umm_2001

Таким образом, областью определения данной функции будет множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств (*) и (**). На рис. 1 область определения закрашена более темным цветом.

Пример 2

Найдите область определения функции двух переменных z(x, y) = arcsin x + arccos y .

Решение

Областью определения функции z(x; y) = arcsin x + arccos y является мно-

жество точек плоскости Оху, значения координат которых удовлетворяют системе неравенств:

Решения неравенства (*) изображаются на чертеже точками, лежащими на прямых x = −1 и x =1 и между ними, а решением неравенства (**) – точками плоскости Оху, лежащими на прямых y = −1 и y =1 и между ними (рис. 2).

Геометрически область определения функции будет изображаться точками, принадлежащими одновременно горизонтальной и вертикальной полосе. Это будет квадрат. Область определения замкнутая, так как включает в себя точки границы. На рис. 2 она закрашена более темным цветом.

Рис. 2 21

2. Линии уровня функции

Линии на плоскости Оху вида f(x; y) = С называются линиями уровня функции двух переменных z = f (x; y) .

Построение линий уровня, соответствующих различным значениям постоянной величины С, позволяет увидеть характер поверхности, заданной исследуемой функцией.

Сгущение линий уровня означает более быстрое изменение значений функции. Редкое расположение линий уровня характеризует пологую поверхность (значения функции изменяются медленно).

Линии равных высот на физической карте – это пример линий уровня.

Пример 1

Найдите линии уровня функции z = f (x; y) = ex+y .

Решение

Линии уровня функции z(x; y) = ex+y – это семейство кривых на плоско-

сти Оху, описываемое уравнением C = ex+y . Представим это уравнение в другой форме, выполнив следующие преобразования:

C = ex+y ln C = ln ex+y ln C = x + y.

Пусть ln C =C* , тогда y =C* − x (семейство прямых линий) (рис. 3.).

Рис. 3

22

приращением функции z = f (x; y) .

плоскости Oxz, касательная l2 параллельна плоскости Oуz) (рис. 5).

Значения частных производных z′x и z′y в точке М0 (x0 ; y0 ) соответственно равны z′x =tgα и z′y =tgβ.

Частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении у, поэтому ее находят по правилам вычисления производных функций одной переменной (аналогично рассматривается и частная производная по переменной у).

Рис. 5. Геометрический смысл производных z′x и z′y

24

Примеры

Найти частные производные функций двух переменных z = f (x; y) :

4. Производная по направлению и градиент

Пусть функция z = f (x; y) определена в окрестности точки М0(х0; у0). Рас-

смотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором er, с коорди-

25

натами cos α, cosβ, где α, β – углы этого вектора с осями Ох, Оy. Проведем через точку М0 ось l , направление которой совпадает с направлением вектора e , возьмем на этой оси произвольную точку M (x; y) и обозначим через l величину на-

производную по переменной l , то эта производная называется производной по направлению l от функции z = f (x; y) в точке М0(х0;у0) и обозначается симво-

лом ∂∂zl . Эта производная может быть вычислена по формуле

∂∂zl = ∂∂xz cos α + ∂∂yz cosβ.

Производная zl′(x; y) характеризует скорость изменения функции в на-

правлении l.

Пример

Вычислить производную функции z(x; y) =5x4 −3x − y −1 в точке

uuur

М(2; 1) по направлению вектора MN , где N(5; 5).

Решение

Нахождение производной zl′(x; y) по направлению MN согласно формуле zl′(x; y) = z′x cos α + z′y cosβ связано с определением частных производных z′x ,

26

cosβ = uuuury = 4 .

MN 5

uuur

Вычислим производную zl′(x; y) по направлению MN в точке М(2; 1): zl′(2;1) = z′x (2;1) cosα + z′y (2;1) cosβ =157 53 + (−1) 54 = 4675 = 93,4 .

Градиентом функции z = f (x, y) в точке M0 называется вектор, обозна-

чаемый символом gradz и имеющий координаты, соответственно равные про-

Производная по направлению zl′ равна скалярному произведению гради-

ента gradz и единичного вектора, задающего направление l, ∂∂zl = (gradz, l).

Градиент функции gradz в данной точке характеризует направление максимальной скорости возрастания функции в этой точке.

Если в точке M(x; y) модуль градиента функции отличен от нуля, то в точке M(x; y) градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Пример

Найти градиент gradz функции z(x; y) = x ln(x + y) и его модуль в точке

М(-1; 2).

Решение

Координаты вектора gradz можно найти, если вычислить значения частных производных z′x и z′y в точке М(-1; 2):

27

Градиент функции gradz = {−1; −1} в точке М(-1; 2) перпендикулярен ли-

нии уровня, которая проходит через данную точку. Направление максимально быстрого возрастания функции z = f (x; y) и направление градиента в точке

М(-1; 2) совпадают.

Модуль градиента функции gradz = {−1; −1} в точке М(-1; 2) – это длина

рой линии z0 ( y) , уравнение которой получается подстановкой в выражение ис-

ходной функции z = f (x; y) вместо х числа х0. Точка M0 (x0 ; y0 ; f (x0 ; y0 )) при-

надлежит кривой z0 ( y) . В силу дифференцируемости функции z в точке М0

функция z0 ( y) также является дифференцируемой в точке y = y0 . Следователь-

но, в этой точке в плоскости x = x0 к кривой z0 ( y) может быть проведена каса-

тельная l1.

Проводя аналогичные рассуждения для сечения y = y0 , построим каса-

тельную l2 к кривой z0 (x) в точке x = x0 . Прямые l1 и l2 определяют плоскость

(P) , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М0

(рис. 6).

28

После преобразований это уравнение можно записать следующим обра-

зом: z − z0 = fx′(x0 ; y0 ) (x − x0 )+ fy′(x0 ; y0 ) (y − y0 ).

Прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется нормалью к по-

верхности в точке М0.

Уравнения нормали имеет вид:

Если функция z = f (x; y) задана неявно уравнением F(x, y, z) = 0 , то уравнения касательной плоскости к данной поверхности и нормали к ней в точке М0 будут иметь вид:

Fx′(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 ,

29

Пример

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z(x; y) =sin xy в точке М(π; 1; 0).

Уравнение касательной плоскости в точке М(π ; 1; 0): z −0 = −1(x −π) + π( y −1) x −πy + z = 0.

Канонические уравнения нормали в точке М(π; 1; 0): x−−1π = yπ−1 = −z1

или x −1 π = y−π−1 = 1z .

7. Частные производные второго порядка

Частная производная от частной производной функции z = f (x; y) назы-

вается частной производной второго порядка. Приняты следующие обозначе-

ния для частных производных второго порядка:

зультат затем дифференцируется по у;

30