую интерпретацию работы, откладывая вдоль вертикальной оси значения проекции силы на направление перемещения, а вдоль другой оси — пройденное телом расстояние.
Примеры решения задач
Задача 3.1
Лифт массой m = 300 кг равномерно поднимается на высоту h = 10 м. Найти работы AF и Amg , которые совершают при этом сила натяжения каната, поднимающего лифт, и его сила тяжести.
Дано: m = 300 кг; h = 10 м.
Найти: GAF , Amg . G
Пусть F — сила натяжения каната, mg — сила тяжести лифта, поднимающегося равномерно вертикально вверх. Принимая во внимание первый закон Ньютона и определение работы силы, запишем следующую систему уравнений:
G |
G |
(1) |
F |
+ mg = 0 — условие равномерного движения лифта |
|
|
(первый закон Ньютона); |
|
AF = Fhcos0° — работа силы натяжения; |
(2) |
|
Amg = mgh cos π – работа силы тяжести; |
(3) |
|
Поскольку угол между направлениями силы натяжения и перемещения лифта равен нулю, то в соотношении (2) присутствует множитель cos0°. Противоположные направления силы тяжести и перемещения обуславливают наличие в формуле (3) множителя cosπ.
Из равенства (1) имеем
F = mg. |
(4) |
3.2. Работа силы. Мощность |
153 |
Подставляя модуль силы натяжения каната (4) в соотношение (2)
иучитывая, что cos0° = 1, cosπ = –1, запишем выражения для работ
иполучим их численные значения
AF = mgh = 29400 Дж = 29,4 кДж,
Amg = –mgh = –29,4 кДж.
Отметим, что полная работа, совершаемая силами, действующими на лифт, равна нулю
AF + Amg = 0.
Этот результат является следствием того, что результирующая сила, приложенная к лифту, равна нулю.
Ответ: AF = 29,4 кДж; Amg = –29,4 кДж.
Задача 3.2
Найти работу Amg силы тяжести при движении тела массой m с высоты h по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом.
Дано: m, h, α. Найти: Amg. Запишем выражение
Amg =
Учитывая, что
h
α mgG α
для работы согласно ее определению |
|
||
JG |
π |
|
|
(mgG, S) = mgS cos( |
2 |
− α) , |
(1) |
Amg = mgS sin α . |
|
|
(2) |
h = S sinα,
где S — длина плоскости, по которой движется тело, запишем окончательный результат в виде
Amg = mgh.
Ответ: Amg = mgh — работа силы тяжести зависит не от длины пути по наклонной плоскости, а от высоты h, на которую опускается тело.
154 |
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
||
Задача 3.3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Математический маятник со- |
|
|||||||||
стоит из нити длиной L и матери- |
|
|||||||||
альной точки массой m, к которой |
|
|||||||||
приложена постоянная внешняя го- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
ризонтальная сила F |
= iF . Найти |
|
||||||||
работу внешней силы AF, силы на- |
|
|||||||||
тяжения нити AT, силы тяжести Amg |
|
|||||||||
при перемещении материальной |
|
|||||||||
точки от равновесного положения до остановки. |
|
|||||||||
Дано: L, m, F. |
|
|
|
|
|
|
||||
Найти: AF, AT, Amg. |
|
|
|
|
|
|||||
Для решения задачи запишем следующую систему уравнений: |
|
|||||||||
G |
G |
|
G |
= 0 — условие равновесия в конечной |
(1) |
|||||
T + mg |
+ F |
|||||||||
|
|
|
G |
G |
точке траектории; |
|
||||
AF |
|
|
G |
G |
G |
|
|
|
||
= ∫(F, dS) |
= ∫(iF, idx |
+ jdy) |
— работа внешней силы; |
(2) |
||||||
Amg |
|
S |
G |
G |
S |
G |
G |
|
G |
|
= ∫(mg, dS) = ∫(− jmg, idx |
+ |
jdy) — работа силы тяжести; |
(3) |
|||||||
|
S |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
AT |
= ∫(TG, dSG) = ∫TdS cos π |
= 0 |
— работа силы натяжения нити. |
(4) |
||||||
|
S |
|
|
|
S |
2 |
|
|
|
|
Представим векторное уравнение (1) в виде проекций на оси Оx
и Oy
T sin α0 = F;
T cos α0 = mg;
и получим |
F |
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
sin α0 = |
|
|
, |
cos α0 |
= |
|
. |
(5) |
||
F 2 |
|
|
F 2 |
+ (mg)2 |
||||||
|
+ (mg)2 |
|
|
|
|
|||||
G GТак как скалярное произведение единичных векторов (iG, Gj) = 0 , |
||||||||||
(i , i ) = 1, то выражение (2) преобразуем к виду |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AF = ∫ Fdx = Fx0 |
, |
|
|
|
(6) |
||
0
где x0 = Lsinα0 (см. рис). Учитывая последнее равенство и первое из двух соотношений в (5), запишем работу (6) в окончательном виде
3.2. Работа силы. Мощность |
|
|
|
155 |
|
AF |
= |
|
F 2 L |
. |
|
F 2 |
+ (mg)2 |
||||
|
|
|
Аналогично из соотношения (3) для работы силы тяжести получим
y0
Amg = − ∫ mgdy = −mgy0 ,
0
где y0 = L(1 – cosα0). С учетом (5) последний результат принимает окончательный вид, представленный в ответе.
Ответ: AF |
|
|
F 2 L |
; AT |
|
|
|
mg |
|
|
= |
|
|
= 0 ; Amg |
= −mgL 1 |
− |
|
. |
|||
F 2 |
+ (mg)2 |
F 2 + (mg)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Работа переменной силы
В процессе движения тела силы, приложенные к нему, могут изменяться по величине и направлению. Поэтому нельзя пользоваться определением работы (3.2), (3.3) и необходимо его обобщение.
Для этого представим траекторию движения тела в виде непрерывно- |
||
го ряда N отдельных (элементарных) прямолинейных перемещений |
||
SG |
, (i = 1, 2, 3, … N), на каждом из которых силу FG |
, действующую |
i |
i |
G |
на тело, будем считать постоянной. Тогда работу силы Fi на i-ом уча- |
||
стке траектории можно представить в форме (3.3) |
|
|
|
Ai = (FGi , SGi ) , |
(3.5) |
а работу по перемещению тела вдоль всей траектории — в виде суммы на отдельных ее участках
N |
N |
G |
G |
|
A ≈ ∑ |
Ai = ∑(Fi |
, Si |
). |
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
Просуммировав элементарные работы для каждого из перемещений, получим приближенное значение работы силы на всем пути. Если число N разбиений траектории S увеличивать, то точность при-
ближенного равенства будет возрастать. Погрешность равенства при |
|||||||
безграничном убывании всех |
|
SGi стремится к нулю. Точное значе- |
|||||
ние работы получается как предел бесконечной суммы |
|
||||||
|
N |
Ai |
|
N |
G |
G |
|
A = lim |
∑ |
= lim |
∑(Fi , |
Si ). |
(3.6) |
||
N →∞ |
i=1 |
|
N →∞ |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
156 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
в предположении, что длины всех векторов SGi одновременно стремятся к нулю. Используя для предельной суммы в последнем соотношении обозначение, принятое в интегральном исчислении, запишем (3.6) в виде
A = ∫ dA = ∫(FG, dSG) = ∫ FS dS , |
(3.7) |
||
S |
S |
S |
|
где FS – проекция вектора силы на направление элементарного пе- |
|||
ремещения dSG . |
|
|
|
Согласно (3.7) работа силы FG |
представляет собой интеграл по |
||
траекторииG S. ВG общем случае сила является функцией координат и времени: F = F(x, y, z,t) .
Если на всем пути проекция вектора силы на направление перемещения постоянна, то значение FS для всех элементов суммы одно и то же и его можно вынести из-под знака интеграла
A = FS ∫ dS. |
(3.8) |
S |
|
Примером может служить движение тела по наклонной плоскости (см. задачу 3.2). Входящий в выражение (3.8) интеграл равен дли-
не траектории S, т. е. |
|
A = FS S = FS cosα. |
(3.9) |
Для тела, движущегося по прямолинейнойG траектории, к которому под углом α приложена постоянная сила F , последнее соотношение приводитсяG к виду (3.3).
Если сила F постоянна по величине и направлению, но величи-
на ее проекции на направление перемещения изменяется, так как траектория движения не прямолинейна, то из-под знака интеграла в (3.7) можно вынести модуль вектора силы F
|
|
A = F ∫cos(FG, ^dSG) dS , |
(3.10) |
|
|
S |
|
где выражение под знаком косинуса (FG, ^dSG) — угол между вектора- |
|||
ми FG |
и dSG |
(не путать со скалярным произведением векторов!). Под |
|
знаком интеграла стоит проекция элементарного перемещения на постоянное направление силы. Но сумма проекций всех элементов пути на постоянное направление равна проекции всего пути на это направление. Следовательно, работа силы равна
3.2. Работа силы. Мощность |
157 |
A = FSF,
гдеG SF — длина проекции всего пути на постоянное направление силы F . Примером может служить работа силы тяжести при движении тела по произвольному криволинейному пути (см. задачу 3.4).
Для характеристики работы, совершаемой за единицу времени, пользуются понятием мощности. Мгновенной мощностью называется скалярная физическая величина Р, равная отношению элементарной работы dA к бесконечно малому промежутку времени dt, в течение которого работа совершается,
|
|
P(t) = |
dA |
. |
|
|
(3.11) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
|
G |
|
G |
|
Принимая во внимание, что dA = |
(F, dS) , соотношение (3.11) пе- |
||||||||
репишем в виде, |
(FG |
, dSG) |
|
|
dSG |
|
|
|
|
|
G |
|
|
G G |
|||||
P(t) = |
|
|
= F, |
|
|
|
= |
(F, v) , |
|
|
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
т. е. мощностьG равна скалярному произведению силы FG на скорость тела v . В общем случае мощность изменяется со временем.
Средней мощностью в интервале времени от t до t + t называется величина P ( t) , равная отношению работы A, совершаемой за этот промежуток времени, к его продолжительности
P( t)
= At . Единица мощности — Ватт (Вт)
1 Вт = 1 Дж/1 с.
Вопросы и задания для самопроверки
1.Дайте определение элементарной работы, совершаемой переменной силой.
2.При каких условиях работа силы на элементарном участке пути положительна, отрицательна, равна нулю?
3.Представьте работу силы на элементарном участке пути в виде произведения модулей силы и элементарного перемещения, а также через проекции векторов силы и элементарного перемещения на оси координат.
158 |
Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
4.Если вагонетка приходит в движение по горизонтальному пути от кратковременного толчка человека, то совершает ли он при этом работу?
5.Дайте определение работы переменной силы как предельной суммы работ на элементарных участках траектории.
6.Дайте определение работы переменной силы как интеграла по траектории движения тела.
7.Получите на основании интегрального представления (3.7) работы переменной силы выражение (3.3) для работы постоянной силы при перемещении тела по горизонтальному пути.
8.Дайте определение мгновенной и средней мощности.
9.Покажите на примерах, что средняя мощность зависит от интервала времени, в течение которого совершается работа.
Примеры решения задач
Задача 3.4
Найти работу Amg силы тяжести при движении тела массой m с высоты h до горизонтальной плоскости по произ-
вольной криволинейной траектории. mgG Дано: m, h.
Найти: Amg.
Для нахождения работы Amg воспользуемся соотношением
Amg = ∫(mgG, dSG) = mg∫cos(mgG, ^dSG)dS ,
h
(1)
где mg — модуль силы тяжести; выражение под знаком косинуса |
||||
G |
G |
G |
G |
|
(mg, ^dS) — угол между векторами |
mg |
и dS . |
|
|
Так как длина проекции элементарного смещения dSG |
на направ- |
|||
ление силы тяжести, т. е. на вертикальноеG направление,G есть элементарное изменение высоты тела, то cos (mg, ^dS) dS =Gdh. Следовательно, проекция всего пути на направление вектора mg совпадает с высотой h, на которую спускается тело при движении по криволинейной траектории, т. е.
(2)
Подставляя (2) в соотношение (1), имеем
3.2. Работа силы. Мощность |
159 |
Amg = mgh.
Последний результат означает, что работа силы тяжести, как и в задаче 3.2, не зависит от длины и формы траектории, а определяется лишь изменением высоты тела при движении, т. е. его начальным и конечным положениями по вертикали. Согласно данным выше определениям в этой задаче рассмотрена консервативная механическая система, сила тяжести — потенциальная.
Ответ: Amg = mgh.
Задача 3.5
Найти работу Aупр упругой силы и работу AF внешней силы при равномерном растяжении пружины с коэффициентом упругости k = 120 Н/м на расстояние L = 30 см от недеформированного состояния.
Дано: k = 120 Н/м; L = 30 см = 0,3 м. Найти: Aупр, AF.
Пусть сила, возникающая в растягиваемой пружине, подчиняет-
ся закону Гука |
|
= − kx , |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
упр |
|
где k — коэффициент упругости пружины; xG — вектор деформации |
||||||
( |
|
xG |
|
= x – абсолютное удлинение пружины). Знак минус указывает, |
||
|
|
|||||
что сила упругости и вектор деформации пружины направлены противоположно. Элементарная работа силы упругости определяется следующим образом
dA = (−kx,dx) = kxdxcosπ . |
|
|
|||||
упр |
|
|
|
|
|
|
|
Если пружина удлиняется на величину |
L, то работа силы упру- |
||||||
гости равна |
|
|
|
|
|
|
|
Aупр = ∫dAупр = −k ∫L xdx = −k |
x2 |
|
|
0 L = −k |
L2 |
. |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
|||
0 |
|
|
|
|
|
||
Для растяжения пружины к ней необходимо приложить внешнюю силу по направлению, совпадающему с направлением ее удлинения. При равномерном перемещении точки приложения внешняя сила равна
и ее элементарная работа определяетсяG G следующим соотношением dAF = (kx, dx) = kxdx cos 0D.
160 |
Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
|||||||
На расстоянии L внешняя сила совершает работу |
||||||||
AF = ∫ dAF |
= k ∫L xdx = k |
x2 |
|
|
|
L |
L2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= k |
, |
||||
2 |
|
|
|
2 |
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
значение которой, согласно последней формуле, зависит только от величины растяжения.
Обратите внимание, что независимо от того, как изменяется внешняя сила, работа упругой силы пружины зависит только от положения начальной и конечной точек, между которыми произошло перемещение конца пружины. Упругая сила пружины — потенциальная сила.
Ответ: Aупр = −k |
L2 |
= –10,8 (Дж); A = k |
L2 |
= 10,8 (Дж). |
|
2 |
|||||
2 |
|||||
|
F |
|
|||
|
|
|
|
Задача 3.6
Математический маятник состоит из нити длиной L и материальной точкиGмассой m, к которой приложена переменная горизонтальная сила F = iF , под действием которой материальнаяG точка очень медленно движется, так что ее ускорение a = 0. Найти работу внешней силы AF, силы натяжения нити AT, силы тяжести Amg при отклонении нити маятника на угол α0 от равновесного положения.
Дано: L, m, F, α0. Найти: AF, AT, Amg.
Рис. 1 Рис.2
1. Согласно первому закону Ньютона ( aG = 0 ) для любой точки тра-
ектории выполняется векторное равенство |
|
||
G |
G |
G |
(1) |
F |
+ mg |
+ T = 0 . |
|
Представим его в виде проекций на горизонтальную |
|
||
F − T sin α = 0 |
(2) |
||