Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика

3.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Интеграл ∫b f (x)dx численно равен площади, ограниченной частью

a

графика функции y = f (x), осью OX и ординатами f (a) и f (b), взятой со знаком «+» или «–», согласно схеме на рис. 3.3.

Если кривая пересекает ось OX один или несколько раз внутри интервала [а, b], то интеграл численно равен алгебраической сумме площадей, находящихся по каждую сторону оси OX.

Рис. 3.3

3.5. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод определения площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в XVII веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу (учитель Ньютона) установил связь между задачей об определении площади и задачей о касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах XVII века

перешли от частных геометрических задач к установлению связи между интегральным и дифференциальным исчислением.

Эта связь использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования достигли в работах Л. Эйлера, М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева.

Итак, интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Поэтому если физическая величина X является производной

то, зная величину X, можно найти зависимость величины Y от времени как интеграл.

Так как явления природы протекают в пространстве и во времени, многие физические величины являются интегралами по времени t или координате (x, y, z) от других величин. Приведем примеры.

Мощность P — это скорость совершения работы А

3.6. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Для определения интеграла от элементарных функций пользуются таблицей интегралов, приведенной ниже.

Таблица основных интегралов (постоянные интегрирования в таблице опущены)

Вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте определение первообразной для данной функции.

2.Поясните геометрический смысл первообразной.

3.Поясните геометрический смысл определенного интеграла.

4.В чем отличия между неопределенным и определенным интегралом?

5.Поясните физический смысл определенного интеграла.

6.Пользуясь таблицей интегралов, найдите неопределенные интегралы от следующих функций:

1)y = 9x2 − 2x + 3 ,

2)y = 6x3 + 3x − 4 ,

3)y = 5x + 3sin x ,

4)y = 7x3 − 2 cos x ,

5)y = x ,

6)y = − sin x ,

7)y = tgx ,

8)y = 3 cos2πx.

7.Приведите примеры физических величин, которые являются интегралами по времени и координате от других физических величин.

Примеры решения задач

Задача 3.1

Скорость тела изменяется со временем по закону v (t) = 1+ t , м/c. Найти путь S, пройденный телом за время t = 10 с после начала движения, и среднюю скорость vср за это время.

Дано: v (t) = 1+ t , м/c; t = 10 c. Найти: S (10), vср.

Так как путь S — это интеграл от скорости v (t) по времени t,

В полученную зависимость пройденного телом пути от времени S (t) подставим значения времени t1 = 0 c и t2 = 10 с (это будут нижний и верхний пределы интегрирования) и определим путь S (10), пройденный телом за 10 с

Ответ: путь, пройденный телом за первые 10 с после начала дви-

жения, S (10) ≈ 23,7 м; средняя скорость за этот промежуток времени vcp (t) ≈ 2,37 м/с.

Задача 3.2

Какую работу A надо совершить, чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Найти работу при удалении тела на бесконечность.

Дано: m, R, h. Найти: Ah, A∞.

Сила, действующая со стороны Земли на тело массой m, опреде-

ляется законом всемирного тяготения F = G mM r2

ние от центра Земли до тела, G — гравитационная постоянная, M — масса Земли. Если радиус Земли R, то работа, совершаемая для поднятия массы m с поверхности Земли (r = R) до высоты h (r = R + h), вычисляется по формуле

На поверхности Земли (где r = R) сила, действующая на тело, F = mg (g — модуль вектора ускорения свободного падения), поэтому GM = gR 2 и

Для ответа на второй вопрос задачи найдем предел полученного выражения при h, стремящейся к бесконечности

Ответ: чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли радиуса R

на высоту h, необходимо совершить работу Ah = mgh

1+ Rh

тело на бесконечность, необходимо совершить работу A∞ = mgR.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При решении физических задач часто возникают уравнения, называемые дифференциальными. Такими являются уравнения движения тел, составленные по второму закону Ньютона (если хотя бы одна из сил, действующих на тело, зависит от времени), уравнения незатухающих, затухающих и вынужденных колебаний, уравнения для расчета электрических цепей, составленные по правилам Кирхгофа (если в цепи происходит переходный процесс).

Метод решения дифференциального уравнения определяется видом уравнения; огромное число таких уравнений имеет только численное решение, в некоторых случаях решение дифференциального уравнения может подсказать сам характер исследуемого физического явления.

Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, наиболее часто возникающих при описании физических процессов.

4.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ЕГО ПОРЯДОК. ОБЩЕЕ И ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y = f (x) и ее производные y ′, y ″…, y (n).

Символически дифференциальное уравнение можно записать в виде

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например, второй закон Ньютона в общем случае есть дифференциальное уравнение второго порядка, так как ускорение, входящее в это уравнение, — вторая производная координат по времени.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение (4.1) превращает его в тождество.

Пример. Уравнение

является дифференциальным уравнением первого порядка, так как содержит производную первого порядка y ′. Функция

является его решением. Действительно, подставляя y = 1/x и y ′= –1/x2 в уравнение (4.2), получаем

Функция y = 1/x обращает уравнение (4.2) в тождество, т. е. является его решением. Есть и другие решения: y = 2/x, y = 5/x, а также любая функция вида

т. е. также превращает его в тождество. Оказывается, решений много, причем общее выражение (4.5) содержит наряду с переменной x

которая зависит от x и от произвольной постоянной C и обладает следующими свойствами:

1)удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.1) при любом конечном значении постоянной С,

2)при любом начальном условии y (x0) = y0, можно найти такое значение C = C0, что функция y = ϕ(x, C0) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения называется функция

которая получается из общего решения y = ϕ(x, C), если произвольной постоянной С придать определенное значение С = С0.

Геометрически общее решение y = f (x, C) уравнения (4.1) представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С.

Кривая семейства, проходящая через точку M0 (x0, y0), представляет собой график частного решения y = ϕ(x, C0) при начальном условии y (x0) = y0.

4.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Для отыскания общего решения уравнения (4.10) нужно взять ин-

где F (x) — первообразная функии ϕ(x). Если задано начальное условие y (x0) = y0, то для отыскания частного решения нужно определить постоянную интегрирования С из равенства y0 = F (x0) + C. Уравнения вида (4.10) широко представлены в физике и рассмотрены в разделе 2 (с. 36). Например, для отыскания общего решения уравнения (2.20), имеющего вид

I = dqdt ,

(I — сила тока, q — заряд, t — время) достаточно взять интеграл

q= ∫ I (t)dt .

Вданном уравнении независимой переменной является время t.

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифферен-

циальное уравнение, приводящееся с помощью алгебраических преобразований к уравнению вида

Уравнение (4.13) называется уравнением с разделенными переменными.

Для отыскания общего решения уравнения (4.13) нужно взять интегралы от обеих его частей.

4.3. КАК НАШЛИ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Колебания — процессы и состояния, широко представленные в природе и технике. В курсе механики и электродинамики вы будете изучать незатухающие, затухающие и вынужденные колебания. Уравнение механических колебаний представляет собой запись второго закона Ньютона и является дифференциальным, так как ускорение, входящее в этот физический закон — вторая производная координаты по времени. Это уравнение, вид которого

не является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Как более двухсот лет назад получили его решение вида

Оказывается, подбором.

Заметили, что решением (4.15) уравнения (4.14) должна быть функция, вторая производная которой совпадает с исходной функцией, взятой с обратным знаком. Такому условию удовлетворяют функции синус и косинус, переходящие друг в друга при изменении аргумента