- •Глава 4. Многочленная интерполяция
- •4.1.Интерполяционный многочлен Лагранжа Постановка задачи интерполирования
- •Задача многочленной интерполяции. Ищется алгебраический многочлен n-й степени , удовлетворяющий условиям интерполяции
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Оценка погрешности интерполяции
- •Теорема 1. Пусть функция имеет на отрезкепроизводные до-го порядка включительно. Тогда для любогох из отрезка найдется точкатакая, что
- •Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
- •Первое свойство разделенных разностей. Разделенные разности – симметричные функции своих аргументов, то есть они не меняются при перестановке аргументов.
- •Интерполяционная формула Ньютона
- •Доказательство. Пусть представляет собой некоторый многочленn-й степени . Учитывая, что, перепишем равенство (4.2.4) для случая, когда:
- •Алгоритм построения интерполяционного многочлена Ньютона
- •4.3. Кратные узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Эрмита Кратные узлы интерполяции. Формулировка задачи интерполяции с кратными узлами
- •Предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов
- •Интерполяционная формула Эрмита
- •Доказательство. Требуется доказать, что для полученного предела интерполяционного многочлена выполняются условия интерполяции (4.3.3). Для этого мы зафиксируем произвольный номер и докажем, что
- •Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита
- •Теорема 2. Пусть функция имеет на отрезкепроизводные до-го порядка включительно. Тогда для любогох из отрезка найдется точкатакая, что
- •4.4. Обратное интерполирование. Кусочно - многочленная интерполяция. Интерполирование сплайнами Обратное интерполирование
- •Кусочно-многочленная интерполяция
- •Интерполирование сплайнами Сплайны. Пусть на отрезке задана сетка точек, которая делитнаn отрезков ,. Сплайномn-го порядка называется функция
- •4.5. Многочлены Чебышева. Чебышевские узлы интерполяции Многочлены Чебышева
- •Контрольные вопросы и задания
Интерполирование сплайнами Сплайны. Пусть на отрезке задана сетка точек, которая делитнаn отрезков ,. Сплайномn-го порядка называется функция
при ,, (4.4.8)
где алгебраические многочлены, степень каждого из которых не превышает k, а коэффициенты которых, , подобраны так, что функцияимеет на отрезкенепрерывные производные до-го порядка включительно.
График сплайна состоит из отдельных кусков – графиков многочленов ,. По определению сплайна эти куски должны быть хорошо состыкованы при, чтобы в результате они составили кривую (график функции), имеющую степень гладкости(рис. 4.3).
Сплайны используются для разных целей. Мы рассмотрим их использование для решения задачи интерполяции.
П
Рис. 4.3
при,. (4.4.9)
Значения постоянных ,,,будем подбирать исходя из условий интерполяции и требования непрерывности сплайнавместе со своими производными первого и второго порядка на отрезке .
Условия интерполяции и непрерывности сплайна во внутренних узлах интерполяции сводятся к требованиям
, . (4.4.10)
, . (4.4.11)
Условия непрерывности первой и второй производной сплайна во внутренних узлах интерполяции имеют вид
, . (4.4.12)
, . (4.4.13)
Таким образом, мы получили систему уравнений (4.4.10) (4.4.13) с неизвестными ,,, . Она имеет множество решений. Для выделения единственного решения этой системы необходимо добавить к ней еще два уравнения. Чаще всего для этой цели используют дополнительные требования
. (4.4.14)
Введем обозначения ,и подставив выражение (4.4.9) в систему (4.4.10) - (4.4.14), получим
, . (4.4.15)
, . (4.4.16)
, . (4.4.17)
, . (4.4.18)
, . (4.4.19)
Коэффициенты непосредственно находятся из равенства (4.4.15). Подставив эти выражения в равенство (4.4.16) получим
, .
Выразим отсюда коэффициенты
, . (4.4.20)
Подставим выражения (4.4.20) в равенство (4.4.17) и, после несложных преобразований, получим
,
. (4.4.21)
Выразим из уравнения (4.4.18) коэффициенты :
, , (4.4.22)
а коэффициент выразим из уравнения (4.4.19):
. (4.4.23)
Введем фиктивную переменную и положим
. (4.4.24)
Теперь равенства (4.4.22) и (4.4.23) можно будет записать одной формулой (4.4.22) для всех . Подставим значенияиз равенства (4.4.22) в уравнение (4.4.21) и после преобразований, получим
,
. (4.4.25)
Из равенств (4.4.19) следует, что
. (4.4.26)
Подставим это равенство в первое уравнение (4.4.25) (при ):
. (4.4.27)
Запишем уравнения (4.4.25) при , сделав предварительно сдвиг индекса:
,
. (4.4.28)
Подставим равенство (4.4.24) в последнее уравнение (4.4.25) (при )
. (4.4.29)
Таким образом, для вычисления значений коэффициентов мы получили линейную систему с трехдиагональной матрицей (4.4.27) (4.4.29), которую можно решить методом прогонки. Достаточные условия применимости метода прогонки (см. теорему 1 из параграфа 3.2) для этой системы выполняются при условиях
, , (4.4.30)
. (4.4.31)
Они будут выполняться, в частности, и в случае, когда сетка узлов интерполяции является равномерной (при =const). Решив описанную систему методом прогонки, можно вычислить . Далее остальные коэффициенты находятся по формулам (4.4.24), (4.4.26), (4.4.22), (4.4.23), (4.4.20), (4.4.15).