Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика
.pdf6.8. Механические волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
391 |
|||||
Циклическая частота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ω = |
2π |
= (так как T = |
λ ) = |
2πu |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
T |
u |
λ |
2π 20 |
|
|||||||||||
Подставив численные значения, получим ω = |
= 5π рад/с. |
|||||||||||||||||
8 |
||||||||||||||||||
Уравнение плоской волны имеет вид: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ξ(x,t) = 0,1sin(5πt − |
|
5πx |
) . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
20 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Смещение точки с координатой x1 = 12 м при t1 = 1,2 c: |
||||||||||||||||||
|
ξ(x ,t ) = 0,1sin 5π(1, 2 − |
12 |
) = 0,1sin 3π = 0 . |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
1 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Смещение точки с координатой x2 = 15 м при t1 = 1,2 c равно |
||||||||||||||||||
ξ(x ,t ) = 0,1sin 5π(1, 2 − |
15 |
) = 0,1sin 2, 25π = 0,1 |
|
2 |
= 0, 071 м. |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
1 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: длина волны λ = 8 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
смещение точки x1 при t1 = 1,2 c ξ(x1 ,t1 ) |
= 0; смещение точки с коор- |
динатой x2 = 15 м при t1 = 1,2 c ξ(x2 ,t1 ) = 0,071 м; уравнение плоской волны имеет вид ξ(x,t) = 0,1sin(5πt − 520πx) , м.
Задача 6.19
Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью u = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с, амплитуда колебаний А = 2 см.
Определить длину волны λ, фазу ϕ колебаний, смещение ξ(x,t) ,
скорость |
dξ(x,t) |
и ускорение |
d 2ξ(x,t) |
точки, отстоящей на расстоя- |
|
dt |
dt2 |
||||
|
|
|
нии х = 45 м от источника волны в момент времени t = 4 с, разность фаз ϕ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстоянии х1 = 20 м и х2 = 30 м.
Дано: u = 15 м/с; Т = 1,2 |
с; А = 2 см; t = 4 с; х = 45 м. |
|||||
Найти: λ, ϕ, ξ(x,t) , |
dξ(x,t) |
, |
d 2ξ(x,t) |
, |
ϕ. |
|
dt |
|
dt2 |
||||
|
|
|
|
|
1. Длина волны
λ = uT.
392 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Подставив численные значения, получим λ = 15 · 1,2 = 18 м.
2. Фаза колебаний, смещение, скорость, и ускорение точки могут
быть найдены с помощью уравнения волны |
|
||
ξ(x,t) = Asin ω(t − |
x |
) , |
( 1) |
|
|||
|
u |
|
ξ(x,t) — смещение колеблющейся точки, х — расстояние точки от источника волны, u — скорость распространения волн.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется выражением, стоящим в уравнении волны как аргумент тригонометрической функции
ϕ = ω(t − |
x |
) = |
2π |
(t − |
x |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
|
u |
|
2π |
|
45 |
|
||||
Подставив числовые значения, получим ϕ = |
|
(4 − |
) = 1, 67π . |
|||||||||
1, 2 |
15 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) числовые значения амплитуды и фазы:
ξ(x,t) = 2sin1, 67π = 2sin 300° = −2sin 60° = −2 0,866 = −1, 73 см = = |1,73| см.
Скорость v точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dξ(x,t) |
|
= Aω cos ω(t − |
x |
) = |
2πA |
cos ω(t − |
x |
) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
T |
u |
||||||||
Подставив числовые значения, получим |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dξ(x,t) |
= |
2 3,14 2 |
cos 300° = 10, 4 cos 60° = 5, 2 см/с. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ускорение точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2ξ(x,t) |
= − Aω2 sin ω(t − |
x |
) . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||
Подставив числовые значения, получим |
|
|
|||||||||||||||||||
|
d 2ξ(x,t) |
|
|
|
2 3,14 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= −2 |
|
|
|
sin 300° = 54,8sin 60° = 47,5 см/с2. |
||||||||||||
|
dt |
2 |
|
1, 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Разность фаз колебаний ϕ двух точек волн связана с расстоянием x между этими точками (называемыми разностью хода вол-
ны) соотношением |
|
|
|
||
ϕ = |
2π |
x = |
2π |
(x − x ) . |
|
|
|
||||
|
λ |
λ |
2 |
1 |
|
|
|
|
6.8. Механические волны |
393 |
Подставив числовые значения в выражение, получим
Δϕ = 218π (30 − 20) = 1,1π рад.
Ответ: длина волны λ = 18 м; фаза колебаний ϕ точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент времени t = 4 с, ϕ = 1,67π; смещение точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент времени t = 4 с, ξ(x,t) = 1,73 см; скорость точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волны в мо-
мент времени t = 4 с, dξ(x,t) = 5,2 см/с; ускорение точки, отстоя- dt
щей на расстоянии х = 45 м от источника волны в момент времени
t = 4 с, |
d 2 |
ξ(x,t) |
= 47,5 см/с2; разность фаз |
ϕ колебаний двух точек |
|
dt2 |
|||
|
|
|
|
одного луча, отстоящих от источника волны на расстояниях х1 = 20 м и х2 = 30 м, ϕ = 1,1π рад.
Задача 6.20
Сколько времени идет по стальному рельсу звуковая волна, когда поезд находится на расстоянии S = 1000 м от наблюдателя? Модуль Юнга для стали Е = 2 · 1011 Н/м2, плотность стали ρ = 7,8 · 103 кг/м3.
Дано: S = 1000 м; Е = 2 · 1011 Н/м2; ρ = 7,8 · 103 кг/м3. Найти: t.
Звуковая волна, распространяющаяся по рельсу, является продольной.
Скорость распространения продольной волны в твердом тонком стержне вычисляется по формуле
u = |
E |
, |
|
ρ |
|||
|
|
где Е — модуль Юнга (модуль продольной упругости стали), ρ — плотность стали.
Так как звуковая волна распространяется прямолинейно и равномерно вдоль рельсов, то время t прохождения звуком расстояния
S равно |
|
|
|
|
t = |
S |
= S |
ρ |
. |
u |
|
|||
|
|
E |
394 |
Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ |
Подставив числовые значения в полученное выражение, получим t = 0,2 c.
Ответ: звуковая волна проходит расстояние 1000 м по стальному рельсу за 0,2 с.
Задача 6.21
Левому концу длинной горизонтальной натянутой струны сообщается простое гармоническое колебательное движение с частотой
ν = 250 Гц и амплитудой А = 2,6 см. Сила натяжения струны F = 140 Н, m
масса, приходящая на единицу длины, l = 0,12 кг/м. Записать уравнение ξ(x,t) , описывающее бегущую волну, и вычислить длину вол-
ны λ, если при t = 0 конец струны смещен вверх на 1,6 см и движется вверх.
Дано: ν = 250 Гц; А = 2,6 см; F = 140 Н; |
m |
= 0,12 кг/м; |
||||||||||||||||||
l |
||||||||||||||||||||
ξ(x,t = 0) = 1,6 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: ξ(x,t) , λ. |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислим длину волны λ = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ν m |
|
|
|
m |
или ρS = |
m |
|
|||||||
Так как объемная плотность ρ = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
, то скорость |
|||||||||||
V |
|
|
lS |
l |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
распространения поперечной волны равна |
|
|
|
|
||||||||||||||||
u = |
|
|
F |
|
= |
|
|
|
Fl |
. |
|
|
|
|
||||||
|
ρS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда длина волны равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
u |
= |
|
|
1 |
|
|
Fl |
. |
|
|
|
|
|||||||
ν |
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
Подставив числовые значения в полученное выражение, получим λ = 14 см.
2. Если за начало отсчета принять левый конец струны х = 0, начальную фазу колебания (при t = 0) обозначить ϕ0, то уравнение плоской волны можно записать в виде
ξ(x,t) = Acos(ωt − kx + ϕ0 ) . Так как при х = 0 и t = 0 ξ = 1,6 см, то получим
1, 6 = 2, 6 cos ϕ0 .
6.8. Механические волны |
|
|
395 |
|
Начальный сдвиг фазы |
|
|
|
|
ϕ0 = arccos |
1, 6 |
= 52° = 0,91 рад. |
||
2, 6 |
||||
|
|
|||
Циклическая частота |
|
|
|
|
ω = 2πν = 2 3,14 250 = 1570 рад/с. |
||||
Модуль волнового вектора |
|
|||
k = |
2π |
|
= 45 м– 1. |
|
λ |
||||
|
|
Ответ: уравнение ξ(x,t) бегущей волны, имеет вид
ξ(x,t) = 0, 026 cos(1570t − 45x + 0,91) , м.
Задача 6.22
Интенсивность сейсмической волны в х1 = 100 км от центра землетрясения составляет I1 = 1 106 Вт/м2. Чему равна интенсивность I2 этой волны на расстоянии х2 = 400 км от центра землетрясения?
Дано: х1 = 105 м; I1 = 1 106 Вт/м2; х2 = 4 · 105 м. Найти: I2.
Интенсивность волн (энергия, переносимая волной через единичную площадь поверхности за единицу времени) убывает по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.
Если обозначить энергию, излучаемую в точке землетрясения за единицу времени, через W, то
|
|
I = |
|
W |
, I |
|
= |
W |
|
|
I |
1 |
= |
x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
2 |
. |
|||||||
|
|
|
x2 |
|
x2 |
I |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
x2 |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Вычислим I |
|
= I |
x2 |
= 106 |
|
|
104 |
|
= 6, 2 104 Вт/м2. |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
16 104 |
||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: интенсивность волны на расстоянии 400 км от центра землетрясения равна
I2 = 6, 2 104 Вт/м2.
396 |
Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ |
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Кинематика механических гармонических колебаний
•Колебания — физический процесс, характеризующийся той или иной повторяемостью во времени и пространстве.
•Свободные или собственные колебания — колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния устойчивого равновесия.
•Периодические колебания — колебания, в которых изменяющиеся физические величины повторяются через равные промежутки времени.
•Механические гармонические колебания — прямолинейные, неравномерные, периодические движения, при которых расстояние х материальной точки от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени она находится, описывается уравнением
x= Asin(ωt + ϕ0 ) .
•Период колебаний — наименьший промежуток времени Т, по истечении которого, значение изменяющейся физической величины повторяется:
— по модулю и направлению, если эта величина векторная,
— по величине, если она скалярная.
T = 1ν
•Частота колебаний ν — число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной за единицу времени.
•Циклическая частота — число полных колебаний, совершаемых колеблющейся величиной, за 2π с.
ω0 = 2Tπ = 2πν .
Динамика механических гармонических колебаний
•Квазиупругие силы — силы любой физической природы, под действием которых тело совершает гармоническое колебание.
•Пружинный маятник — система, состоящая из абсолютно упругой невесомой пружины и груза массой m.
Основные положения |
|
|
|
|
|
397 |
||||||
• Период колебаний пружинного маятника — T = 2π |
m |
. |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
• Кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника – |
||||||||||||
|
|
mA2ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
W |
= |
|
0 |
|
cos2 |
(ω |
t + ϕ |
0 |
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mω2 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
W |
= |
0 |
|
|
sin2 |
(ω |
t + ϕ |
0 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
п |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
mω2 A2
• Полная энергия пружинного маятника — W = Wк + Wп = 0 .
2
•Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
• Период колебания математического мятника — T = 2π |
l |
. |
|
||
|
g |
•Физический маятник — абсолютно твердоеG тело, совершающее колебания под действием силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси z, не проходящей через центр тяжести тела.
• Период колебаний физического маятника — T = 2π |
Jz |
. |
|
||
|
mgd |
Сложение гармонических колебаний
•Результирующее колебание при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой: ослабляется, если колебания находятся в противофазе, т. е. разность фаз кратна
ϕ02 − ϕ01 = (2n + 1)π ,
усиливается, если колебания находятся в фазе, т. е. разность фаз кратна
ϕ02 − ϕ01 = 2πn .
•Результирующее колебание при сложении двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящими вдоль одной прямой, описывается уравнением
|
2Acos |
ω1 − ω2 |
|
ω1 |
+ ω2 |
t , |
x(t) = |
2 |
t cos |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
398 |
Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ |
•Биение — колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
|
ω1 − ω2 |
|
|
|
A(t) = |
2Acos |
t |
. |
|
|
|
2 |
|
|
•Результирующее колебание при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты ω при разности фаз, равной нулю — гармоническое колебание с ампли-
тудой C = A2 + B2 , частотой ω, совершающее вдоль ограниченной прямой, наклоненной к оси х под углом ϕ = arctg BA .
•Траектория движения при сложении двух взаимно перпендикуляр-
ных гармонических колебаний одинаковой частоты и разных амплитуд (А ≠ В) при разности фаз, равной π2 — эллипс, период которого равен периоду складываемых колебаний.
•Результирующее колебание при сложении двух взаимно перпенди-
кулярных гармонических колебаний одинаковой частоты при разности фаз, равной π:
— прямая, описываемая уравнением
y = − BA x .
Затухающие механические колебания
•Затухающие механические колебания — колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.
•Апериодический процесс — процесс возвращения системы, выведенной из состояния равновесия, в исходное состояние без колебаний.
•Условный период затухающих механических колебаний –
T = |
2π |
|
|
. |
|
ω02 − β2 |
• Время релаксации τ — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
• Коэффициент затухания β — величина, обратная времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Основные положения |
399 |
•Логарифмический декремент затухания λ — величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время релаксации τ.
Вынужденные механические колебания
•Вынужденные механические колебания — колебания в системе, происходящие под действием внешней периодической возмущающей силы. Если внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, то вынужденные колебания являются гармоническими.
•Механический резонанс — явление резкого возрастания амплиту-
ды установившихся вынужденных колебаний при приближении частоты Ω внешней возмущающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте Ωрез.
•Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частот возмущающей силы и собственных колебаний, вязкости среды.
•Резонансная частота — частота возмущающей силы при которой амплитуда колеблющейся системы достигает максимального значения.
Ωрез = ω02 − 2β2 .
Механические волны
•Механические волны — процесс распространения возмущений (деформаций) в упругой среде, несущий с собой энергию, в котором одновременно совершаются колебания частиц среды около положения равновесия и поступательное движение состояния колеблющихся частиц без перемещения самих частиц вдоль заданного направления.
•Амплитуда волны А — максимальная высота пучности или глубина впадины, измеренная относительно положения равновесия.
•Частота волны ν — число полных колебаний за единицу времени, совершаемых любой из частиц упругой среды, в которой распространяется волна.
•Период волны Т — время, по истечении которого волна распространяется на расстояние, равное двум соседним пучностям или гребням.
400 |
Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ |
•Циклическая частота ω — число гребней, проходящих через данную точку за время 2π с.
•Скорость распространения волны uG — скорость, с которой перемещается пучность (впадина) вдоль заданного направления.
•Длина волны λ — расстояние, на которое волна распространяется за один период.
λ= uT.
•Разность фаз между двумя точками –
ϕ= 2π x = 2π (r1 − r2 ) .
λλ
•Амплитуда волны уменьшается по мере удаления от источника обратно пропорционально расстоянию до источника.
•Энергия, мощность и интенсивность волн убывают по мере удаления от источника обратно пропорционально квадрату расстояния до источника.
•Волна называется продольной, если частицы упругой среды колеблются в направлении распространения волны.
•Волна называется поперечной, если частицы упругой среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.
•Уравнение волны — уравнение, позволяющее найти смещение от положения равновесия любой из частиц волнового поля в любой момент времени.
•Уравнение плоской гармонической волны –
=Acos(ωt − GG) .ξ(rG,t) kr
•Стоячая волна — волна, полученная при интерференции двух встречных плоских волн с одинаковыми частотами и амплитудами
ξ(x,t) = 2Acos kx cos ωt .
• Координаты пучностей и узлов стоячей волны –
xпучн = ±n λ2 ;
|
|
1 |
λ |
|
|
xузл |
± n + |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|