Набор учебников PDF Хороший солдат / Физика / Физика. Механика

щения. Более полные таблицы моментов инерции таких тел можно найти в справочниках по математике и физике.

Таблица моментов инерции некоторых тел

302 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

вия силы тяжести вала и силы реакции оси вала (на рис. не показаны) проходят через точку О. Следовательно, моменты этих сил равны нулю. По определению модуль момента силы T ' равен

Найдем связь между силами, приложенными к валу T ' и телу T, со стороны нити. Запишем второй закон Ньютона для нити массой m' (см. рис.)

(5)

где KG и KG′ — силы, действующие на нить со стороны тела и вала. По третьему закону Ньютона

Выражая T из (9) и подставляя в (2), определяем момент инерции вала I

Предполагаем, что нить нерастяжима. Тогда модуль тангенциального ускорения нити на криволинейном участке должен равняться

где aτ — модуль тангенциального ускорения нити при ее движении по валу, то подставляя (11) и (12) в (10), получаем

Момент инерции сплошного цилиндрического вала (цилиндра)

5.5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ИХ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим систему, состоящую из двух твердых тел. Тогда согласно (4.20) G G G

G G G L = L1 + L2 и Lz = L1z + L2 z ,

где L1 , L2 и L — моменты импульса, а L1z , L2 z и Lz — проекции моментов импульса первого, второго тела и системы тел на неподвижную ось z. Для любой системы частиц (в том числе и для системы твердых тел) справедливо равенство (4.23)

dLz

dt

Здесь M zвнеш — сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телам системы. Если (4.27)

M zвнеш = 0 ,

304 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

то имеет место закон сохранения проекции момента импульса системы твердых тел,

где t и t′ — два произвольных момента времени. Если в эти моменты времени тела системы совершают только вращательное движение относительно неподвижной оси, то моменты импульса тел можно

представить в виде (5.25)

L1z (t) = I1 (t)ω1z (t) , L2 z (t) = I2 (t)ω2 z (t) , L1z (t′) = I1 (t′)ω1z (t′) , L2 z (t′) = I2 (t′)ω2 z (t′) .

Тогда из (5.42) следует

I1 (t)ω1z (t) + I2 (t)ω2 z (t) = I1 (t′)ω1z (t′) + I2 (t′)ω2 z (t′) ,

где I1 , I2 , ω1z ,ω2 z — моменты инерции и проекции вектора угловой скорости на ось z первого и второго тела в моменты времени t и t′ . Обобщим полученное выражение на систему, состоящую из произвольного числа совершающих вращательное движение тел и частиц:

Если M zвнеш = 0 , то Iω z = const или

Здесь I — момент инерции системы твердых тел. Отметим, что в промежутке времени между t и t′ тела системы могут совершать более сложные движения, чем просто вращение вокруг неподвижной оси.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы частиц.

2.Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы твердых тел и частиц, совершающих вращательное движение вокруг неподвижной оси.

3.Можно ли применять закон сохранения момента импульса, если тела системы участвуют в сложных движениях, не сводящихся только к вращению вокруг неподвижной оси?

Примеры решения задач

Задача 5.10

Горизонтальная платформа массой М = 50 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой ν1 =12 мин–1. В центре стоит человек и держит на вытянутых руках гири. Считая платформу диском, определить частоту ν2 вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1 = 6,2 кг · м2 до I2 = 1 кг · м2.

т. е. зависит только от компонент силы, действующих в плоскости XOY, перпендикулярных оси z. Следовательно, проекции моментов всех внешних сил на ось z

Тогда имеет место закон сохранения момента импульса системы тел и

где L(t) и L(t′) — сумма моментов импульса тел системы в любые два момента времени. Если считать t начальным, а t' конечным моментами времени, то моменты импульса платформы L1 и человека с гирями L2 (когда тела совершают только вращательные движения вокруг неподвижной оси), соответственно равны (5.25)

где ω1, I1 и ω2,I2 — круговые частоты вращения и моменты инерции человека с гирями в начальный и конечный момент времени, Ip — момент инерции платформы. Подставляя (4) и (5) в (3) с учетом равенств

Так как платформа — диск, то момент инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоско-

Используя данные условия задачи, определяем численное зна-

Умножая левую и правую части этого выражения на dt, преобразуем его к виду

Idω z = M z dt .

Подставляя данное выражение в (5.45) с учетом определения проекции вектора угловой скорости на ось z

dϕ

ωz = dtz ,

Обычно направление оси z выбирают так, что ϕ ↑↑ OZ . Тогда

dϕ z = dϕ и работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол равна

С другой стороны, как уже было сказано ранее, работа внешних сил, действующих на твердое тело, равна изменению его кинетической энергии. Если тело участвует только в процессе вращения во-

где Т1 и ω1 — кинетическая энергия и угловая скорость вращения тела в начальный, а Т2 и ω2 — в конечный момент времени. Последнюю формулу можно обобщить на систему твердых тел и частиц с переменными моментами инерции. Тогда работа всех сил, действующих на систему твердых тел и частиц, участвующих в процессе вращения

где T1i , ω1i и I1i — кинетическая энергия, угловая скорость вращения и момент инерции i тела (частицы) в начальный, а T2i , ω2i и I2i — в конечный моменты времени.

оси на которую насажен диск, сила трения FGтр′ и сила давления WG

со стороны человека. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформыG и человека. Тогда внешними силами являются MgG , mgG и Q . Выберем ось z вдоль оси вращения. При таком выборе все внешние силы направлены вдоль оси z и их проекцииG на оси x и y равны нулю. Так как проекция момента любой силы F на ось z зависит только от Fx и Fy (5.10)

то, очевидно, все M z = 0 и суммарный внешнийG момент M zвнеш = 0. Более того, для данной задачи MgG + mgG + Q = 0 , так как вдоль оси z система, а значит и ее центр масс, не движутся. Следовательно, имеет место закон сохранения момента импульса системы тел при вращательном движении относительно неподвижной оси (5.43) и

где t и t' — начальный момент времени, когда человек находится на краю платформы, и конечный момент времени, когда человек находится в центре. I1(t) = I1(t' ) = I1 = MR 2/2 — момент инерции платформы (диска), I2(t) = mR 2 — момент инерции человека в начальный момент времени, I2(t' ) = 0 — момент инерции человека в конечный момент времени, ω1z (t) = ω2 z (t) = ω — начальная частота вращения системы «человек + платформа», ω1z (t′) = ω2 z (t′) = ω′ — конечная частота вращения системы «человек + платформа». Проекции векторов угловой скорости ω z тел системы в начальный и конечный момент времени равны модулям этих векторов, т. к. эти вектора параллельны оси z. Таким образом, имеем равенство