Первое свойство разделенных разностей. Разделенные разности – симметричные функции своих аргументов, то есть они не меняются при перестановке аргументов.

Для разностей первого порядка это проверяется элементарно:

.

Для разделенных разностей более высоких порядков это свойство доказывается методом математической индукции.

Второе свойство разделенных разностей. Пусть – произвольный многочлен n-го порядка,  заданные попарно различные точки, а точка х не совпадает ни с одной из них. Тогда

–многочлен -й степени,

–многочлен -й степени,

…

–многочлен нулевой степени, то есть постоянная, равная ,

.

Доказательство. По определению . Числитель этой дроби,, представляет собой многочленn-го порядка, который обращается в нуль в точке . Следовательно,– многочлен-й степени, что и требовалось доказать.

Рассмотрим следующую разделенную разность. По определению . Числитель этой дробипредставляет собой многочлен-го порядка, который обращается в нуль в точке. Следовательно,– многочлен-й степени, что и требовалось доказать.

Продолжим этот процесс. Каждая последующая разделенная разность, очевидно, представляет собой многочлен, степень которого на единицу меньше, чем у предыдущего. Поэтому

представляет собой многочлен нулевой степени, то есть постоянную, значение которой не зависит от х. Поэтому

.

Отсюда

.

Второе свойство полностью доказано.

Интерполяционная формула Ньютона

Пусть – некоторая функция с известными значениями в узлах. Рассмотрим разделенную разность. Выразим из этого равенства:

. (4.2.1)

Рассмотрим разделенную разность . Выразим из этого равенства:

Подставим это выражение в (4.2.1):

. (4.2.2)

Рассмотрим разделенную разность . Выразим из этого равенства:

.

Подставим это выражение в равенство (4.2.2):

. (4.2.3)

Продолжим этот процесс пока возможно и получим

…………………………………………………

. (4.2.4)

Сумма всех членов правой части равенства (4.2.4), кроме последнего, представляет собой алгебраический многочлен n-й степени. Обозначим его через .

…

…. (4.2.5)

Следовательно, формулу (4.2.4) можно записать в виде

. (4.2.6)

Заданный формулой (4.2.5) алгебраический многочлен представляет собой интерполяционный многочлен для функции с узлами интерполяции .

Доказательство. Пусть представляет собой некоторый многочленn-й степени . Учитывая, что, перепишем равенство (4.2.4) для случая, когда:

…

…... (4.2.7)

Это представление справедливо для любого многочлена n-й степени, в том числе и для интерполяционного многочлена. Пусть теперь - интерполяционный многочлен. Тогда, по условиям интерполяции,. Отсюда следует, что

, ,,

…………………………………….

. (4.2.8)

Заменив в представлении (4.2.7) разделенные разности по формулам (4.2.8), получим представление интерполяционного многочлена по формуле (4.2.5). Что и требовалось доказать.

Интерполяционный многочлен, представленный в виде (4.2.5), называют интерполяционным многочленом Ньютона.

Заметим, что из равенства (4.2.6) получается еще одно выражение для погрешности интерполяции

. (4.2.9)

Сравнивая это выражение с выражением (4.1.10), легко видеть, что должно быть справедливо следующее утверждение. Для любого найдетсятакое, что будет справедливо равенство

. (4.2.10)

Интерполяционную формулу Ньютона (4.2.5) можно записать и более компактно

. (4.2.11)