Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. Механика

.pdf

Скачиваний:

1027

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

4.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4428 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Тесты для электронного экзамена

271

= M

= L

= F

T4.10 Если момент импульса частицы меняется со временем по за-

кону 3t2iG , где iG

– единичный вектор вдоль оси X, то векторная сум-

ма моментов сил, действующих на частицу, равна

1) M

= 6i

= 6t2i

3) M

= −6ti

4) M

= 3ti

5) M

= 6ti

T4.11 Если векторная сумма моментов сил, приложенных к частице,

равна нулю,	то закон сохранения момента импульса частицы имеет вид
1) LG= 0 2)	LG= целое 3) LG= const 4) LG= неотриц. 5) LG= нецелое

Момент импульса системы частиц

T4.12 Если частицы образуют механическую систему, то вектор-

ная сумма внутренних сил равна			G
1) ∞	2) 0	G		5) –∞
		3) F внеш	4) M внеш
T4.13 Если частицы образуют механическую систему, то вектор-
ная сумма моментов внутренних сил равна
G	G	3) ∞	4) 0	5) –∞
1) F внеш	2) M внеш
T4.14 Если сумма внешних сил, приложенных к системе частиц,

равна нулю, то связь между суммарными моментами внешних сил
G	G
M и	M ′ , приложенных к системе частиц относительно разных не-
подвижных точек O			и O′ , имеет вид		G	G G	G	G
G	G	G	G	G G
1) M = −M ′		2) M ′	= 2M	3) M = M ′	4) M ′ = [MF]		5) M = 2M ′

T4.15 Если векторная сумма моментов внешних сил приложен-

ных к системе частиц равна нулю, то закон сохранения момента импульса системы частиц имеет вид

1) LG= 0

2) LG= целое

3) LG= const

4) LG= неотриц. 5) LG= нецелое

Центр масс системы частиц

T4.16 Если rG

и m – радиусвектор и масса i частицы, а m – масса

всей системы, то радиус-вектор rG

центра масс системы частиц равен

1) rGC

∑mi rGi

2) rGC

∑rGi

3) rGC =

∑mi pGi

4) rC

∑ pi

5) rC

∑ Fi

272 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

T4.17 Если xi и mi – координата и масса i частицы, а m – масса всей системы частиц, лежащих на оси X, то координата xC центра масс системы частиц равна

1) xC =	1	∑mi xi	2) xC =	1	∑ xi	3) xC =	1	∑mi pix
	m			m			m
		i			i			i

4) xC = 1 ∑ pix m i

5) xC =	1	∑ Fix
	m
		i

T4.18 Если три частицы лежат на оси х и их массы равны 1 кг, 2 кг, и 3 кг, а координаты 1 м, — 2 м и 3 м, то координата центра масс сис-

темы трех частиц равна
1) 0 м	2) –3 м	3) 2 м	4) –1 м	5) 1 м

T4.19 Если FGвнеш – векторная сумма внешних сил, а FGвнут – вектор-

ная сумма внутренних сил, приложенных к системе частиц, то уравнение движения центра масс системы имеет вид

1)	mrGC = FGвнеш			2)	mvG	= FGвнеш 3) mvG		= FGвнут
		G			C	G	C
4)	G	G	внут	5)	G	G	внеш
4)	ma	= F		5)	ma	= F
	C				C

T4.20 Если модуль векторной суммы внешних сил, приложенных к системе частиц, равен 10 H, а ее масса равна 5 кг, то модуль уско-


рения центра масс системы равен
1)	2 м/c2	2) 0,5 м/c2 3) 2 м/c				4) 2 м2/c	5) 2 м2/c2
	T4.21 Если сумма сил, приложенных к системе частиц, не меня-
ется со временем, то центр масс системы движется
1)	не движется		2) равномерно		3) неравномерно
4) равноускоренно				5) равнозамедленно
	T4.22 Если сумма сил, приложенных к системе частиц, меняется
со временем, то центр масс системы движется
1)	не движется		2) равномерно		3) неравномерно
4) равноускоренно				5) равнозамедленно

Ц-система

T4.23 Если частицы образуют механическую систему, то радиусвектор центра масс системы, рассчитанный в Ц-системе отсчета, ра-

вен
1) ∞	2) 1 м	3) 0	4) –∞	5) –1 м

Тесты для электронного экзамена

273

T4.24 Если частицы образуют механическую систему, то ускорение центра масс системы частиц, рассчитанное в Ц-системе отсче-

та, равно			4) –∞
1) ∞	2) 1 м/с2	3) 0	4) –∞	5) –1 м/с2

T4.25 Если частицы образуют механическую систему, то импульс центра масс системы частиц, рассчитанный в Ц-системе отсчета, равен

1) ∞	2) 1 кг · м/с 3) 0	4) –∞	5) –1	кг · м/с
T4.26 Если частицы образуют механическую систему, то				уравне-

ние моментов для этой системы, рассчитанное в Ц-системе отсче-

та, имеет вид					G			G
	G	G			G	G		G	G
	dL	G			dL	G		dM внеш	G
1)	Ц	= M внеш	2)		Ц	= −M внеш	3)	Ц	= L
1)	dt	Ц	2)		dt	Ц	3)	dt	Ц
4)	dLGЦ	= FGвнеш	5)	dLGЦ		= LG
4)	dt	Ц	5)		dt	Ц
			Абсолютно твердое тело. Центр тяжести
	T4.27 Равнодействующая сил тяжести системы частиц приложе-
на к
1) любой точке системы						2) началу координат системы
3) центру масс системы						4)) центру Земли			5) поверхности Земли
	T4.28 Если две силы, приложенные к телу, являются парой сил, то
их равнодействующая равна
1) не существует				2) 0		3) ∞	4)) –∞		5) удвоенной силе

T4.29 Если шесть шаров с массами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 кг укреплены на невесомом горизонтальном стержне так, что находятся на одинаковом расстоянии, равном 1 м друг от друга, то расстояние между центром тяжести системы и первым шаром, массой 1 кг, равно

1) −3	1	м	2) 3	1	м	3) 3	1	м	4) 3	2	м	5) 3	1	м
	3			4			2			3			3

T4.30 Если велосипедист массой 60 кг поднимается в гору и давит на каждую педаль всем своим весом, а педали при вращении описывают окружность радиусом 18 см, то наибольший момент сил, создаваемый велосипедистом, равен (момент сил считать относительно центра вращения педали)

1) 5,4 Н · м 2) 21,6 Н · м 3) 10,8 Н · м 4) 32,4 Н · м 5) 21,6 Н

274	Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Момент импульса частицы. Момент силы. Уравнение моментов

4.1G

Сила F с компонентами (Fx = 3 H, Fy = 4 H, Fz = 5 H) приложена к точке A с координатами (x = 4 м, y = 2 м, z = 3 м). Найти: а) моментG силы относительноGначала координат, б) модуль вектора силы F , в) момент M z силы F относительно оси z.

4.2

G Вектор момента импульса частицы изменяется по закону L = 8t2iG− 3cos 6tjG . Чему равен вектор момента сил, приложенных к частице, в момент времени t = 3 с?

4.3

В начальный момент частица находится в покое. Чему равен вектор момента импульса частицы через t =G5 с послеGначала движения, если на частицу действует момент сил M = 4sin 5ti ?

4.4

Тело массой m = 0,1 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростьюGv0 = 20 м/с. Найти модуль приращения момента импульса тела | L | относительно точки бросания за первые τ = 5 с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Центр масс системы частиц

4.5

Найти центр масс следующей системы частиц: m1 = 1 кг, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг, х1 = 1 м, х2 = 2 м, х3 = 3 м, у1 = 3 м, у2 = 2 м, у3 = 1 м.

4.6

Найти модуль ускорения центра масс системы, состоящей из двух частиц с m1 = 5 кг и m2 = 8 кг, на которые действуют силы F1 = 10 H и F2 = 15 H. Силы направлены под углом α = 60° друг к другу.

Задачи для контрольных работ

275

Центр тяжести

4.7

К концам однородного стержня массой m = 1 кг и длиной l = 1 м подвешены на нитях два алюминиевых шара радиусами R1 = 7,08 см и R2 = 4,46 см с плотностью ρал = 2,7 · 103 кг/м3. Найти расстояние от левого конца стержня до положения центра тяжести системы.

4.8

В однородном диске радиуса R = 4 см вырезано квадратное отверстие со стороной a = 2 см, центр которого отстоит от центра диска на расстоянии l = 2 см. Найти расстояние от центра диска до центра тяжести диска с вырезом.

4.9

Одна половина цилиндрического стержня стальная, другая — алюминиевая. Найти, на каком расстоянии x от стального конца стержня расположен его центр тяжести, если длина стержня L = 30 см. Плотность стали ρст = 7,8 ·103 кг/м3, плотность алюминия ρал = 2,7 · 103 кг/м3.

4.10

На конце стержня длиной L = 30 см прикреплен шар радиусом R = 6 см. На каком расстоянии от центра шара x находится центр тяжести этой системы, если масса стержня m1 = 1 кг, а масса шара m2 = 2 кг?

4.11

На невесомой доске длиной L = 4 м находятся два мальчика массами m1 = 30 кг и m2 = 40 кг. Первый находится на левом краю доски, а второй — на расстоянии l = 1 м от правого края. Определить расстояние от левого края доски до центра тяжести системы.

4.12

Два шарика массами m1 = 50 г и m2 = 100 г с отверстиями вдоль диаметра насажены на стержень и связаны друг с другом нитью так, что расстояние между их центрами L = 20 см. Стержень помещен на центробежную машину с осью вращения перпендикулярно стержню. На

276	Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

каком расстоянии x от оси вращения надо расположить больший шарик, чтобы при вращении стержня шарики остались в равновесии?

4.13

На каком расстоянии y от дна находится центр тяжести (масс) тонкостенного цилиндрического стакана, имеющего высоту h = 12 см и внешний диаметр d = 8 см, если толщина дна в два раза больше толщины стенок, равной b = 0,5 см?

4.14

Четыре однородных шара с массами m1 = 1 кг, m2 = 5 кг, m3 = 7 кг и m4 = 3 кг укреплены на невесомом стержне так, что их центры находятся на равных расстояниях d = 0,2 м друг от друга. На каком расстоянии x от центра третьего шара находится центр тяжести (масс) системы?

4.15

К концам однородного стержня l = 0,9 м и массой m = 2 кг подвешены два груза m1 = 1 кг и m2 = 2 кг. На каком расстоянии х от большей массы находится центр тяжести системы?

Глава 5 ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

5.1. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для описания положения одной частицы в пространстве необходимо знать три ее координаты. Говорят, что материальная точка обладает тремя степенями свободы. В общем случае для описания положения системы, состоящей из N произвольных частиц, необходимо знать 3 · N координат. Можно показать, что твердое тело, представляющее собой систему N жестко связанных между собой частиц, обладает шестью степенями свободы, т. е. для задания местоположения всех точек тела необходимо шесть независимых координат.

Запишем уравнения, определяющие движение системы частиц

(4.34, 4.23):		G		G
		G		G	внеш		(5.1)
	maC			= F			(5.1)
		dLG		G внеш
			= M			.	(5.2)
		dt	= M

Часто удобнее вместо уравнения (4.23) использовать уравнение

(4.37)	dLG
	dLG	G
	Ц	= M Цвнеш .	(5.3)
	dt	= M Цвнеш .	(5.3)
	dt

Как отмечалось ранее при рассмотрении одного твердого тела, индекс «внеш» можно не указывать, так как в этом случае все силы внешние. Если система частиц представляет собой систему твердых тел или твердых тел и частиц, то внутри такой системы можно определить внутренние (внутрисистемные) силы и внешние, действующие на тела системы извне.

Проектируя уравнения (5.1, 5.2) или (5.1, 5.3) на оси координат, получаем шесть уравнений для нахождения шести координат тела.

278	Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Зная законы действия внешних сил, точки их приложения с помощью этих уравнений и начальных условий можно найти положение каждой точки тела и ее скорость в любой момент времени. Напомним, что переменные в уравнениях (5.1) и (5.2) рассчитываются относительно произвольной неподвижной инерциальной системы отсчета, а в (5.3) — относительно системы отсчета, связанной с центром масс системы (Ц-система). Несмотря на внешнюю простоту этих уравнений, получение их решения для произвольного движения тела представляет собой достаточно сложную математическую задачу. Ограничимся рассмотрением условий равновесия твердых тел и трех видов движений (поступательного, вращательного вокруг неподвижной оси и плоского).

5.2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Из (5.1) и (5.2) следует, что твердое тело находится в равновесии,

если:
1) векторная сумма сил, приложенных к телу, равна нулю
FG	= ∑ FGi = 0	(5.4)
или	i
или

∑ Fix = 0,
i
		(5.5)
∑ Fiy = 0,		(5.5)
	i

=0;

и2) векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относи-∑ Fizi

тельно неподвижной точки, равна нулю
G	G
M	= ∑ Mi = 0		(5.6)
или	i
		= 0,
∑ Mix		= 0,
i
		= 0,	(5.7)
∑ Miy		= 0,	(5.7)
	i
∑ Miz = 0.
	i

5.2. Условия равновесия твердого тела

279

Так как имеет место равенство (5.4), то, следуя (4.22), можно утверждать, что равенства (5.6–5.7) справедливы относительно любой неподвижной точки пространства.

Рассмотрим частный случай. Пусть все силы, действующие на твердое тело, лежат в плоскости ХОY (рис. 5.1а), т. е. имеют нулевые проекции на ось Z. Тогда любой вектор силы и радиус-вектор точки

ее приложения можно представить в виде

+ 0

(5.8)

= xi

+ yj

k ;

FG = F iG

+ F

Gj +

0 kG .

где iG, Gj и kG

— единичные векторы вдоль соответствующих осей X, Y

и Z. Подставим (5.8) в (4.3)

M =[ r, F ]=[ xi

+ yj + 0 k, F i

+ F j +

0 k

]

и, используя свойства векторного произведения,

] = (a b

− a

+ (a

[ a,b

+ (a b − a b ) j

− a b )k

y z

z x

x z

y z

получим

= ( y 0 −

(0 Fx − x

0 F y ) i

0) j

(xFy − yFx )k

= 0 iG+ 0 Gj + M z kG = M z kG,

(5.9)

где

M z

= xFy − yFx .

(5.10)

Система уравнений (5.7) в данном случае сводится к одному урав-

нению
∑ M zi = 0 .	(5.11)

i G

Пусть точка О неподвижна, а к точке O' приложена сила F (рис. 5.1а). Тогда:

если направление действия силыG составляет с направлением прямой ОO' угол 0 < α < π , то сила F вращает тело относительно т. О влево, т. е. против часовой стрелке;

если направление силыGсоставляет с направлением прямой ОO' угол −π < α′ < 0 , то сила F вращает тело относительно т. О вправо, т. е. по часовой стрелки;

если направление силы составляетG с направлениемG прямой ОO' нулевой угол или угол π , т. е. rG ↑↑ F или rG ↑↓ F , то никакого вращения не происходит.

280		Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
	x
y	G
	F	Α
		Α

rG O`Α `

	O	G
	O	F `
		F `

G		а	MG
F	Α				O`
	Α			G
				G
G	O`		O	r	Α
r	G				G
O	G				F
O	M				z
	z		x		z
	z		x

Рис. 5.1

Выберем ось Z вдоль оси вращения, например так,Gкак показаноG на рис. 5.1. Рассмотрим проекцию на ось Z момента M силы F , образующей с прямой ОO' угол α (рис. 5.1б), т. е. вращающей тело против часовой стрелкиG . Из свойств векторного произведения следует, что момент M параллелен оси Z и составляет с ней угол 0. Следовательно (4.14),

Если сила FG	M z = M cos 0 = M .	(5.12)
Если сила FG	образует с прямой ОO' угол	α′ (рис. 5.1в), т. е. вра-
	G
щает тело по часовой стрелке, то момент M параллелен оси Z и, сле-
довательно, составляет с ней угол π. Тогда
	M z = M cos π = −M .	(5.13)

Следовательно, уравнение (5.11) имеет вид

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4428 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>