4.5. Многочлены Чебышева. Чебышевские узлы интерполяции Многочлены Чебышева

Рассмотрим множество функций

, , (4.5.1)

определенных на отрезке и имеющих множества значений, принадлежащих отрезку. По формуле (4.5.1) непосредственно получим:

, . (4.5.2)

Покажем, что совпадает с алгебраическим многочленомn-й степени при любом натуральном значении n. Обозначим . Тогда

. (4.5.3)

По известной тригонометрической формуле

.

Учитывая равенство (4.5.3), последнюю формулу можно записать в виде

.

Выразим из последней формулы и, учитывая равенства (4.5.2), получим рекуррентную формулу

. (4.5.4)

Вычисляя по этой рекуррентной формуле функции последовательно при получим

, ,,, …

Легко видеть, что, продолжая эти вычисления, мы на каждом шаге будем получать алгебраические многочлены, причем степени их каждый раз будет увеличиваться на 1. Таким образом, функция совпадает в области определения с алгебраическим многочленомn-й степени при любом натуральном значении n. Функции получили названиемногочленов Чебышева. Рассмотрим некоторые свойства многочленов Чебышева.

Найдем корни многочленов Чебышева. Для этого решим уравнение

при . Из него непосредственно получим

. (4.5.5)

Здесь величина k может принимать любые целые значения. Но уравнение (4.5.5) будет иметь решения относительно x только при тех значениях k, при которых значение величины будет заключено между 0 и. Поэтому уравнение (4.5.5) будет иметь решения относительноx только при тех значениях k, при которых

. (4.5.6)

Условия (4.5.6) будут выполняться при (). Например, привеличинаk может принять только одно значение . При . При и так далее. Зафиксируем некоторое натуральное значениеn. Для каждого из значений уравнение (4.5.5) будет иметь единственное решение:

, . (4.5.7)

Таким образом, функция () будет иметьn корней на отрезке и все эти корни получаются по формулам (4.5.7).

Найдем коэффициенты при старшей степени многочленов Чебышева. Рассматривая формулы для прилегко заметить, что приединственный коэффициент многочленаравен 1, а прикоэффициенты при старшей степени многочленовравны. Методом математической индукции с помощью формулы (4.5.4) легко доказать, что коэффициенты при старшей степени многочленовравныпри любых натуральных значенияхn.

Наряду с введенными многочленами Чебышева, часто используются и нормированные многочлены Чебышева, получаемые из путем деления их на коэффициенты при старшей степени:

, =,(4.5.8)

 многочлены с коэффициентами при старшей степени, равными 1.

Функции (), так же как и, будут иметьn корней на отрезке , и все эти корни получаются по формулам (4.5.7). Кроме того, они обладают одним замечательным свойством, которое мы приведем без доказательства.

Теорема 1 (теорема Чебышева). Из всех многочленов степени n+1 с коэффициентами при старшей степени, равными 1 (многочленов вида ), нормированный многочлен Чебышеванаименее уклоняется от нуля на отрезке. То естьпринимает наименьшее значение, если. Наименьшее значениеравно 1 при, а при всех остальных натуральных значенияхn наименьшее значение будет равно.

Чебышевские узлы интерполяции

В параграфе 4.1 была доказана оценка погрешности многочленной интерполяции. Если интерполируемая функция имеет на отрезкеограниченную производнуюn+1-го порядка и существует положительная постоянная такая, чтона отрезкедля любогоx, принадлежащего отрезку будет справедлива оценка погрешности интерполяционного многочлена(4.1.15)

.

В этой оценке только величина зависит отx. Величина неотрицательна. Поэтому наименьшее значение погрешность интерполяции на отрезкебудет принимать при тех же значениях, при которых принимает наименьшее значение величина. Вычислим эти значения. Введем для этого линейное преобразование

, (4.5.9)

которое отображает отрезок на отрезок. Обратное преобразование, отображающеена, очевидно, имеет вид

. (4.5.10)

Введем точки

, (4.5.11)

соответствующие точкам . Поскольку точки, соответствующие им точки. Зная точки, можно получить соответствующие точкипо формуле

, . (4.5.12)

Сделаем в выражении замену переменных по формулам (4.5.9), (4.5.12):

. (4.5.13)

Согласно теореме Чебышева, достигается, еслисовпадают с корнями многочленов Чебышева:

, . (4.5.14)

Чтобы получить эту формулу, необходимо в формуле (4.5.7) заменить x на t, а n на n+1. Причем этот минимум равен .Таким образом, если выбрать узлы интерполяции на отрезке по формулам (4.5.14), (4.5.12), то оценка погрешности интерполяции примет наименьшее значение, равное . Эти узлы получили названиечебышевских узлов интерполяции.

Если выбраны чебышевские узлы интерполяции , то будет справедлива оценка погрешности интерполяции

: . (4.5.15)

Эту оценку называют наилучшей равномерной оценкой погрешности интерполяции. Ее можно использовать для того, чтобы ответить на вопрос об условиях сходимости интерполяционных многочленов Лагранжакпри. Пусть функцияимеет производные любого порядка на отрезкеи существует постояннаяМ такая, что для :(здесь мажорантные оценки модуля производной на отрезке ). Тогда

.

А поскольку длявыполняется неравенство

,

то согласно теореме о промежуточной последовательности,

.

Таким образом, если функция имеет производные любого порядка на отрезкеи существует постояннаяМ такая, что :, а для интерполяции на отрезкевыбираются чебышевские узлы, то погрешность интерполяции будет стремиться к 0 при.