Аналитическая геометрия Линии на плоскости

Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение: Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением, если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример: 2х + 7у – 1 = 0 , х² + y² – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у)² - х² - 2ху - у² = 0

Говорят, что числа х₀ и у₀ удовлетворяют уравнению, если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение: Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1. х– у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2. х² - у² = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х² + у² = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0). 4) ρ=а cosθ. Это уравнение задает окружность, имеющую радиус-вектор , наклоненный под угломк оси Ох.

Предметом изучения аналитической геометрии являются алгебраические линии – это такие линии, которые в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнением вида: .

Примеры: Ах+Ву+С=0,

Ах²+Ву²+Сху+Dх+Еу+F=0

Уравнение Ах+Ву+С=0 – общее уравнение первой степени.

Примеры неалгебраических линий: y - sinx = 0,

А^х + В^у + С = 0.

Определение: Линия, определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением n-ой степени, называется линией n-ого порядка.

Теорема: Если в декартовой системе координат линия определяется уравнением n-ой степени, то в другой декартовой системе координат она также определяется уравнением n-ой степени, т. е. порядок линии не зависит от выбора системы координат.

Линии первого порядка. Прямые на плоскости.

Пусть задана декартова система координат и некоторая прямая; α – угол наклона прямой к оси Ох.

Определение: Тангенс угла α наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом этой прямой: k = tgα.

=(1)

Формула (1) – определение углового коэффициента по известным двум точкам прямой.

Пусть прямая, неперпендикулярная оси Ох, имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Оу отрезок ОВ= b.

1). Пусть М(х,у) – точка с переменными координатами (переменная точка). Рассмотрим точку В(0, b). По формуле (1) угловой коэффициент равен

(2)

Преобразуем формулу (2) к виду

или

(3)

Если точка М не принадлежит данной прямой, то уравнение (3) не выполнится, следовательно, (3) - это уравнение прямой (по определению).

Уравнение (3) определяет прямую, имеющую угловой коэффициент k, и отсекающую на оси Oу отрезок b, и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

2). Пусть известна одна точка М₁(х₁,у₁) и угловой коэффициент k:

По формуле (1), если М (х, у) – переменная точка,

(4)

или

(5)

Уравнение (5) – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М_{1 .}

3. Пусть известны точки М₁ (х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂), принадлежащие прямой. Найти уравнение этой прямой.

По формуле (1) – . Отсюда, с учетом (5), получим

=

или, поделив обе части равенства на ,

. (6)

Уравнение (6) – это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.