Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика
.pdfЗадачи для контрольных работ |
231 |
3.46
Тело массой m = 0,8 кг совершает на невесомой идеальной пру-
жине с коэффициентом жесткости k = 175 Н/м2 гармонические колебания x(t) = Asin(ωt + ϕ0 ) c амплитудой А = 0,3 м и произвольной
начальной фазой. Найти его ускорение а0 в некоторый момент времени, если известен импульс тела в этот момент p0 = 2,4 кг · м/с и его максимальное значение pm = 2,6 кг · м/с.
3.47
Мяч массой m = 700 г, движущийся со скоростью v = 25 м/с, упруго ударяется о плоскость. Найти изменение р его импульса, если угол между направлением движения мяча и нормалью к плоскости α = 55.
Закон изменения и сохранения импульса
3.48
Из орудия, установленного на движущейся горизонтально платформе, выпущен снаряд со скоростью v2 = 800 м/с относительно нее. Определить скорость v платформы и расстояние S пройденное ею до остановки после выстрела, если он произведен по направлению движения платформы при ее скорости v1 = 9 км/ч. Отношение масс платформы с орудием и снаряда M/m = 200, коэффициент трения платформы о рельсы — μ = 0,07.
3.49
Из орудий, установленных на двух горизонтально движущихся платформах массами (вместе с орудиями) M1 = 15 т и M2 = 17 т, выпущены одинаковые снаряды массами m = 30 кг со скоростью v = 780 м/с относительно платформ. С первой — по направлению движения, со второй — в противоположную сторону. Найти скорость v2 второй платформы в момент перед выстрелом, если скорость первой — v1 = 36 км/ч и пройденные ими расстояния после выстрела до остановки одинаковы.
3.50
Тело массой М = 5,5 кг, движущееся со скоростью u = 284 м/с вдоль некоторой оси, распадается на два осколка. Один из них начинает движение со скоростью v1 = 167 м/с перпендикулярно этой оси. Найти угол α между направлениями движения осколков и скорость v2 второго из них, если его масса m2 = 2,6 кг.
232 |
Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
3.51
Космический корабль массой М = 104 кг покидает космический спутник массой m = 5 кг со скоростью v = 2 м/с относительно корабля в направлении, противоположном его движению. Найти изменение v скорости космического корабля.
3.52
Стоящий на льду конькобежец массой М = 60 кг бросает вдоль плоскости льда камень массой m = 0,5 кг, который за время t = 2 с проходит до остановки расстояние S0 = 20 м. Найти скорость u конькобежца после броска и пройденный им путь S1 до остановки, если коэффициент трения коньков о поверхность льда μ = 0,04.
3.53
При выстреле из орудия под углом к горизонту в точке наивысшего подъема снаряд разрывается на два равные осколка так, что один из них падает возле орудия. Найти дальность полета S второго осколка, если расстояние по горизонтали от орудия до наивысшей точки подъема равно L = 1,32 км.
3.54
Человек массой m = 76 кг переходит с кормы на нос неподвижной лодки длиной L = 4,2 м и массой M = 120 кг. Найти перемещение L лодки относительно берега. Может ли перемещение лодки быть больше ее длины?
3.55
Брошенная под углом к горизонту граната массой m = 1,5 кг в верхней точке траектории, имея скорость v = 18 м/с, разрывается на два осколка. Один из них массой m1 = 0,6 кг двигается вертикально вниз с начальной скоростью v1 = 156 м/с. Найти скорость v2 второго осколка и ее направление относительно скорости гранаты в момент разрыва.
3.56
Охотник (со снаряжением) массой m1 = 70 кг стреляет под углом α = 60° к горизонту с неподвижной лодки массой m2 = 30 кг. Найти ее скорость v0 в начальный момент после выстрела, если масса дроби m = 25 г и ее скорость в момент выстрела v = 400 м/с.
Задачи для контрольных работ |
233 |
Абсолютно неупругий удар
3.57
Пуля массой m1 = 15 г при горизонтальном движении попадает в деревянный брусок массой m2 = 10 кг и застревает в нем. Найти начальную скорость пули v0, если брусок перемещается по гладкой поверхности без трения за t1 = 2 с на расстояние S1 = 90 см.
3.58
Два шара массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7G кг движутсяG вдоль оси Ох навстречуG друг другу со скоростями vG1 = 3i и vG2 = −2i . Найти импульс p тела, образовавшегося после центрального абсолютно неупругого столкновения шаров. Проверьте выполнение закона сохранения импульса для полученного значения.
3.59
Тело массой m = 3 кг движется со скоростью v = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Найти количество Q тепла, выделившееся при ударе, если столкновение тел центральное и абсолютно неупругое.
3.60
Железнодорожная платформа массой m1 = 13,4 т, двигаясь со скоростью v1 = 12,8 м/с, сталкивается с платформой массой m2 = 22 т, движущейся со скоростью v2 = 8,3 м/с в противоположном направлении. Двигаясь вместе, обе платформы сталкиваются с неподвижной платформой массой m3 = 8,2 т и продолжают совместное движение. Найти скорости u1 и u2 платформ на разных участках пути после столкновений и направления их движения.
3.61
Тело массой m1 = 1 г, движущееся со скоростью vG1 = 3iG , испытывает абсолютно неупругое столкновениеG G с другим телом массой m2 = 2 г, скорость которого vG2 = 2i + G3 j . Найти импульс pG образовавшегося тела, модуль импульса p = p и угол между направлением его движения и направлением движения первого тела.
3.62
Вагон массой m1 = 60 т подходит к неподвижной платформе со скоростью v1 = 0,2 м/с и сталкивается с ней. После этого платформа начинает двигаться со скоростью u2 = 0,4 м/с. Найти массу m2 плат-
234 |
Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
формы, если после столкновения скорость вагона уменьшается до m2 = 0,1 м/с.
Абсолютно упругий удар
3.63
Два шара массами m1 = 0,15 кг и m2 = 0,35G кг движутся вдольG оси Ох навстречу друг другуG Gсо скоростями vG1 = 3i (м/с) и vG2 = −2i (м/с). Найти импульсы p1 и p2 тел после их центрального абсолютно упругого столкновения. Проверьте выполнение закона сохранения импульса для полученных значений.
Глава 4 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
4.1. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ. МОМЕНТ СИЛЫ
Моментом LG |
импульса pG частицы относительно точки О назы- |
|||
вается векторное произведение радиус-вектора частицы rG |
и ее им- |
|||
пульса pG (рис. 4.1) |
G |
GG |
|
|
|
|
(4.1) |
||
Модуль вектора LG |
L |
= [ r,p ]. |
||
(величина момента импульса) равен |
|
|||
|
|
L = rp sinα = lp, |
(4.2) |
где l = r sinα— плечо вектора pG относительно точки О, т. е.Gдлина перпендикуляра, опущенногоG G из точки О на линию вектора p , α — угол между векторами r и p . Отметим, что углом между двумя векторами называется наименьший из двух углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим, т. е. 0 ≤ α ≤ π и sin α ≥ 0 .
G |
|
|
G |
|
|
L |
|
|
|
||
|
|
L |
|
||
|
|
pG |
pG |
G |
|
O |
G |
|
|||
l |
r |
Α |
O Α Gr |
p |
|
Α |
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
O |
|
|
|
|
l |
Gr |
|
|
|
|
pG |
|
||
|
|
|
Α |
|
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
|
236 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Из выражения (4.2) следует, что модульG LG равен площади параллелограмма, построенного на Gвекторах r и p как на сторонах.
Направление вектора L задается направлением поступательного движения правого винта,G если он вращается отG первого вектора в векторном произведении r ко второму вектору p по кратчайшему пути. (Перед этим необходимо один из векторов перенести параллельно са-
мому себе так, чтобы совместитьG начала векторов). РазмерностьGвектораG L — [L] = [кг · м2/c].
Моментом M силы F , действующей на частицу относительно точ-
ки О, называется векторное произведение радиус-вектора материаль- |
|||
ной точки rG |
и вектора силы FG |
(рис. 4.2) |
|
|
G |
G G |
(4.3) |
|
M = [ r, F ]. |
G |
|
Модуль вектора M (величина момента силы) равен |
|
M = rF sin α = lF , |
(4.4) |
где l = r sin α ( 0 ≤ α ≤ π ) — плечо вектора FG |
относительно точки О, |
т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию дей- |
||||||
ствия силы FG . Из выражения (4.4) следует, что модуль М равен пло- |
||||||
|
|
|
|
|
G |
G |
щади параллелограмма, построенного на векторах r |
и F как на сто- |
|||||
ронах. |
G |
|
|
|
|
|
Направление вектора M задается направлением поступательного |
||||||
движения правогоGвинта, если он вращается от первого вектора rG ко |
||||||
второму вектору F по кратчайшему пути. |
|
|
|
|||
G |
|
G |
|
|
|
|
M |
|
M |
|
G |
|
|
|
G |
|
|
F |
|
|
O l |
|
|
|
G |
|
|
F |
O |
|
l |
|
||
Gr |
Α |
Gr |
F |
|
||
|
|
Α |
|
|||
|
|
O |
|
|
|
|
|
Gr |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
Α |
F |
|
|
|
|
Рис. 4.2
238 |
|
Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА |
||||||||||||
Так как |
|
|
G |
G |
G |
|
G G |
|
G G |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a + b, c |
|
= [a,c]+ b,c |
, |
|
|
||||||
то, подставляя эту связь в выражение (4.1) и (4.3), получим |
||||||||||||||
G |
G G |
G |
+ |
G |
G |
|
|
G G |
|
|
G G |
G |
G G |
|
L |
= [ r, p |
] = [ (r′ |
R), p |
] = [ r′, p |
] + [ R, p ] = |
L′ |
+ [ R, p ], (4.5) |
|||||||
G |
G G |
G |
+ |
G G |
|
|
G |
G |
|
|
G G |
G |
G G |
|
M |
= [ r, F |
] = [ (r′ |
R), F |
] = [ r |
′, F |
] + [ R, F ] = M ′ + [ R, F ]. (4.6) |
G Отметим,G чтоG GисходяG из определения векторного произведения [ R, pG ] R и [ R, F ] R .
Если на частицу действуют несколько сил, то момент векторной суммы сил (момент равнодействующей силы) равен векторной сумме
моментов всех сил. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ...) |
= |
||||
M = |
|
F |
= r, Fpaвн |
= r,(F |
+ F |
|
||||||||||
|
|
∑ i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
i=1 |
G |
|
G |
|
G |
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ ... = |
∑ |
|
, |
|
(4.7) |
|||||
|
|
r, F |
+ r, F |
M |
i |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
так как равнодействующая сил, действующих на частицу, равна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
равн |
= ∑ Fi . |
|
|
|
|
|
(4.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
4.2. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Выясним, как меняется момент импульса частицы соG временем. Для этого рассчитаем производную момента импульса L по времени для частного случая, когда точка О неподвижна относительно не-
которой инерциальной системы отсчета. Так как |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
G G |
|
|
d |
G G |
|
|
G |
d |
G |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
|
= |
|
|
|
a,b |
|
+ |
|
a, |
|
b |
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|||||||
|
|
|
d |
GG |
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
G G |
|
G |
G G |
|
|
|||||||
|
dL |
|
|
dr |
|
G d(mv) |
|
|
|
dv |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
[r,p] = |
|
|
,(mv) |
+ r, |
|
|
|
|
|
= m[v,v |
]+ r,m |
|
|
= [r,ma |
]. |
(4.9) |
||||||||||
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
G G |
] = 0 |
||||||||||
|
Здесь векторное произведение двух одинаковых векторов [v,v |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
= |
dvG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса... |
239 |
По второму закону Ньютона в инерциальной системе отсчета произведение массы частицы на ее ускорение равно равнодействующей
всех сил, приложенных к частице, т. е. maG = ∑ FGi .
С учетом (4.5) имеем |
|
|
i=1 |
|
|
G |
|
G |
G |
G |
|
G G |
|
||||
[r,ma |
] = r,∑ Fi |
= ∑ Mi |
= M |
||
и |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
dLG |
|
G |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= M , |
(4.10) |
|
|
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
т. е. производная момента импульса частицы по времени равна векторной сумме моментов всех сил, приложенных к этой частице. Здесь моменты импульса и сил определены относительно одной и той же неподвижной точки О. Уравнение (4.10) называется уравнением момен-
тов. Из (4.10) следует закон сохранения момента импульса частицы: |
||
G |
G |
(4.11) |
если M = 0 , то |
L = const, |
или LG(t1 ) = LG(t2 ) .
Если векторная сумма моментов сил, действующих на частицу относительно неподвижной точки О равна нулю, то момент импульса частицы остается постоянным.
4.3. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ G
Рассмотрим проекции момента импульса частицы L на ось z относительно двух произвольных точек О и О', лежащих на этой оси
(рис. 4.4). Из (4.5) следует, что |
|
G |
G |
|
|
|||
|
|
|
L = L′ |
|
|
|||
|
|
|
+ [ R, p ]z. |
|
|
|||
G |
G |
G |
z |
z |
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|||||
Так как [ R , p ] |
R , а значит и оси z, то [ R, p ]z = 0 и |
|||||||
|
|
|
Lz |
= |
Lz′ . |
|
|
(4.12) |
Аналогично можно показать, что |
|
|
|
|||||
|
|
|
M z |
= |
M z′ . |
|
|
(4.13) |