Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика

где знак (–) ставится, если сила вращает тело по часовой стрелке, а знак (+) — в противоположную сторону (против часовой стрелки).

Отметим, что условия равновесия твердого тела определяют условия неизменности движения, а не его отсутствия, так как из равенства нулю сил и их моментов следует равенство нулю ускорений. При этом центр масс тела может двигаться равномерно и прямолинейно, а само тело — равномерно вращаться. Если тело покоится (скорость тела равна нулю), то при выполнении условий равновесия оно не выйдет из состояния покоя (нулевая скорость не может измениться со временем, так как ускорение равно нулю). Таким образом, условия равновесия — это необходимые, но не достаточные условия покоя. Для материальной точки, в отличие от твердого тела, среди всех инерциальных систем всегда можно всегда выбрать такую систему, в которой выполняются уравнения равновесия материальной точки (5.4), и она покоится.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

2.В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z положительна и равна произведению модуля силы на плечо силы?

3.В каком случае проекция момента силы, лежащей в плоскости ХОУ, на ось z отрицательна и равна минус произведению модуля силы на плечо силы?

4.В каком случае проекция ненулевого момента силы, лежащей

вплоскости ХОУ, на ось z равна нулю?

5.Объясните разницу между утверждениями: тело находится в равновесии, тело находится в покое.

Примеры решения задач

Задача 5.1

К рукоятке гвоздодера приложена сила F = 150 H. Длина гвоздодера от основания до конца рукоятки L = 25 см, от гвоздя до боковой поверхности гвоздодера — l = 5 см. Определить силу, приложенную к

которое имеет вид равенства (5.13). Рассчитаем проекции моментов всех сил, приложенных к гвоздодеру:

Мтр = 0, MN = 0 – так как точка O' лежит на линии действия этих сил; MMg = 0 – так как по условиям задачи силой тяжести гвоздодера можно пренебречь;

MF = FL – так как плечо силыG(перпендикуляр, опущенный из точки O' на линию действия силы F ) равно L, и сила вращает гвоздодер относительно точки O' против часовой стрелки;

MK = –Kl – так как плечо силы (перпендикуляр,G опущенный из точки O' на линию действия силы K ) равно l, и сила вращает гвоз-

или

По третьему закону Ньютона сила, с которой гвоздь действует на гвоздодер равна по модулю силе, с которой гвоздодер действует на гвоздь (рис. в), т. е.

Таким образом, сила, с которой действует гвоздодер на гвоздь, тем больше, чем длиннее его ручка. Подставляя численные значения, имеем

Из равенства нулю суммы двух векторов следует, что эти вектора

Так как сумма сил, приложенных к телу, равна нулю (1), то для определения моментов сил выберем точку О например так, как показано на рисунке. Точка приложения силы тяжести (центр тяжести куба) находится в т. С — центре его симметрии. Следовательно, линия ее действия проходит через точку О, и плечо силы тяжести относительно этой точки равно нулю. Тогда

Плечо нормальной составляющей силы реакции опоры N по определению равно x. Тогда модуль момента силы

ры — пересечение горизонтальной поверхности и линии действия силы тяжести.

Задача 5.3

На наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в покое находится цилиндр высотой H, радиусом окружности основания R. Определить точку приложения к цилиндру силы реакции опоры и условие покоя цилиндра в зависимости от угла наклона плоскости α, если коэффициент трения о плоскость равен k.

Дано: R;GH; k. Найти: N , α.

Под нарушением покоя цилиндра на наклонной плоскости понимают два процесса: падение цилиндра на наклонную плоскость и скольжение его вдоль наклоннойG плоскостиG.

Пусть нормальная N и горизонтальная Fтр — составляющие силы реакции опоры приложены в произвольной точке поверхности ци-

линдра, соприкасающейся с опорой (наклонной плоскостью) на расстоянии x от точки О. Запишем условия равновесия (5.4) и (5.6).

Найдем условия, когда цилиндр не падает на наклонную плоскость. Так как все силы, приложенные к цилиндру, действуют в одной плоскости XOY, то векторное равенство (2) можно заменить на

Определим моменты всех сил, например относительно точки О. Это возможно, так как предполагается, что сумма сил, приложенный к телу, равна нулю. Тогда

так как линии действия этих сил проходят через точку О (плечи сил равны нулю). Следовательно,

G MNz + MPz + MNz = MNz = 0. (6)

Так как сила N вращает тело относительно точки О против ча-

совой стрелки, то

M Nz = N x .

Следовательно,G если тело находится в равновесии, то нормальная составляющая N силы реакции опоры всегда приложена к точке О — точке пересечения линии действия силы тяжести с опорой (наклонG - ной плоскостью). Следовательно, точка приложения силы N движется к краю цилиндра при увеличении угла наклона α . Это условие определяет предельно возможное положение равновесия тела на наклонной плоскости (рис. б). Если линия действияG силы тяжести выйдет за край тела (а точка приложения силы N по физическому смыслу не может выйти за область соприкосновения тела с опорой), то тело обязательно перевернется, так как теперь проекции моментов всех сил относительно точки О равны (рис. в)

Это означает, что цилиндр обязательно упадет вправо на наклонную плоскость. Таким образом, максимально возможный угол наклона плоскости к горизонту α0, когда тело еще находится в равно-

Найдем условия, когда цилиндр не скользит по наклонной плос-

Определяя проекции всех сил (рис. г) на соответствующие оси ко-

Пусть сила трения покоя достигает своего максимального значения при некотором угле наклона α1, т. е. Fтр = kN. Тогда выразим N из (18) и подставим в Fтр (17). Таким образом,

mg sinα1 = Fтр = kN = kmg cosα1

или

Следовательно, равновесие цилиндра на наклонной плоскости нарушается тогда, когда угол наклонной плоскости с горизонтом:

Ответ: тело находится в равновесии на наклонной плоскости, если

α≤ min{arctg 2HR , arctg(k)} .

5.3.ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательное движение — движение (рис. 5.2), при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. Можно показать, что при поступательном движении одинаковыми являются все характеристики движения всех точек. Следовательно, в этом случае кинематика, динамика и статика твердого тела сводятся к кинематике, динамике и статике любой частицы (материальной точки) тела, которые рассматривались ранее.

любую точку О, лежащую на оси вращения. В соответствии с опреде-

Тогда момент импульса и момент импульса относительно оси z

где R = x2 + y2 — расстояние от частицы до оси z, или радиус вращения частицы вокруг оси z. Так как расстояние от частицы до оси вращения (радиус вращения) не зависит от выбора начала системы координат (т. О), то от этого выбора не зависит величина Lz . Добавим в выражение для момента импульса частицы относительно оси z индекс i всем переменным за исключением ωz, так как угловые скорости (и их проекции) одинаковы для всех частиц тела. Тогда для i частицы получаем

Подставляя это выражение в формулу (4.20), рассчитаем проекцию момента импульса системы частиц (твердого тела) при его вращении вокруг неподвижной оси

— момент инерции i-ой частицы твердого тела относительно оси z. Введем момент инерции твердого тела I как алгебраическую сумму моментов инерции составляющих его частиц, т. е.

Размерность момента инерции [I ] = [кг · м2]. Отметим, что при выборе другой оси расстояния от оси до частиц изменятся. Следовательно, изменится и момент инерции системы частиц. Подставляя (5.24) в (5.22), получаем проекцию момента импульса твердого тела на ось вращения в виде

Так как момент инерции твердого тела (абсолютно твердого тела)

ϕ — модуль вектора угла поворота. Из уравнения (5.27) следует, что

I ε = M .