umm_2001

Замечание

Большое практическое значение имеет свойство знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница: для знакочередующегося ряда его сумма не превышает по абсолютной величине первого члена ряда S ≤u1 , а Rn ≤un+1 , где Rn – остаток ряда и Rn = S − Sn , un+1 – абсолютная величина первого из отброшенных членов ряда.

Сформулируем основные положения, которые позволяют решить вопросы о сходимости знакочередующихся рядов.

Правило исследования знакочередующегося ряда:

∞

1) ряд ∑(−1)n+1un , un > 0 (*) исследуется по признаку Лейбница;

n=1

3. Степенные ряды

Напомним, что ряды бывают числовые и функциональные. Мы будем рассматривать только частный вид функционального ряда, который называется степенным рядом. Дадим определение.

+∞

Ряд вида a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +...= ∑аn (x − x0 )n (*),

n=0

где a0 ,a1,a2 ,..., an ,...– постоянные коэффициенты, называется степенным рядом.

11

Когда говорят о степенном ряде, то исследуют область сходимости данного ряда, т. е. находят те значения x , при которых ряд сходится.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (**) сходится при x=x0, то он будет сходиться для всех x таких, что x < x0 . Если степенной ряд (**) расходится при x=x0, то он будет расходиться при любом x: x > x0 .

Теорема об интервале сходимости

Для любого степенного ряда вида (**) существует интервал (−R, R) , та-

кой, что во всех точках этого интервала ряд сходится абсолютно, а в точках,

для которых x > R , ряд расходится.

Симметричный относительно начала координат интервал (−R, R) назы-

вают интервалом сходимости степенного ряда, R – радиусом сходимости. Область сходимости степенного ряда – это интервал сходимости (−R, R) с

возможным присоединением концевых точек.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти с помощью признака Даламбера.

В точках x = R, x = –R ряд может как сходиться, так и расходиться. Поэтому, чтобы уточнить область сходимости степенного ряда следует дополнительно исследовать сходимость на концах интервала сходимости.

Пример

12

Ряды Тейлора можно использовать для приближенных вычислений значений функций, определенных интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.

Запишем ряды Маклорена для некоторых элементарных функций и области сходимости этих рядов:

f(x) = c0 + c1x + c2 x2 +... + cn xn +..., сходящийся в некотором интервале (−R; R),

иесли отрезок[a;b] принадлежит этому интервалу, то имеет место равенство

Поэтому для вычисления данного интеграла с заданной степенью точно-

сти достаточно найти сумму числового ряда, стоящего в правой части послед-

него равенства, с заданной точностью. Рассмотрим на конкретном примере

применение рядов Маклорена для приближенного вычисления интегралов.

14

Пример

Вычислить с точностью 10−2 интеграл ∫1 e−x2 dx .

0

Решение

Используя разложение в ряд функции ex и заменив x на (−x2 ) , запишем ряд Маклорена для нашей подынтегральной функции:

=1 −0,333 + 0,1 −0,024 + 0,005 −...

Так как пятый член знакочередующегося числового ряда меньше заданной точности, т. е. 0,005 < 0,01, то достаточно оставить 4 слагаемых.

В итоге с точностью до 10−2 получим

∫1 e−x2 dx ≈1 −0,333 + 0,1 −0,024 = 0,74.

0

Часто в задачах прикладного характера приходится рассматривать дифференциальные уравнения, решения которых не являются элементарными функциями или не находятся известными методами. Тогда решения находят в виде разложения функции в степенной ряд. Рассмотрим метод последователь-

ного дифференцирования.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y′= f (x, y) , удовлетворяющее начальным условиям y(x0 ) = y0 . Обозна-

чим через y(x) это решение. Представим искомое решение в виде ряда Тейлора

15

Начальные условия определяют первый из коэффициентов ряда y(x0 ) = y0 .

Подставив в правую часть уравнения x = x0 , найдем y′(x0 ) = f (x0 , y0 ) . Для оты-

Пример

Представить в виде степенного ряда решение дифференциального урав-

нения y′ =3xy −e2 x , удовлетворяющее начальным условиям y(0) =1, взяв пер-

вые четыре ненулевых члена ряда.

Решение

Запишем решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда,

Задания для контрольной работы № 7

341-350. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд.

16

351-360. Исследовать на условную и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд.

361-370. Найти область сходимости степенного ряда.

17

371-380. Вычислить определенный интеграл с точностью до 10−3 .

381-390. Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (для уравнения первого порядка найти четыре ненулевых члена ряда, для уравнения второго порядка – пять членов).

18

II. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Понятие функции двух переменных, область определения и геометрическое изображение

Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой упорядоченной паре чисел (x; y) из некоторого множества пар D по определенному правилу поставлено в соответствие единственное значение переменной z. При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – функцией. Обозначение функциональной зависимости между x, y и z имеет вид: z = f (x; y) .

Графиком функции z = f (x; y) двух переменных называется множество точек пространства, координаты которых имеют вид: (x; y; z), где x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата.

Впрямоугольной декартовой системе координат Oxyz графиком является

вобщем случае поверхность.

Множество всех пар (x, y) называется областью определения функции,

а множество значений, принимаемых z в области определения, называется

множеством значений функции.

Некоторые условия нахождения области определения функции :

z(x; y) = 1+ y − x2 −ln(1− y − x2 ) .

19

Решение

Областью определения функции z(x; y) = 1 + y − x2 −ln(1 − y − x2 ) явля-

ется множество точек плоскости Оху, значения координат которых удовлетворяют системе неравенств

Рассмотрим сначала неравенство (*). Ему будет соответствовать уравне-

ние y = x2 −1, которое определяет параболу с вершиной в точке (0;−1) , ее ветви направлены вверх (см. рис. 1.). Парабола делит координатную плоскость на две части: внешнюю и внутреннюю. Для одной из них y > x2 −1, для другой – y < x2 −1 (на самой параболе y = x2 −1). Чтобы установить, какая из этих частей состоит из точек, для которых y ≥ x2 −1, достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, например для точки (0;1) . Подставив ее координаты в неравенство (*), получим верное числовое неравенство 1 ≥ 0 −1. Следовательно, эта точка (она лежит во внутренней части) и подобные ей дают геометрическое изображение области, определяемой неравенством (*), причем точки параболы также принадлежат этой области. Рассуждая аналогично с неравенством (**), получим, что оно определяет часть плоскости, расположенной внутри пара-

болы y = −x2 +1, точки самой параболы в область определения не входят. В та-

ких случаях мы будем соответствующую линию изображать пунктиром.

Рис. 1 20