Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

umm_2001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

668.37 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика»

И. Н. Пирогова О. В. Куликова Т. В. Величко

Математика

Часть III

Екатеринбург

2009

И. Н. Пирогова О. В. Куликова Т. В. Величко

Математика

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения

технических специальностей (6,5 лет обучения)

В четырех частях

Часть III

2-е издание, дополненное и исправленное

Екатеринбург

2009

УДК 517

П 33

Пирогова И.Н.

П33 Математика : учеб.-метод. пособие : в 4 ч. / И. Н. Пирогова , О. В. Куликова, Т. В. Величко.– 2-е изд. доп. и испр. – Екатеринбург : УрГУПС, 2009. –

Ч. 3.– 64 с.

Пособие предназначено для проведения занятий, а также для самостоятельной работы по математике студентов 2-го курса заочной формы обучения технических специальностей.

Содержит краткие теоретические сведения по изучаемым разделам, примеры решения задач, задания для контрольных работ и вопросы к экзамену, а также три контрольные работы по темам: ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы. Кроме того, предусмотрено приложение к данной части, которое может использоваться при изученииследующихтем: рядыФурье, операционноеисчисление, теорияполя.

Рекомендовано к печати на заседании кафедры «Высшая математика», протокол № 8

от 10. 06. 2009 г.

Авторы: И. Н. Пирогова, ст. преподаватель кафедры «Высшая математика», УрГУПС; Т. В. Величко, ст. преподаватель кафедры «Высшая математика», УрГУПС;

О. В. Куликова, доцент кафедры «Высшая математика», канд. пед. наук, УрГУПС

Рецензент: П. И. Гниломедов, доцент кафедры «Высшая математика», канд. пед. наук, УрГУПС

	Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ..........................................................................................................		3
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................		5
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ...............................................		6
I. ЧИСЛОВЫЕИСТЕПЕННЫЕРЯДЫ ...................................................................		6
1.	Числовые ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядов...............	6
2.	Числовые знакопеременные ряды.........................................................................	9
3.	Степенные ряды.....................................................................................................	11
4.	Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Их применение в приближенных
	вычислениях...........................................................................................................	13
Задания для контрольной работы № 7 ...................................................................		16
II. ФУНКЦИИДВУХПЕРЕМЕННЫХ...................................................................		19
1.	Понятие функции двух переменных, область определения.............................	19
и геометрическое изображение................................................................................		19
2.	Линии уровня функции.........................................................................................	22
3.	Дифференцирование функции.............................................................................	23
4.	Производная по направлению и градиент..........................................................	25
5.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности .............................................	28
7.	Частные производные второго порядка..............................................................	30
8.	Экстремумы функции...........................................................................................	32
9.	Наибольшее и наименьшее значения функции..................................................	36
Задания для контрольной работы № 8 ....................................................................		39
III. КРАТНЫЕИКРИВОЛИНЕЙНЫЕИНТЕГРАЛЫ ..........................................		42
1.	Понятие двойного интеграла и его свойства......................................................	42
2.	Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат................	44
3.	Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат..................	46
4.	Приложение двойного интеграла ........................................................................	48
5.	Криволинейный интеграл I рода..........................................................................	49
6.	Криволинейный интеграл II рода........................................................................	52
Задания для контрольной работы № 9 ...................................................................		56
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ...............................................................................................		60
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................................................		61
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................		61

Введение

Работа студента заочной формы обучения над курсом математики в УрГУПС предполагает самостоятельное изучение теоретического материала и выполнение практических заданий. Для этой цели служат контрольные работы, выполняемые в течение семестра.

В пособии содержатся теоретические сведения и методические указания, необходимые для выполнения контрольных работ. Здесь же указана рекомендуемая литература по каждому разделу. Вариант контрольной работы студент выбирает в соответствии с присвоенным ему шифром (номеру варианта соответствует последняя цифра шифра в зачетной книжке).

Правила выполнения контрольной работы:

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради и сдана в деканат (не забудьте указать фамилию преподавателя!). Работа должна быть отправлена не позднее 2-х недель до начала сессии.

2.Работу следует оформлять в тонкой тетради, оставляя место для исправления ошибок (желательно писать на левой странице, оставляя чистой правую). Если при проверке работы в ней обнаружены ошибки, то студент должен их исправить и отослать работу на проверку вновь.

3.Решение задач должно быть достаточно подробным и логически обоснованным. Полезно в ходе решения приводить формулы, формулировки теорем или другие теоретические сведения, на основании которых делается заключение.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

I.ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

1.Числовые ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядов

Пусть задана бесконечная последовательность чисел a1,a2 ,a3 ,...,an ,... .

∞

Выражение a1 + a2 +... + an +... = ∑аn (*) называется числовым рядом, числа

n=1

ai (i =1,2,3,...) – членами ряда.

Ряды бывают числовые и функциональные. Числовые ряды бывают знакоположительные ( все члены ряда имеют положительный знак) и знакопеременные (в частности, знакочередующиеся, в которых знаки членов ряда чере-

дуются). Например, ряд 1 + 12 + 14 + 18 +... является знакоположительным. Ряд

1 − 12 + 13 − 14 + 15 −... является знакочередующимся. Пример функционального

ряда :1 + x + x2 + x3 +...

2 3

Будем рассматривать суммы конечного числа членов числового ряда:

S1 = a1, S2 = a1 + a2 , ..., Sn = a1 + a2 +... + an ,… Частичной суммой Sn называется сумма n первых членов ряда (*). Если существует конечный предел последова-

тельности частичных сумм: lim Sn = S,			то ряд (*) называется сходящимся, а
n→∞
число S называется суммой ряда.
Если последовательность {Sn}			расходится, то ряд (*) называется
расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд (*) сходится, то lim a	n	= 0 .
n→∞	n

∞

Например, ряд ∑

сходится и lim

= 0 .

+ 2

n=1 n

n→∞ n

+ 2

Этот признак не является достаточным для сходимости ряда, т. е. ряд мо-

жет расходиться, хотя lim an = 0 . Так, например,

можно доказать, что ряд

∞

∑1

n→∞

n=1 n

расходится, хотя lim 1 = 0.

n→∞ n

Достаточный признак расходимости ряда

Если lim a

≠ 0 , то ряд расходится.

n→∞ n

∞

Например,

исследуем

на сходимость

ряд

∑

Для

этого

2n +3

n=1

1 ≠0,

используем достаточный

признак расходимости:

lim a =lim

2n +3

n→∞

поэтому ряд расходится.

Рассмотрим достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов.

Признаки сравнения

∞

Будем считать, что ряд ∑bn – эталонный, т. е. с известной сходимостью

n=1

(расходимостью). В качестве эталонных рядов берут следующие:

∞

1. ∑qn . Члены этого ряда образуют геометрическую прогрессию со зна-

n=1

менателем q . Ряд сходится при q <1 и расходится при q ≥1.

2. Гармонический ряд ∑∞ 1 – расходится.

n=1 n

3. Обобщенный гармонический ряд ∑∞ 1s . Он сходится при s > 1 и расхо-

n=1 n

дится при s ≤1.

Теорема

∞	сходится (расходится), bn ≥ 0 , и lim an =k, где k – конеч-
Если ряд ∑bn	сходится (расходится), bn ≥ 0 , и lim an =k, где k – конеч-
n=1	n→∞ b
	n

∞

ное число, отличное от нуля, то ряд ∑an , an ≥ 0 , соответственно тоже схо-

n=1

дится (расходится).

Пример

∞

n +3

Исследовать на сходимость ряд: ∑

+8n −1

n=1 n

Решение

Общий член исходного ряда имеет вид: a

n +3

. Возьмем за эта-

+8n −1

∞

лонный ряд ∑bn =

∑

. Он сходится (s = 3>1).

n=1

n=1 n

Рассмотрим lim an = lim

(n +3)n3

= lim

n4 +3n3

. Для вычисления

(n4 +8n −1)

n→∞ bn n→∞

n→∞ n4 +8n −

этого предела разделим числитель и знаменатель полученной дроби на n4 (выбирается наибольший показатель степени многочленов числителя и знаменате-

ля). Получим

lim

= lim

1 + n

. Используя теоремы о пределах, найдем,

n→∞ bn n→∞

1 + n3

− n4

∞

что lim n

=1. Так как ряд

∑

сходится, то сходится и исходный ряд.

n→∞ b

n=1

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный ряд: a1 + a2 +... + an +... . Тогда, если су-

ществует

lim an+1 = L , то при L < 1 ряд сходится, а при L > 1 ряд расходится.

n→∞

Если L = 1 , то вопрос о сходимости ряда надо решать другими методами.

Пример

Исследовать на сходимость ряд ∑∞ nn .

n=1 2

Решение

Используем признак Даламбера. Имеем a =

n+1

n +1

. Вычислим

2n+1

(n +1) 2n

n +1

предел lim

n+1

= lim

n+1

= lim

<1,

тогда по признаку

n 2

n→∞

n→∞ n 2

n→∞

Даламбера данный ряд сходится.

2. Числовые знакопеременные ряды

Рассмотрим ряды, члены которых могут быть числами положительными, отрицательными и равными нулю. Такие ряды называются знакопеременными.

Теорема

∞

Пусть дан ряд ∑un , где un имеет произвольный знак. Тогда, если схо-

n=1

∞

дится ряд ∑un , то сходится и исходный ряд. При этом говорят, что ряд

n=1

∞

∑un сходится абсолютно.

n=1

Если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Частнымслучаемзнакопеременногорядаявляетсязнакочередующийсяряд:

∞

∑(−1)n+1un =u1 −u2 +u3 −u4 +... + (−1)n+1un +..., где un > 0 .

n=1

Признак Лейбница

∞

Если в знакочередующемся ряде ∑(−1)n+1un , абсолютные величины его

n=1

членов убывают u1 >u2 >... >un >... и общий член ряда стремится к нулю при

n →∞ (n неограниченно возрастает): limun = 0 , то данный ряд сходится.

n→∞

Пример

∞			n + 2
Исследовать сходимость ряда: ∑(−1)n+1				.
	n	2	+5n +9
n=1

Решение

Покажем, что для данного ряда условия признака Лейбница выполнены.

Имеем

n + 2

n+1

n +3

. Проверим, что

+5n +9

(n +1)2

+5(n +1) +9

+7n +15

n+1

для всех n: n ≥1

n + 2

n +3

. Решая это неравенство, мы

n2 +5n +9

n2 + 7n +15

получим

более простое

неравенство:

n2 +5n +3 > 0 .

Последнее неравенство

справедливо для всех n: n ≥1, значит исходное неравенство также справедливо.

Кроме

того,

lim

n + 2

= lim

= 0 ,

и,

следовательно,

ряд

+5n +9

n→∞ n2

∞

n + 2

∑(−1)n+1

сходится.

+5n +9

n=1

Далее следует продолжить исследование и ответить на вопрос о характе-

ре сходимости

ряда.

Для

этого необходимо изучить сходимость

ряда

∞

n + 2

∑n=1

, составленного из абсолютных величин.

n2 +5n +9

Применим

признак сравнения. За эталонный следует взять

гармониче-

∞

1 .

n + 2

= 1 ,

ский

расходящийся

ряд

∑

Тогда,

un =

+5n +9

n=1

lim

= lim

(n + 2)n

= lim

n2 + 2n

= lim

1 + n

=1. Предел

равен 1, а

5 9

n→∞ vn

n→∞ n2 +5n +

n→∞ n2

+5n

n→∞

+ n + n2

∞

n + 2

эталонный ряд расходится. Поэтому ряд

∑

расходится. Следова-

+5n +

n=1

∞

n + 2

тельно, исходный ряд ∑(−1)n+1

сходится условно.

+5n +9

n=1

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.20152.78 Mб31umm_1926.pdf
#
18.03.20161.26 Mб25umm_1939.pdf
#
17.05.2015514.12 Кб33umm_1943.pdf
#
17.05.2015497.53 Кб25umm_1949.pdf
#
17.05.2015768.44 Кб12umm_1974.pdf
#
17.05.2015668.37 Кб20umm_2001.pdf
#
17.05.2015515.7 Кб13umm_201.pdf
#
17.05.2015232.13 Кб27umm_2220.pdf
#
17.05.20151.66 Mб291umm_2299.pdf
#
17.05.2015764.79 Кб31umm_2364.pdf
#
18.03.2016546.73 Кб933umm_2429.pdf