- •Глава 4. Многочленная интерполяция
- •4.1.Интерполяционный многочлен Лагранжа Постановка задачи интерполирования
- •Задача многочленной интерполяции. Ищется алгебраический многочлен n-й степени , удовлетворяющий условиям интерполяции
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Оценка погрешности интерполяции
- •Теорема 1. Пусть функция имеет на отрезкепроизводные до-го порядка включительно. Тогда для любогох из отрезка найдется точкатакая, что
- •Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
- •Первое свойство разделенных разностей. Разделенные разности – симметричные функции своих аргументов, то есть они не меняются при перестановке аргументов.
- •Интерполяционная формула Ньютона
- •Доказательство. Пусть представляет собой некоторый многочленn-й степени . Учитывая, что, перепишем равенство (4.2.4) для случая, когда:
- •Алгоритм построения интерполяционного многочлена Ньютона
- •4.3. Кратные узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Эрмита Кратные узлы интерполяции. Формулировка задачи интерполяции с кратными узлами
- •Предел интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов
- •Интерполяционная формула Эрмита
- •Доказательство. Требуется доказать, что для полученного предела интерполяционного многочлена выполняются условия интерполяции (4.3.3). Для этого мы зафиксируем произвольный номер и докажем, что
- •Оценка погрешности интерполяционного многочлена Эрмита
- •Теорема 2. Пусть функция имеет на отрезкепроизводные до-го порядка включительно. Тогда для любогох из отрезка найдется точкатакая, что
- •4.4. Обратное интерполирование. Кусочно - многочленная интерполяция. Интерполирование сплайнами Обратное интерполирование
- •Кусочно-многочленная интерполяция
- •Интерполирование сплайнами Сплайны. Пусть на отрезке задана сетка точек, которая делитнаn отрезков ,. Сплайномn-го порядка называется функция
- •4.5. Многочлены Чебышева. Чебышевские узлы интерполяции Многочлены Чебышева
- •Контрольные вопросы и задания
Контрольные вопросы и задания
Как ставится задача интерполяции?
Получите формулу для вычисления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
Докажите теорему о погрешности интерполяции. Запишите оценку погрешности интерполяции.
Дайте определения понятия «разделенные разности». Докажите их свойства.
Получите интерполяционную формулу Ньютона. Опишите алгоритм вычисления интерполяционного многочлена Ньютона.
Запишите формулировку задачи интерполяции с кратными узлами. Докажите единственность интерполяционного многочлена Эрмита.
Докажите существование предела интерполяционного многочлена Ньютона при слиянии узлов. Получите интерполяционную формулу Эрмита. Запишите оценку погрешности интерполяционного многочлена Эрмита.
Что такое обратная интерполяция и где она применяется?
Что такое кусочно-многочленная интерполяция? Чем вызвана необходимость в ней?
Что такое сплайны? Для чего необходима кусочно-полиномиальная интерполяция? Как производится кусочно-линейная интерполяция?
Чем вызвана необходимость сплайновой интерполяции? Опишите построение кубического интерполяционного сплайна.
Что такое многочлены Чебышева и каковы их основные свойства?
Что такое чебышевские узлы интерполяции? Как они задаются? Как выглядит оценка погрешности интерполяции с чебышевскими узлами?