Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
1025
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
4.42 Mб
Скачать

Тесты для электронного экзамена

141

Т 2.21. Если автомобиль массой 5 т движется со скоростью 72 км/ч по дороге между двумя холмами, образующими вогнутую дугу радиусом 100 м, то максимальная сила нормального давления на полотно

этого участка дороги равна

 

 

1) 5 кН

2) 50 кН 3) 60 кН

4) 70 кН

5) 20 кН

Т 2.22. Если шарик, лежащий на гладкой поверхности стола в вагоне, при его трогании с места откатился за 2 с на расстояние 10 см,

то вагон начал движение с ускорением

 

1) 0,5 м/с2

2) 0,4 м/с2 3) 0,05 м/с2 4) 0,1 м/с2

5) 0,025 м/с2

Т 2.23. Если шарик, висящий на нити в вагоне, отклонился при

его трогании с места, на угол 6°,

то ускорение вагона равно

1) 0,1 м/с2

2) 0,2 м/с2 3) 0,8

м/с2

4) 1,0 м/с2

5) 0,5 м/с2

Т 2.24. Если шарик, висящий на нити в вагоне массой 10 т, отклонился при его трогании с места на угол 6°, то при коэффициенте тре-

ния 0,1 сила тяги, действующая на вагон равна

 

1) 10 кН

2) 20 кН 3) 30 кН

4) 40 кН

5) 50 кН

Т2.25. Если железный стержень сечением 5 мм2 и длиной 1 м увеличивает свою длину при нормальном напряжении на 5 мм, то сила, деформирующая стержень, равна

1)

5 Н

2)

50 Н

3)

500 Н

4)

40 Н

5)

10 Н

 

Т2.26. Если стержень с поперечным сечением 100 см2 движется в

воде со скоростью 100 м/с, то сила сопротивления равна

 

1)

103 Н

2)

102 Н

3)

105 Н

4)

106 Н

5)

104 Н

 

Т 2.27. Если тело находится на высоте от поверхности Земли рав-

ной ее радиусу, то оно будет падать с ускорением

 

 

1)

9,8 м/с2

2)

10,5 м/с2

3)

7,8 м/с2

4)

4,9 м/с2

5)

2,5 м/с2

 

Т 2.28. Если отношение радиусов и масс Земли и Луны равно со-

ответственно 3,7 и 81, то отношение высот подъема тела, брошенно-

го с одинаковой скоростью с их поверхности, равно

 

1) 2,19

2) 0,046

3) 0,17

4) 0,25

5) 0,14

T 2.29. Если поезд массой 103 т движется по прямолинейному участку железной дороги с постоянной скоростью при действии на него силы сопротивления 500 кН, то сила тяги локомотива равна 1) 70 кН 2) 500 кН 3) 520 кН 4) 50 кН 5) 700 кН

Т 2.30. Если поезд массой 103 т движется по прямолинейному участку железной дороги с ускорением 0,2 м/с2 при силе сопротивления 500 кН, то сила тяги локомотива равна

1) 700 кН 2) 70 кН 3) 200 кН 4) 270 кН

5) 500 кН

142 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Т 2.31. Если поезд массой 103 т движется со скоростью 36 км/ч по криволинейному участку железной дороги с радиусом кривизны 1000 м, то при действии на него силы сопротивления 500 кН сила

тяги локомотива равна

 

1) 500 кН 2) 510 кН 3) 600 кН 4) 700 кН

5) 520 кН

Т 2.32. Если поезд массой 103 т, в начале своего движения в течение

3 с увеличил скорость до 7,2 км/ч, то

сила тяги локомотива равна

1) 667 кН 2) 200 кН 3) 700 кН

4) 500 кН

5) 520 кН

Т 2.33. Если поезд массой 103 т движется в гору с уклоном 15° с постоянной скоростью при силе сопротивления 500 кН, то сила тяги локомотива равна

1) 3090 кН 2) 2590 кН 3) 1820 кН 4) 2800 кН 5)

3100 кН

Т 2.34. Если поезд массой 103 т движется под уклон с

углом 15° с

постоянной скоростью, то при выключенном электродвигателе тормозная система должна обеспечить силу трения 1) 2495 кН 2) 2590 кН 3) 3000 кН 4) 3100 кН 5) 2000 кН

Т 2.35. Если вагон массой 50 т при действии на него силы сопротивления 25 кН спускается с горки с уклоном 15° и сталкивается с неподвижно стоящим вагоном массой 40 т, который после упругого столкновения приобретает ускорение 1) 2,0 м/с2 2) 2,6 м/с2 3) 2,1 м/с2 4) 0,2 м/с2 5) 0,26 м/с2

Т 2.36. Если поезд массой 103 т движется со скоростью 72 км/ч и осуществляет экстренное торможение при силе трения 500 кН, то его

тормозной путь равен

 

 

 

 

 

 

1)

400 м

2)

500 м

3)

800 м

4)

1000 м

5)

1200 м

 

Т 2.37. Если вес вагона составляет 5 · 106 Н, то его масса равна

1)

5 · 106 кг

2)

5 · 105 кг

3)

5 · 104 кг

4)

5 · 103 кг

5)

5 · 107 кг

 

Т 2.38. Если вес космонавта на Земле составляет 750 Н, то на Луне

его вес будет

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

75 Н

2)

127 Н

3)

12,8 Н

4)

750 Н

5)

130 Н

 

Т2.39. Если деформация стального стержня сечением 2 мм2 и дли-

ной 1 м при растяжении составила 1 мм, то действующая на него сила при модуле Юнга 2 · 1011 Н/м2 равна 1)105 Н 2) 2 · 106 Н 3) 4 · 102 Н 4) 4 · 103 Н 5) 2 · 102 Н

Т2.40. Если по трубе с внутренним диаметром 1 м прокачивается нефть с коэффициентом вязкости 103 Па · с и средним градиентом ско-

рости 10 с–1, то сила внутреннего трения на

одном метре трубы равна

1) 314,0 кН 2) 31,4 кН. 3) 6,3 кН

4)

3,0 кН

5) 72,8 кН

Задачи для контрольных работ

143

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

2.1

Аэростат с балластом имеет массу m = 1600 кг, подъемную силу F = 12 кН, одинаковую силу сопротивления при подъеме и спуске. Определить массу балласта m1, сбрасываемого с равномерно опускающегося со скоростью υ аэростата, чтобы он стал подниматься с той же скоростью.

2.2

Стальная проволока выдерживает силу натяжения F = 4,4 кН. Определить ускорение а, с которым можно поднимать груз массой m = 400 кг, чтобы проволока не разорвалась.

2.3

Координата тела массой m = 2 кг x(t) = A Bt + Ct2 Dt3, где С = 2 м/с2, D = 0,4 м/с3 . Определить силу F, действующую на тело через время t = 1 с после начала движения.

2.4

На тело массой m, расположенное на горизонтальной поверхности, действует сила F = 100 кН, вниз под углом α= 45° к горизонту. Определить ускорение а тела при заданном коэффициенте трения μ = 0,3.

2.5

Поезд массой m = 500 т при скорости υ = 36 км/ч тормозит и останавливается через время t = 1 мин. Определить силу сопротивления Fc и коэффициент трения μ тормозной системы поезда.

2.6

Тело массой m находится на горизонтальной поверхности. Определить угол α, на который нужно наклонить поверхность отно-

сительно горизонта, чтобы тело стало двигаться, если коэффициент трения μ = 0, 21 .

2.7

Автомобиль движется с ускорением а = 5 м/с2. Определить силу F давления водителя массой m = 70 кг на спинку сидения.

2.8

Тело массой m = 1 кг, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 40 м/с, достигает наибольшей высоты через время t = 2,5 c. Определить силу сопротивления воздуха Fc, считая ее постоянной.

144

Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.9

Автомобиль начинает движение с ускорением а0 = 3 м/с2. При скорости υ1 = 60 км/с его ускорение уменьшилось и стало равным а1 = 1 м/с2. Определить, с какой скоростью υ будет двигаться автомобиль, если сила тяги не изменяется во время движения, а сила сопротивления Fc пропорциональна скорости.

2.10

Тело массой m = 100 кг движется в плоскости XОУ, и его координаты изменяются согласно уравнениям x = 5cos(2πt) , y = 15sin(πt) .

Определить силу F, действующую на тело в момент времени t = 5 c.

2.11

Два груза с массами m1 = 0,98 кг и m2 = 0,2 кг связаны нитью и лежат на гладком столе. К левому грузу приложена сила F1 = 5,3 H к правому F2 = 2,9 H. Определить натяжение нити Т.

2.12

Координаты тела массой m = 10 кг, движущегося в плоскости ХОУ, изменяются от времени согласно уравнениям x = 5cos 2πt , y = 15sin πt.

Определить импульс тела в момент времени t = 5 с.

2.13

На краю вращающегося с угловой скоростью ω = π рад/с диска радиусом R = 1 м находится тело. Определить минимальное значение коэффициента трения μ, при котором тело соскользнет с диска.

2.14

Первый оборот по окружности радиусом R = 0,1 м тело с массой m = 10 г делает за время t = 10 с. Определить скорость υ, составляющие полного ускорения aτ , an и силу F, действующую на тело.

2.15

Тело массой m движется под действиемG силы F = 10 cos(πt) . Определить зависимость радиус-вектора r от времени, если в момент времени t = 0; r (0) = 0 и υ(0) = 0.

2.16

Движение точки с массой m = 10 г задано уравнениями

x = Acos(ωt + ϕ0 ), y = Asin(ωt + ϕ0 ) , z = Bt . Определить силу, действующую на точку, если ω = π/2, А = 0,2 м.

2.17

Тело массой m = 0,5 кг движется так, что зависимость пройденного телом пути s от времени s(t) = Asin ωt , где А = 5 см, ω = π рад/с.

Задачи для контрольных работ

145

Определить силу F, действующую на тело через t = 1/6 с после начала движения.

2.18

При действии постоянной силы F = 10 Н тело массой m проходит путь s(t) = 5 + 2t + 3t2 . Определить массу m и импульс тела p в момент времени t = 2 c от начала движения.

2.19

Автомобиль начинает движение по окружности с радиусом R = 40 м и постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,62 м/с2. Определить путь s, пройденный без скольжения, если коэффициент трения колес автомобиля о поверхность дороги μ = 0,2.

2.20

Катер массой m = 150 кг движется по озеру со скоростью υ= 72 км/ч. Считая силу сопротивления воды Fc = βυ2 и β = 0,5 кг/м, определить время движения катера с выключенным двигателем и путь, пройденный им до остановки.

2.21

Груз массой m = 1 т опускают на стальном тросе длиной l = 50 м и сечением S = 50 мм2 с постоянной скоростью υ = 5 м/с. Определить минимальное время tmin торможения, при котором трос разорвется, если его прочность Fn =170 кН, а плотность стали ρ = 8 · 103 кг/м3.

2.22

Проволока выдерживает груз массой m1 = 110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой m2 = 690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Определить массу m груза, который сможет выдержать эта проволока, если поднимать его с постоянной скоростью.

2.23

Атлет раскручивает шар массой m = 7 кг, привязанный к тросу так, что он движется по окружности радиусом R = 1 м, а путь, пройденный шаром во время раскрутки, растет в соответствии с уравнением s (t ) = 4t + 2t 2. Трос выдерживает силу Fn = 14 кН. Определить силу натяжения троса в момент времени броска шара, если продолжительность его раскрутки t = 4 с.

2.24

На краю круглой платформы радиусом R = 2,35 м лежит шайба. Платформа вращается так, что путь, проходимый шайбой, растет в

146

Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

соответствии с уравнением s = Ct 2, где C = 0,5 м/с2. Определить время t от начала вращения, когда шайба соскользнет с платформы, если коэффициент трения равен μ = 0,2.

2.25

Машина Атвуда, представляющая собой систему из двух тел массами m1 и m2, соединенных нитью, перекинутой через невесомый блок, используется для взвешивания тел. Определить массу m1 тела, если тело массой m2 = 2 кг движется вниз с ускорением а = 1,4 м/с2.

2.26

На краю горизонтальной плоскости установлен невесомый блок, через который перекинута нерастяжимая невесомая нить, соединяющая два груза, один из которых движется вертикально и имеет массу m1 = 2 кг, а другой движется горизонтально и имеет массу m2 = 1,5 кг. Определить ускорение a, с которым движутся грузы, если коэффициент трения μ = 0,2.

2.27

Масса пассажиров m = 200 кг, поднимающихся и опускающихся в лифте с ускорением а = 0,8 м/с2. Определить силу F, с которой пассажиры давят на пол лифта при движении его вверх и вниз.

2.28

На тело массой m = 15 кг в горизонтальном направлении действует сила F = 4 H.Определить ускорение a, c которым движется тело, если коэффициент трения тела о горизонтальную поверхность равен μ = 0,3.

2.29

На концах нити, переброшенной через блок, висят две гири массой m1 = 3 кг и m2 = 2 кг. Определить натяжение Т нити и ускорение а, с которым движутся гири.

2.30

Радиус Луны R = 1,74 · 106 м, средняя плотность ρл = 3,3 · 103 кг/м3. Определить ускорение gл свободного падения на поверхности Луны.

2.31

Мячик массой m = 200 г упал с высоты h = 70 см и подпрыгнул после удараG на высоту h = 40 см. Определить модуль изменения импульса p мячика при ударе.

2.32

Летчик весом Q = 780 H давит на сиденье кресла в нижней точке петли Нестерова с силой F = 6,25 кН. Определить скорость υ самолета при радиусе петли R = 250 м.

Задачи для контрольных работ

147

2.33

Координата материальной точки массой m = 2 кг изменяется в соответствии с уравнением x(t) = A + Bt + Ct2 + Dt3 , где A = 2 м, В = 5 м/с, С = 1 м/с2, D = 0,2 м/с3. Определить модуль силы F, действующей на точку в момент времени t1 = 2 с.

2.34

Два конькобежца с массами m1 = 80 кг и m2 = 50 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью υ = 1 м/с. Определить скорости υ1 и υ2 движения конькобежцев относительно льда.

2.35

Кбруску массой m = 4 кг приложена сила F = 9,8 Н под углом

α= 45° к горизонтальной поверхности стола. Определить ускорение a движения бруска, если коэффициент трения μ = 0,1.

2.36

Ктележке массой m1 = 4 кг привязан шнур, перекинутый через блок. Определить ускорение a тележки, если к другому концу шнура привязать гирю массой m2 = 1 кг.

2.37

Определить силы T натяжения шнура, соединяющего бруски с массами m1 = 1 кг и m2 = 4 кг и ускорение а движения по горизонтальной поверхности без трения, если к ним горизонтально и поочередно приложить силу F = 10 Н.

2.38

Наклонная плоскость, образующая угол α= 25° с горизонтом, имеет длину l = 2 м. Тело соскальзывает с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

2.39

Материальная точка массой m = 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиуса R = 1,2 м вGтечение. времени t = 2 с.p

2.40

Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска стоит кубик. Принимая коэффициент трения μ = 0,4, определить при каком числе N оборотов в минуту кубик соскользнет с диска.

Глава 3 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

В предыдущих разделах изучение движения тел осуществлялось в рамках трех законов Ньютона. При таком подходе центральным является понятие силы — векторной меры взаимодействия материальных объектов. В настоящей главе рассматривается альтернативное описание движения тел с помощью понятий энергии и импульса. Важной особенностью этих величин является то, что они при определенных и достаточно общих условиях сохраняются, т. е. при любых изменениях в механической системе остаются постоянными. Эти свойства позволяют не только глубже заглянуть в устройство материи, но и представляют собой другой, не менее мощный инструмент решения практических задач.

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Механическая система — совокупность выбранных для рассмотрения тел, взаимодействующих между собой при непосредственном контакте (трение, давление тел друг на друга) или посредством физических полей. В частных случаях система может состоять из одного тела или из невзаимодействующих тел.

Замкнутая система — механическая система, не взаимодействующая с внешними телами.

Внешние тела — тела, не входящие в состав рассматриваемой механической системы.

Внешние силы — силы, действующие на механическую систему со стороны внешних тел.

Внутренние силы — силы взаимодействия между частями рассматриваемой механической системы.

3.1. Основные понятия и определения

149

Консервативные (потенциальные) силы — силы, работа которых зависит только от начальных и конечных положений точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий этих точек, ни от законов их движения по траекториям.

Физическое поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие материальных тел, не находящихся в контакте.

Стационарное поле — не изменяющеесяG с течением времени физическое поле; в любой точке поля сила F , действующая на тело, не зависит явно от времени.

Потенциальное поле — стационарное поле, в котором на материальную точку действуют потенциальные силы.

Консервативная механическая система — система, в которой работа действующих сил зависит только от ее начального и конечного положений; в этих системах все действующие на материальную точку непотенциальные силы работы не совершают, а все внешние потенциальные силы стационарны.

Импульс (количество движения) материальной точки — векторная величина pGi , равная произведению массы mi частицы на ее ско-

рость vGi .

pGi = mi vGi .

Импульс системы — геометрическая сумма импульсов всех материальных тел системы

 

pG = pGi .

(3.1)

 

i

 

Импульс силы (элементарный) — векторная величина FG

t , равная

произведению силы FG

на время t ее действия на тело.

 

Работа силы — мера действия силы на материальное тело, зависящая от величины силы, ее направления и пути, пройденного точкой приложения.

Энергия — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Согласно классическим представлениям энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения.

150

Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

3.2. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ

Изменение механического движения тела может быть вызвано только действующими на него силами. Для количественного описания такого силового воздействия на данное тело других тел в механике пользуются понятием работы силы, приложенной к рассматриваемому телу. Напомним, что результирующая сила, действующая на тело, — это мера взаимодействия данного тела с другими телами системы.

Работа постоянной силы

Пусть тело находится на горизонтальной плоскости (рис. 3.1).

 

 

 

 

 

G

FG

G

G

 

FG

 

G

 

 

 

 

 

N

 

N

F

 

 

Α

N

 

 

 

 

 

 

 

 

Α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

vG

G

 

vG

G

 

vG

Fтр

 

 

 

 

Fтр

 

 

Fтр

 

 

 

 

 

 

 

mgG

 

mgG

 

 

 

 

mgG

 

 

 

а

 

б

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.1

 

 

 

 

 

и к нему приложены четыре постоянные силы: mgG

— сила тяжести;

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

N – нормальная сила реакции опоры;

F

— сила трения; F — внеш-

 

 

 

 

 

 

 

G

тр

 

 

 

 

няя сила. Работа постоянной силы F при перемещении тела на пря-

молинейном участке пути S определяется соотношением

 

 

 

FG

 

 

 

 

AF = F S cos α ,

 

 

 

(3.2)

где F =

 

 

 

— модуль силы; α — угол между направлением силы и на-

 

 

правлением перемещения. Формулу (3.2) можно представить в виде

скалярного произведения вектора FG силы на вектор SG

перемеще-

ния тела

 

AF = (FG, SG) = Fx Sx + Fy Sy + Fz Sz .

(3.3)

Работу каждой из остальных трех сил, приложенных к телу, запишем в следующем виде: