umm_2001
.pdf∂ |
|
∂z |
|
= z′′yx |
= fyx′′(x; y) – функция сначала дифференцируется по у, а ре- |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
∂x |
∂y |
|
|
зультат затем дифференцируется по х;
∂ ∂z = z′′yy = fyy′′(x; y) – функция дифференцируется по у последователь-
∂y ∂y
но два раза.
Частные производные второго порядка z′xy′ и z′yx′ (смешанные частные производные) не зависят от порядка дифференцирования z′xy′ = z′′yx при условии,
что они непрерывны.
Пример
Найти частные производные второго порядка от функции z(x, y) = x4 y2 + x2 y −3xy − 2 y .
Решение
Первоначально находим частные производные z′x и z′y : z′x = ∂∂x (x4 y2 + x2 y −3xy − 2 y)= 4x3 y2 + 2xy −3y , z′y = ∂∂y (x4 y2 + x2 y −3xy − 2 y)= 2x4 y + x2 −3x − 2 .
Последовательно находим частные производные второго порядка: z′′xx = ∂∂x (4x3 y2 + 2xy −3y)=12x2 y2 + 2 y ,
z′′xy = ∂∂y (4x3 y2 + 2xy −3y)=8x3 y + 2x −3, z′′yx = ∂∂x (2x4 y + x2 −3x − 2)=8x3 y + 2x −3, z′′yy = ∂∂y (2x4 y + x2 −3x − 2)= 2x4 .
31
На данном примере видно, что z′xy′ = z′yx′ , поэтому в дальнейшем достаточ-
но вместо двух найти только одну смешанную частную производную второго порядка.
8. Экстремумы функции
Точка P0 (x0 ; y0 ) называется точкой максимума функции z = f (x; y) , а
значение функции в ней z0 = f (x0 ; y0 ) – максимумом, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P (x ; y ) из этой окрестности, от-
личных от P0 (x0 ; y0 ) , выполняется неравенство f (x, y) < f (x0 , y0 ) .
Точка P0 (x0 ; y0 ) называется точкой минимума функции z = f (x; y) , а
значение функции в ней z0 = f (x0 ; y0 ) – минимумом, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P (x ; y ) из этой окрестности, от-
личных от P0 ( x0 ; y0 ) , выполняется неравенство f (x, y) > f (x0 , y0 ) . Точки мак-
симума и точки минимума называются точками экстремума функции. Точка, в которой обе частные производные равны нулю, т. е.,
∂z |
= 0, |
∂z |
= 0 называется стационарной точкой функции z = f ( x; y) . |
∂x |
|
∂y |
|
Пусть z = f (x, y) дифференцируема по x и по y в области определения,
то тогда равенство частных производных нулю является необходимым услови-
ем экстремума функции двух переменных.
Теорема (достаточное условие экстремума)
Функция двух переменных z = f (x; y) имеет экстремум в стационарной точке (x0 ; y0 ) , если она определена в некоторой окрестности этой точки, имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка z′′xx (x0 ; y0 ) , z′′xy (x0 ; y0 ) , z′′yy (x0 ; y0 ) и определитель второго порядка, составленный из этих
частных производных положителен: z′′′′xx (x0 ; y0 ) z′′′′xy (x0 ; y0 ) > 0 . zxy (x0 ; y0 ) zyy (x0 ; y0 )
Точка экстремума (x0 ; y0 ) функции двух переменных z = f (x, y) будет
точкой максимума, если z′′xx (x0 ; y0 ) < 0 , и точкой минимума, если z′′xx (x0 ; y0 ) > 0 . 32
Если |
|
z′′xx (x0 ; y0 ) |
z′′xy (x0 ; y0 ) |
|
|
< 0 , то функция z = f (x, y) экстремума в точ- |
|||
|
|
||||||||
|
z′′xy (x0 ; y0 ) z′′yy (x0 ; y0 ) |
|
|
||||||
ке (x0;y0) не имеет. |
|
|
|
|
|
||||
Если |
|
|
|
z′′xx (x0 ; y0 ) |
z′′xy (x0 ; y0 ) |
|
= 0 , то вопрос об экстремуме в точке (x0;y0) |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
z′′xy (x0 ; y0 ) |
z′′yy (x0 ; y0 ) |
|
остается открытым.
Схема исследования функции z (x; y) на экстремум
1. Нахождение стационарных точек
1.1. Найти частные производные z′x и z′y функции z(x; y).
1.2. Решить систему уравнений z′x = 0,
z′y = 0.
2. Проверить условия теоремы о достаточном условии экстремума в каждой стационарной точке
2.1. Найти частные производные второго порядка z′xx′ , z′′yy , z′′xy функции
z(x; y).
2.2. Определить значения частных производных второго порядка z′xx′ , z′yy′ , z′′xy в стационарной точке (x0 ; y0 ) .
2.3. Вычислить определитель = |
|
z′′xx (x0 ; y0 ) |
z′′xy (x0 ; y0 ) |
|
. |
|
|
||||
|
z′′xy (x0 ; y0 ) |
z′′yy (x0 ; y0 ) |
|
2.4. Сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума в каждой точке, выяснить, максимум или минимум в точке экстремума и найти значение функции в них.
Пример 1
x
Исследовать на экстремум функцию z(x, y) = e2 (x + y2 ) .
Решение
1. Найдем частные производные z′x и z′y функции z(x; y).
33
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
z′x = |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x + y2 ) |
|
|
|
1 e2 |
(x + y2 |
+ 2). |
||||||||
e2 (x + y2 ) |
= e2 |
+ e2 1 = |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z′y = |
∂ |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
e2 (x + y2 ) |
= e2 2 y = 2 ye2 . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Решим систему уравнений z′′x = 0,
zy = 0.
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
e2 (x + y |
|
+ 2) = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y2 + 2 = |
0 |
x = −2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
y = 0 |
|
|
||||||||||||||
|
2 ye2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Стационарная точка имеет координаты (-2; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Находимчастныепроизводныевторогопорядка z′xx′ |
, |
|
z′yy′ , z′xy′ |
функцииz (x; y). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z′′ |
= |
|
|
|
|
(z′)= |
|
|
|
|
|
|
|
e2 (x + y |
|
+ 2) = |
|
|
|
e2 |
(x + y |
|
+ 2)+ e2 1 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂x |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 1 e |
x |
(x + y2 + 2 + 2)= |
1 e |
|
x |
(x + y2 + 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
z′′yy = |
|
∂ |
|
(z′y )= |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ye2 |
= 2e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z′′xy = z′′yx |
|
|
|
|
∂ |
|
(z′y ) |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
2 ye2 |
= 2 ye2 |
= ye2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. Определим значения частных производных z′xx′ , |
z′yy′ , z′xy′ |
|
функции z(x; y) в ста- |
ционарной точке (-2; 0).
z′′xx (−2;0) = 14 e−22 (−2 + 0 + 4) = 42e = 21e ;
z′′yy (−2;0) = 2 e−22 |
= 2 ; |
z′xy′ (−2;0) = 0. |
||||
|
|
|
e |
|
|
|
5. Вычислим определитель = |
|
z′′xx (x0 ; y0 ) z′′xy (x0 ; y0 ) |
|
. |
||
|
|
|||||
|
z′′xy (x0 ; y0 ) |
z′′yy (x0 ; y0 ) |
|
34
|
z′′xx (−2;0) |
z′′xy (−2;0) |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
= |
= |
|
2e |
= |
> 0 , |
следовательно, в стационар- |
||||||||
|
|
|||||||||||||
z′′xy (−2;0) |
z′′yy (−2;0) |
2 |
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
e2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной точке (-2;0) экстремум есть. Так как |
z′′xx (−2;0)= |
1 |
> 0 |
, то точка (−2;0) – |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
точка минимума. Значение минимума |
функции |
в |
точке |
экстремума равно |
||||||||||
zmin (−2;0) = e−22 |
(−2 + 0) = − 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e
Пример 2
Исследовать на экстремум функцию z(x, y) = x3 + y3 − x2 − 2xy − y2 .
Решение
1. Находим частные производные z′x и z′y функции z(x; y).
z′x = |
∂ |
(x3 + y3 − x2 − 2xy − y2 )= 3x2 − 2x − 2 y. |
|||
∂x |
|||||
|
|
|
|||
z′y |
= |
|
∂ |
(x3 + y3 − x2 − 2xy − y2 )= 3y2 − 2x − 2 y. |
|
∂y |
|||||
|
|
|
2. Решим систему уравнений z′x = 0,
z′y = 0.
|
2 |
− 2x − 2 y = 0 |
|
|
2 |
= 2x + 2 y |
|
|
|
x = y |
|
||||
3x |
|
3x |
|
|
x2 = y2 |
|
|||||||||
|
|
− 2x − 2 y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3y2 |
3y2 = 2x + 2 y |
|
|
|
x = −y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 4x |
|
x = 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x = y |
y = 0 |
|
4 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
y = −x |
|
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
3x |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
; |
4 |
|
Стационарные точки имеют координаты (0; 0) и |
3 |
3 |
. |
|
|
|
|
||
3. Находим частные производные второго порядка |
|
z′xx′ , |
z′′yy , z′′xy функции |
z (x; y).
35
|
|
|
|
z′′xx |
= |
∂ |
(z′x ) |
= |
|
∂ |
|
(3x2 − 2x − 2 y)= 6x − 2. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z′′yy = |
∂ |
(z′y )= |
|
|
∂ |
|
(3y2 − 2x − 2 y)= 6 y − 2. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z′′xy = z′′yx |
= |
|
∂ |
(z′y ) |
= |
|
∂ |
|
|
(3y2 − 2x −2 y)= −2. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Находим значения частных производных z′xx′ , z′yy′ , z′′xy в стационарных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
точках. В точке (0; 0) имеем : |
|
|
|
z′xx′ |
|
= 6 0 −2 = −2 , |
z′yy′ |
= 6 0 − 2 = −2 , z′′xy = −2. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
; |
4 |
z′′xx |
= 6 |
|
|
4 |
|
− 2 = 6 , z′′yy = 6 |
4 |
− 2 = 6 |
, z′′xy = −2. |
||||||||||||||||||
Для точки |
3 |
|
: |
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Вычислим определитель |
|
|
|
|
|
= |
|
z′′xx (x0 ; y0 ) |
z′′xy (x0 ; y0 ) |
|
|
для каждой стацио- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z′′xy (x0 ; y0 ) |
z′′yy (x0 ; y0 ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
нарной точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
= |
|
z′′xx (0;0) |
|
z′′xy (0;0) |
|
= |
|
−2 |
|
−2 |
|
= 4 − 4 |
= 0 , |
|
следовательно, в стацио- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z′′xy (0;0) |
|
z′′yy (0;0) |
|
|
−2 |
|
−2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нарной точке (0; 0) ничего нельзя сказать об экстремуме, требуется дополнительное исследование.
|
|
z′′xx ( |
4 |
|
4 |
z′′xy ( |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2) |
= |
3 |
; |
3) |
3 |
; |
3) |
= |
|
6 |
−2 |
|
=36 − 4 = 32 > 0 , следовательно, в |
||
|
|
||||||||||||||
|
|
z′′xy ( |
4 |
|
4 |
z′′yy ( |
4 |
|
4 |
|
|
−2 |
6 |
|
|
|
|
3 |
; |
3) |
3 |
; |
3) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
; |
4 |
|
z′xx′ |
= 6 > 0 – это точка миниму- |
||
точке |
3 |
3 |
есть экстремум, причем, так как |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
ма. Найдем значение минимума функции zmin = z( |
4 ; |
4) = − |
64 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
27 |
9. Наибольшее и наименьшее значения функции |
|
|||||||
Пусть |
функция z = f (x; y) определена и |
|
непрерывна в ограниченной |
замкнутой области D . Найдем точки области D , в которых функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
36
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифферен-
цируемой в замкнутой ограниченной области D функции z = f (x; y) состоит в
следующем:
1.Найти все стационарные точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них.
2.Найти значения функции z = f (x; y) в вершинах D .
3.Найти значения функции z = f (x; y) в критических точках границы их
области.
4. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x; y) = x2 + y2 − xy + x + y в замкнутой области, заданной системой неравенств
x ≤ 0;y ≤ 0;
2x +3y + 6 ≥ 0.
Решение
1. Найдем стационарные точки из системы уравнений:
|
∂ |
|
(x |
2 |
|
2 |
− xy + x + y)= 2x − y +1 |
|
|
z′x = |
|
|
|
+ y |
|
= 0; |
|
||
∂x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
(x |
|
|
|
− xy + x + y)= 2 y − x +1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
z′y = |
|
|
|
+ y |
|
= 0. |
|
||
∂y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система имеет единственное решение (-1;-1). |
Стационарная точка |
М(-1;-1) лежит внутри области (область изображена на рис.7). Найдем значение функции в ней: z1 = f (−1;−1) = −1.
2. Исследуем поведение функции на границе области. Для этого разобьем границу на три отрезка АО, ОВ, АВ. На отрезке АО имеем:
y = 0, −3 ≤ x ≤ 0, z = x2 + x . Найдем значения функции на концах отрезка [−3;0] в точках A(−3;0) и O(0;0) . Получим z2 = f (−3;0) = 6, z3 = f (0;0) = 0 . Теперь попробуем найти стационарную точку на этом отрезке. Для этого найдем про-
37
изводную zx′ = 2x +1 и приравняем ее к нулю, получим |
x = − |
1 |
. Точка |
|
− |
1 |
;0 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
лежит |
|
внутри |
отрезка AO . Значение функции в этой точке будет |
|||||||
z4 = f |
|
− |
1 |
;0 |
|
= − |
1 |
. Перейдем к отрезку |
BO . |
|
|
2 |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7
Здесь x = 0, − 2 ≤ y ≤ 0, z = y2 + y . Вычислим значение функции в точке
B(0;−2) . Получим z5 = f (0;−2) = 2 . При y = 0 значение функции вычислено ра-
нее.
Попробуем найти стационарную точку функции z = y2 + y , лежащую
внутри отрезка OB . Для этого найдем z′y = 2 y +1 и приравняем ее к нулю, по-
лучим |
y = − |
1 |
. Точка |
|
0; |
− |
1 |
|
лежит внутри отрезка OB . Значение функции в |
||||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ней z6 |
|
0; |
− |
1 |
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||
= f |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим поведение функции z на отрезке AB . Значения функции на концах отрезка (в точках А и В) вычислены ранее. Найдем стационарную точку, лежащую внутри этого отрезка. Для этого из уравнения прямой AB
38
2x +3y + 6 = 0 выразим у: y = −2 x − 2 . Подставим найденное |
у в функцию |
|
3 |
|
|
z = x2 + y2 − xy + x + y . Получим z =19 x2 |
+5x + 2 и найдем стационарную точ- |
|
9 |
|
|
ку этой функции при условии, что −3 ≤ x ≤ 0 . Имеем: z′x = 38 x +5 |
= 0 , x = −45 . |
|
|
9 |
38 |
Таким образом, стационарная точка, лежащая внутри отрезка АВ, имеет коор-
|
− |
45 |
;− |
46 |
|
. Значение функции в ней z7 |
= |
|
− |
45 |
;− |
46 |
|
= − |
73 |
. |
динаты |
38 |
38 |
|
f |
38 |
38 |
|
76 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Сравнивая все найденные значения функции z1, z2 ,...z7 , делаем вывод,
что в заданной области функция z принимает наименьшее значение (-1) в точке M (−1;−1) . Наибольшее значение, равное 6, функция принимает в точке
A(−3;0) .
Задания для контрольной работы № 8
391-400. Найти область определения функции:
391. |
z = 4 − x2 − y2 + |
x2 + y2 − 2 . |
392. |
z = ln(x2 + 4 y) + |
xy . |
393.z = x2 + y2 − 4 −ln (x − y) .
394.z = x + ln xy −+11 .
395. |
z = |
x2 − 4 + |
y2 − 4 . |
|
396. |
z = |
6 − x2 − y2 + |
x2 + y2 − 4 . |
|
397. |
z = ln(x2 −6 y) + |
xy . |
||
398. |
z = |
x2 −9 + |
9 − y2 . |
|
399. |
z = |
9 − x2 − y2 + |
x2 + y2 −5 . |
|
350. |
z = ln(x2 + 6 y) + |
x + y . |
39
401-410. Найти частные производные |
∂z |
, |
∂z : |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|||
401. |
z = ex cos y . |
|
|
|
|
402. z = ln(x3 + 2 y2 ) + cos x . |
||||||||||||||||||
403. |
z = y(x +1)7 + ln x . |
404. z = |
x3 + 2xy |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||
405. |
z =5y |
+tg(3x2 + y2 ) . |
406. z = ln(x |
2 − |
y |
) . |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
||
407. |
z = 3 |
x3 + 2xy . |
|
408. z = ctg(4 − xy3 ) . |
||||||||||||||||||||
409. |
z = |
|
|
|
|
x |
|
|
. |
|
|
410. z = arcsin(2xy − y2 ) . |
||||||||||||
|
|
4xy + y2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
411-420. |
|
|
Составить уравнение касательной плоскости и уравнения |
|||||||||||||||||||||
нормали в точке M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
к поверхности |
z = f (x, y) : |
||||||||||||||||||||||
411. |
z = |
|
6 − x2 − y2 , |
|
М0(1,1,2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
412. |
z = |
x2 |
+ |
|
y2 |
, |
|
|
|
|
М0(2,3,2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
413. |
z = |
x2 |
− |
|
y2 |
, |
|
|
|
|
М0(2,1, |
8 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
414. |
z =16 − 2x2 −3y2 |
, |
М0(1;2;2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
415. |
z = |
|
9 − x2 − y2 , |
М0(2;1;2). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
416. |
z = 2x2 + y2 +5 , |
|
М0(1;1;8). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
417. |
z = 25 −5x2 − 4 y2 , |
М0(-2;1;1). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
418. |
z =10 − x2 − 2 y2 |
, |
М0(2;2;-2). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
419. |
z = 7 + x2 +3y2 , |
|
М0(1;1;11). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
420. |
z = |
|
1 − |
|
x2 |
|
− |
|
y2 |
|
, |
М0(2;0; |
3 |
). |
|
|
|
|
|
|||||
|
16 |
|
25 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40