Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
1025
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
4.42 Mб
Скачать

Задачи для контрольных работ

231

3.46

Тело массой m = 0,8 кг совершает на невесомой идеальной пру-

жине с коэффициентом жесткости k = 175 Н/м2 гармонические колебания x(t) = Asin(ωt + ϕ0 ) c амплитудой А = 0,3 м и произвольной

начальной фазой. Найти его ускорение а0 в некоторый момент времени, если известен импульс тела в этот момент p0 = 2,4 кг · м/с и его максимальное значение pm = 2,6 кг · м/с.

3.47

Мяч массой m = 700 г, движущийся со скоростью v = 25 м/с, упруго ударяется о плоскость. Найти изменение р его импульса, если угол между направлением движения мяча и нормалью к плоскости α = 55.

Закон изменения и сохранения импульса

3.48

Из орудия, установленного на движущейся горизонтально платформе, выпущен снаряд со скоростью v2 = 800 м/с относительно нее. Определить скорость v платформы и расстояние S пройденное ею до остановки после выстрела, если он произведен по направлению движения платформы при ее скорости v1 = 9 км/ч. Отношение масс платформы с орудием и снаряда M/m = 200, коэффициент трения платформы о рельсы — μ = 0,07.

3.49

Из орудий, установленных на двух горизонтально движущихся платформах массами (вместе с орудиями) M1 = 15 т и M2 = 17 т, выпущены одинаковые снаряды массами m = 30 кг со скоростью v = 780 м/с относительно платформ. С первой — по направлению движения, со второй — в противоположную сторону. Найти скорость v2 второй платформы в момент перед выстрелом, если скорость первой — v1 = 36 км/ч и пройденные ими расстояния после выстрела до остановки одинаковы.

3.50

Тело массой М = 5,5 кг, движущееся со скоростью u = 284 м/с вдоль некоторой оси, распадается на два осколка. Один из них начинает движение со скоростью v1 = 167 м/с перпендикулярно этой оси. Найти угол α между направлениями движения осколков и скорость v2 второго из них, если его масса m2 = 2,6 кг.

232

Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

3.51

Космический корабль массой М = 104 кг покидает космический спутник массой m = 5 кг со скоростью v = 2 м/с относительно корабля в направлении, противоположном его движению. Найти изменение v скорости космического корабля.

3.52

Стоящий на льду конькобежец массой М = 60 кг бросает вдоль плоскости льда камень массой m = 0,5 кг, который за время t = 2 с проходит до остановки расстояние S0 = 20 м. Найти скорость u конькобежца после броска и пройденный им путь S1 до остановки, если коэффициент трения коньков о поверхность льда μ = 0,04.

3.53

При выстреле из орудия под углом к горизонту в точке наивысшего подъема снаряд разрывается на два равные осколка так, что один из них падает возле орудия. Найти дальность полета S второго осколка, если расстояние по горизонтали от орудия до наивысшей точки подъема равно L = 1,32 км.

3.54

Человек массой m = 76 кг переходит с кормы на нос неподвижной лодки длиной L = 4,2 м и массой M = 120 кг. Найти перемещение L лодки относительно берега. Может ли перемещение лодки быть больше ее длины?

3.55

Брошенная под углом к горизонту граната массой m = 1,5 кг в верхней точке траектории, имея скорость v = 18 м/с, разрывается на два осколка. Один из них массой m1 = 0,6 кг двигается вертикально вниз с начальной скоростью v1 = 156 м/с. Найти скорость v2 второго осколка и ее направление относительно скорости гранаты в момент разрыва.

3.56

Охотник (со снаряжением) массой m1 = 70 кг стреляет под углом α = 60° к горизонту с неподвижной лодки массой m2 = 30 кг. Найти ее скорость v0 в начальный момент после выстрела, если масса дроби m = 25 г и ее скорость в момент выстрела v = 400 м/с.

Задачи для контрольных работ

233

Абсолютно неупругий удар

3.57

Пуля массой m1 = 15 г при горизонтальном движении попадает в деревянный брусок массой m2 = 10 кг и застревает в нем. Найти начальную скорость пули v0, если брусок перемещается по гладкой поверхности без трения за t1 = 2 с на расстояние S1 = 90 см.

3.58

Два шара массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7G кг движутсяG вдоль оси Ох навстречуG друг другу со скоростями vG1 = 3i и vG2 = −2i . Найти импульс p тела, образовавшегося после центрального абсолютно неупругого столкновения шаров. Проверьте выполнение закона сохранения импульса для полученного значения.

3.59

Тело массой m = 3 кг движется со скоростью v = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Найти количество Q тепла, выделившееся при ударе, если столкновение тел центральное и абсолютно неупругое.

3.60

Железнодорожная платформа массой m1 = 13,4 т, двигаясь со скоростью v1 = 12,8 м/с, сталкивается с платформой массой m2 = 22 т, движущейся со скоростью v2 = 8,3 м/с в противоположном направлении. Двигаясь вместе, обе платформы сталкиваются с неподвижной платформой массой m3 = 8,2 т и продолжают совместное движение. Найти скорости u1 и u2 платформ на разных участках пути после столкновений и направления их движения.

3.61

Тело массой m1 = 1 г, движущееся со скоростью vG1 = 3iG , испытывает абсолютно неупругое столкновениеG G с другим телом массой m2 = 2 г, скорость которого vG2 = 2i + G3 j . Найти импульс pG образовавшегося тела, модуль импульса p = p и угол между направлением его движения и направлением движения первого тела.

3.62

Вагон массой m1 = 60 т подходит к неподвижной платформе со скоростью v1 = 0,2 м/с и сталкивается с ней. После этого платформа начинает двигаться со скоростью u2 = 0,4 м/с. Найти массу m2 плат-

234

Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

формы, если после столкновения скорость вагона уменьшается до m2 = 0,1 м/с.

Абсолютно упругий удар

3.63

Два шара массами m1 = 0,15 кг и m2 = 0,35G кг движутся вдольG оси Ох навстречу друг другуG Gсо скоростями vG1 = 3i (м/с) и vG2 = −2i (м/с). Найти импульсы p1 и p2 тел после их центрального абсолютно упругого столкновения. Проверьте выполнение закона сохранения импульса для полученных значений.

Глава 4 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

4.1. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ. МОМЕНТ СИЛЫ

Моментом LG

импульса pG частицы относительно точки О назы-

вается векторное произведение радиус-вектора частицы rG

и ее им-

пульса pG (рис. 4.1)

G

GG

 

 

 

(4.1)

Модуль вектора LG

L

= [ r,p ].

(величина момента импульса) равен

 

 

 

L = rp sinα = lp,

(4.2)

где l = r sinα— плечо вектора pG относительно точки О, т. е.Gдлина перпендикуляра, опущенногоG G из точки О на линию вектора p , α — угол между векторами r и p . Отметим, что углом между двумя векторами называется наименьший из двух углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим, т. е. 0 ≤ α ≤ π и sin α ≥ 0 .

G

 

 

G

 

L

 

 

 

 

 

L

 

 

 

pG

pG

G

O

G

 

l

r

Α

O Α Gr

p

Α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

l

Gr

 

 

 

pG

 

 

 

 

Α

 

 

 

 

Рис. 4.1

 

236 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Из выражения (4.2) следует, что модульG LG равен площади параллелограмма, построенного на Gвекторах r и p как на сторонах.

Направление вектора L задается направлением поступательного движения правого винта,G если он вращается отG первого вектора в векторном произведении r ко второму вектору p по кратчайшему пути. (Перед этим необходимо один из векторов перенести параллельно са-

мому себе так, чтобы совместитьG начала векторов). РазмерностьGвектораG L — [L] = [кг · м2/c].

Моментом M силы F , действующей на частицу относительно точ-

ки О, называется векторное произведение радиус-вектора материаль-

ной точки rG

и вектора силы FG

(рис. 4.2)

 

 

G

G G

(4.3)

 

M = [ r, F ].

G

 

Модуль вектора M (величина момента силы) равен

M = rF sin α = lF ,

(4.4)

где l = r sin α ( 0 ≤ α ≤ π ) — плечо вектора FG

относительно точки О,

т. е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию дей-

ствия силы FG . Из выражения (4.4) следует, что модуль М равен пло-

 

 

 

 

 

G

G

щади параллелограмма, построенного на векторах r

и F как на сто-

ронах.

G

 

 

 

 

 

Направление вектора M задается направлением поступательного

движения правогоGвинта, если он вращается от первого вектора rG ко

второму вектору F по кратчайшему пути.

 

 

 

G

 

G

 

 

 

 

M

 

M

 

G

 

 

 

G

 

 

F

 

 

O l

 

 

 

G

 

F

O

 

l

 

Gr

Α

Gr

F

 

 

 

Α

 

 

 

O

 

 

 

 

 

Gr

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

Α

F

 

 

 

 

Рис. 4.2

4.1. Момент импульса частицы. Момент силы

 

 

 

 

 

237

 

 

G

G

G

 

 

 

G B`

Размерность вектора M

 

 

 

 

 

 

 

`

C

 

B

 

[M] = [Н · м]. ИзG определения

M (M )

 

F `

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A`

 

момента силы M (4.3) следует,

 

 

Gr

`

 

 

 

A FG

 

что момент силы относительно

 

O

G

 

 

произвольной точки О не ме-

 

 

r

 

 

 

няется при перенесении точки

 

 

h

 

 

 

приложения силы вдоль линии

 

 

K

 

 

 

ее действия (рис. 4.3).

 

 

Рис. 4.3

 

 

Если место приложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы перенести из точки А в A, то параллелограмм OABC перейдет

в параллелограмм OABC. Оба параллелограмма имеют общее осно-

вание OC и общую высоту OK. Поэтому их площади равны. Из этого

 

 

 

 

G

G

 

 

 

следует, что модули моментов сил M и

M одинаковы. Так как век-

торы rG

и

FGлежат в той же плоскости, что и векторы rG и FG , то

вектор

G

G

 

 

 

 

 

 

M

′ ↑↑ M . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

G

 

G

 

 

 

 

 

 

M

= M .

 

 

 

 

Момент силы относительно точки О равен нулю, если модульG силы F илиGплечо силы l равны нулю. Плечо силы равно нулю, когда F ↑↑ rG

или F ↑↓ rG (т. е. линия действия силы проходит через точку О). Моменты сил и моменты импульсов зависят не только от величи-

ны и направления этих векторов, но и от положения точек, относи-

тельно которых они рассчитываютсяG G G G . Рассмотрим, как связаны друг с другомG моменты ( L , Lи M , M ) одного и того же импульса pG и силы F относительно разных точек О и О', если точки находятся на расстоянии R друг отGдругаG (рис. 4.4).

Радиус-векторы r и rодной и той же частицы, измеренные относительно разных начальных точек О и О', связаны соотношением

 

G

G

G

G G

Y

 

 

 

r

= r

+ R ,

О`

 

X

где RG

— радиус-век-

[R,p]

G

Gr`

 

pG

тор начальной точки

Y

R

О

Gr

 

 

О' относительно на-

X

 

Β

Z

 

чальной точки О'.

Рис. 4.4

238

 

Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Так как

 

 

G

G

G

 

G G

 

G G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a + b, c

 

= [a,c]+ b,c

,

 

 

то, подставляя эту связь в выражение (4.1) и (4.3), получим

G

G G

G

+

G

G

 

 

G G

 

 

G G

G

G G

L

= [ r, p

] = [ (r′

R), p

] = [ r′, p

] + [ R, p ] =

L′

+ [ R, p ], (4.5)

G

G G

G

+

G G

 

 

G

G

 

 

G G

G

G G

M

= [ r, F

] = [ (r′

R), F

] = [ r

, F

] + [ R, F ] = M ′ + [ R, F ]. (4.6)

G Отметим,G чтоG GисходяG из определения векторного произведения [ R, pG ] R и [ R, F ] R .

Если на частицу действуют несколько сил, то момент векторной суммы сил (момент равнодействующей силы) равен векторной сумме

моментов всех сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ...)

=

M =

 

F

= r, Fpaвн

= r,(F

+ F

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

i=1

G

 

G

 

G

G

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

+ ... =

 

,

 

(4.7)

 

 

r, F

+ r, F

M

i

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

так как равнодействующая сил, действующих на частицу, равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

равн

= Fi .

 

 

 

 

 

(4.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

4.2. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Выясним, как меняется момент импульса частицы соG временем. Для этого рассчитаем производную момента импульса L по времени для частного случая, когда точка О неподвижна относительно не-

которой инерциальной системы отсчета. Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

G G

 

 

d

G G

 

 

G

d

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,b

 

=

 

 

 

a,b

 

+

 

a,

 

b

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

d

GG

 

 

G

G

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

G G

 

G

G G

 

 

 

dL

 

 

dr

 

G d(mv)

 

 

 

dv

 

 

 

 

=

 

 

 

[r,p] =

 

 

,(mv)

+ r,

 

 

 

 

 

= m[v,v

]+ r,m

 

 

= [r,ma

].

(4.9)

 

dt

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

G G

] = 0

 

Здесь векторное произведение двух одинаковых векторов [v,v

 

G

=

dvG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и a

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса...

239

По второму закону Ньютона в инерциальной системе отсчета произведение массы частицы на ее ускорение равно равнодействующей

всех сил, приложенных к частице, т. е. maG = FGi .

С учетом (4.5) имеем

 

 

i=1

 

G

 

G

G

G

G G

 

[r,ma

] = r,Fi

= Mi

= M

и

 

i=1

 

i=1

 

 

dLG

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

= M ,

(4.10)

 

 

dt

 

 

 

 

 

т. е. производная момента импульса частицы по времени равна векторной сумме моментов всех сил, приложенных к этой частице. Здесь моменты импульса и сил определены относительно одной и той же неподвижной точки О. Уравнение (4.10) называется уравнением момен-

тов. Из (4.10) следует закон сохранения момента импульса частицы:

G

G

(4.11)

если M = 0 , то

L = const,

или LG(t1 ) = LG(t2 ) .

Если векторная сумма моментов сил, действующих на частицу относительно неподвижной точки О равна нулю, то момент импульса частицы остается постоянным.

4.3. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ

ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ G

Рассмотрим проекции момента импульса частицы L на ось z относительно двух произвольных точек О и О', лежащих на этой оси

(рис. 4.4). Из (4.5) следует, что

 

G

G

 

 

 

 

 

L = L

 

 

 

 

 

+ [ R, p ]z.

 

 

G

G

G

z

z

 

 

G

G

 

 

 

 

Так как [ R , p ]

R , а значит и оси z, то [ R, p ]z = 0 и

 

 

 

Lz

=

Lz.

 

 

(4.12)

Аналогично можно показать, что

 

 

 

 

 

 

M z

=

M z.

 

 

(4.13)

240

Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Моментом импульса Lz частицыG

относительно оси z называется про-

екция на эту ось вектора L , определенного относительно произволь-

ной точки О этой оси (рис. 4.5а)

 

 

 

Lz G= L cos α ,

(4.14)

где α – угол между вектором L и осью z. Момент импульса частицы

относительно оси z одинаков для всех точек оси z (4.12).

 

Моментом силы Mz, действующей на частицу относительно оси z,

G

 

называется проекция на эту ось вектора M , определенного относи-

тельно произвольной точки О этой оси (рис. 4.5б).

 

M z = M cosβ ,

(4.15)

G

 

где β— угол между вектором M и осью z. Момент силы, действующей

на частицу относительно оси z, одинаков для всех точек оси z (4.13). Спроектируем на неподвижную ось z векторное уравнение (4.10). Получим

dLz

= M z .

(4.16)

dt

 

 

Уравнение (4.16) называется уравнением моментов относительно неподвижной оси. Из (4.16) следует закон сохранения момента импуль-

са частицы относительно неподвижной оси:

 

 

если M z

= 0 , то Lz = const,

(4.17)

или

Lz (t1 ) = Lz (t2 ) .

 

 

 

 

 

 

z

G

 

z

G

O`

Β

 

 

M

 

L

 

 

O`

 

Α

RG

 

 

 

RG

 

O

G

G

Gr

G

 

r

p

O

F

а

 

 

б

 

 

 

Рис. 4.5

 

 

Если алгебраическая сумма моментов сил, действующих на частицу относительно некоторой неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным.