umm_2001

421-430. Найти градиент функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 ; y0 ) и произ-

водную в направлении, идущем от этой точки к точке M1(x1; y1) :

431-440. Найти экстремум функции:

431.z = x3 − 2 y2 −3x +6 y +1.

432.z = x3 − 2x − 4 y3 +12 y −1.

433.z = x2 − 2x − 4 y3 +12 y .

434.z = x3 +3y3 −9x −9 y2 +16 .

435.z = x3 + y2 −6xy −39x +18y + 20.

436.z = 2x3 + 2 y3 −6xy +5 .

437.z = x3 +3xy2 −15x −12 y +1.

438.z = x3 +8y3 −6xy +1.

439.z = 2x3 − 2 y2 −6x + 4 y +1.

440.z = x2 − 2x −4 y3 +12 y +5 .

441-450. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в заданной области:

41

n

чим через si , причем ∑ si равна площади области D (см. рис. 8). В каждой

i=1

площадке выберем произвольную точку Pi (xi ; yi ) и найдем значение функции z

n

в ней: zi = f (xi ; yi ) . Составим интегральную сумму вида: ∑ f (xi ; yi ) si . Если

i=1

существует предел этой суммы при условии, что каждая из элементарных площадок стягивается в точку и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные области, ни от способа выбора в них точ-

киPi (xi ; yi ) , то он называется двойным интегралом от функции f (x, y) по об-

ласти D и обозначается ∫∫ f (x, y)ds . Таким образом,

Геометрический смысл двойного интеграла состоит в том, что величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела, основанием которого служит область D, а сверху тело ограничено поверхностью z = f (x; y) .

Рис. 8. Область интегрирования функции f (x;y)

Свойства двойного интеграла идентичны свойствам определенного интеграла:

1) постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за

знак интеграла ∫∫сf (x; y)ds = c∫∫ f (x; y)ds ;

D D

43

2) интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

∫∫( f (x; y)+ g(x; y))ds = ∫∫ f (x; y)ds + ∫∫g(x; y)ds ;

D D D

3)если подынтегральная функция равна единице, то интеграл равен площади области интегрирования ∫∫ds = SD ;

D

4) если область интегрирования D разбита на две части D1 и D2 , то

∫∫ f (x; y)ds = ∫∫ f (x; y)ds + ∫∫ f (x; y)ds .

2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Рассмотрим, как вычисляется двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к вычислению повторного интеграла по области интегрирования. Если область D ограничена линиями x = a; x =b; y = φ1(x); y = φ2 (x) , причем φ1(x) ≤ φ2 (x) , то интеграл будет ра-

теграл, считая x постоянной, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b . Если же об-

внутреннего интеграла здесь считаем переменную y постоянной.

Пример 1

Вычислить ∫∫(x + 2 y)dxdy , где область D ограничена линиями

D

y = x2 , y = 0, x + y − 2 = 0.

44

Решение

На рис. 9 изобразим область интегрирования

Рис. 9 Из рисунка видно, что наш интеграл можно вычислить двумя способами,

взяв постоянные пределы интегрирования либо по х, либо по y.

1 способ. Если постоянный предел интегрирования взят по x , то область интегрирования надо разбить на две части: от 0 до 1 и от 1 до 2. Тогда

2 способ. Возьмем внешние пределы интегрирования по y. Тогда интеграл примет вид:

45

Как следует из свойств двойного интеграла, с его помощью можно вы-

числить площадь плоской фигуры по формуле S = ∫∫dxdy .

D

Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом x2 + y2 =1, x ≥ 0, y ≥ 0 . 4

Решение

Область интегрирования, площадь которой мы ищем, изобразим на рис. 10 и определим внешние пределы интегрирования по x .

Рис. 10

ππ

3. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Часто вычисление двойного интеграла удобнее выполнять в полярной системе координат. Напомним связь полярных и декартовых координат точки.

46

Она задается формулами x =ρcosφ, y =ρsin φ. Пусть область D ограничена лучами φ = α и φ =β и кривыми ρ =ρ1(φ) и ρ =ρ2 (φ) . Тогда двойной интеграл

примет вид : ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρcosφ,ρsin φ)ρdρdφ.

D D

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к повторному интегралу:

При нахождении внутреннего интеграла аргументφ считается постоян-

ным.

Пример

Вычислить ∫∫ 9 − x2 − y2 dxdy , где область D – круг x2 + y2 ≤9.

Решение

Переход к полярным координатам можно осуществить следующим образом:

= ∫∫ρ 9 −ρ2 dρ dφ.

D

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами

0 ≤ φ≤ 2π, 0 ≤ρ≤3 (см. рис. 11).

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат:

47